Mahavira (matematikawan)

Mahāvīra (atau Mahaviracharya , "Mahavira sang Guru") adalah seorang matematikawan Jain abad ke-9 yang saat ini mungkin lahir di atau dekat dengan kota Mysore , di India selatan.^[1]^[2]^[3] Ia menulis Gaṇitasārasan̄graha ( Ganita Sara Sangraha ) atau Kompendium tentang inti Matematika pada tahun 850 M.^[4]

Ia dilindungi oleh raja Amoghavarsha dari dinasti Rashtrakuta.^[4] Dia memisahkan astrologi dari matematika. Ini adalah teks India paling awal yang seluruhnya ditujukan untuk matematika.^[5] Dia menjelaskan topik yang sama yang diperdebatkan oleh Aryabhata dan Brahmagupta , tetapi dia mengungkapkannya dengan lebih jelas. Karyanya adalah pendekatan yang sangat sinkron terhadap aljabar dan penekanan dalam banyak teksnya adalah pada pengembangan teknik yang diperlukan untuk memecahkan masalah aljabar.^[6] Ia sangat dihormati di kalangan matematikawan India, karena pembentukan terminologi untuk konsep seperti segitiga sama sisi, dan segitiga sama kaki; belah ketupat; lingkaran dan setengah lingkaran. ^[7]Keunggulan Mahāvīra menyebar ke seluruh India Selatan dan buku-bukunya terbukti inspiratif bagi ahli matematika lain di India Selatan .^[8] Teks itu diterjemahkan ke dalam bahasa Telugu oleh Pavuluri Mallana sebagai Saar Sangraha Ganitam.^[9]

Dia menemukan identitas aljabar seperti a ³ = a ( a + b ) ( a - b ) + b ² ( a - b ) + b ³ .^[3] Dia juga menemukan rumus untuk ⁿ C _r sebagai

[ n ( n - 1) ( n - 2) ... ( n - r + 1)] / [ r ( r - 1) ( r - 2) ... 2 * 1].^[10] Dia menyusun rumus yang memperkirakan luas dan keliling elips dan menemukan metode untuk menghitung kuadrat dari bilangan dan akar pangkat tiga dari sebuah bilangan.^[11] Dia menegaskan bahwa akar kuadrat dari bilangan negatif tidak ada.^[12]

Aturan untuk menguraikan pecahan

Mahawira Ganita-sara-Sangraha memberikan aturan yang sistematis untuk mengungkapkan sebagian kecil sebagai jumlah unit pecahan .^[13] Ini mengikuti penggunaan pecahan satuan dalam matematika India pada periode Weda, dan Śulba Sūtras 'memberikan perkiraan √ 2 yang setara dengan. $1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3.4}}-{\frac {1}{3.4.34}}$ .^[13]

Dalam Gaṇita-sāra-saṅgraha (GSS), bagian kedua dari bab aritmatika dinamai kalā-savarṇa-vyavahāra (lit. "operasi pengurangan pecahan"). Dalam hal ini, bagian bhāgajāti (ayat 55–98) memberikan aturan sebagai berikut: ^[13]

Untuk menyatakan 1 sebagai jumlah dari n pecahan satuan (GSS kalāsavarṇa 75, contoh dalam 76): ^[13]

rūpāṃśakarāśīnāṃ rūpādyās triguṇitā harāḥ kramaśaḥ / dvidvitryaṃśābhyastāv ādimacaramau phale rūpe //

Jika hasilnya satu, penyebut besaran yang memiliki pembilang adalah [bilangan] yang diawali dengan satu dan dikalikan tiga, secara berurutan. Yang pertama dan terakhir dikalikan dengan dua dan dua pertiga [masing-masing]. $1={\frac {1}{1.2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3^{2}}}+...+{\frac {1}{3^{n-2}}}+{\frac {1}{{\tfrac {2}{3}}.3^{n-1}}}$

Untuk menyatakan 1 sebagai jumlah ganjil pecahan satuan (GSS kalāsavarṇa 77): ^[13]

1={\frac {1}{2.3.1/2}}+{\frac {1}{4.3.1/2}}+...+{\frac {1}{(2n-1).2n.1/2}}+{\frac {1}{2n.1/2}}

Untuk mengekspresikan pecahan satuan $1/q$ sebagai jumlah dari n pecahan lain dengan pembilang tertentu ${\boldsymbol {\alpha }}1,{\boldsymbol {\alpha }}2,...,{\boldsymbol {\alpha }}n$ (GSS kalāsavarṇa 78, contoh di 79):

{\frac {1}{q}}={\frac {\alpha 1}{q(q+\alpha 1)}}+{\frac {\alpha 2}{(q+\alpha 1)+(q+\alpha 1+\alpha 2)}}+...+{\frac {a_{n-1}}{(q+\alpha 1+...+a_{n-2})(q+a1+...+a{n-1})}}+{\frac {a_{n}}{a_{n}{\frac {(}{q}}+a1+...+a_{n-1})}}

Untuk mengekspresikan pecahan apa pun $p/q$ sebagai jumlah pecahan satuan (GSS kalāsavarṇa 80, contoh dalam 81): ^[13]

Pilih bilangan bulat i sedemikian rupa

{\frac {q+i}{p}}

adalah integer r , lalu tulis

{\frac {p}{q}}={\frac {1}{r}}+{\frac {i}{r.q}}

dan ulangi proses untuk suku kedua, secara rekursif. (Perhatikan bahwa jika i selalu dipilih sebagai bilangan bulat terkecil , ini identik dengan logaritma rakus untuk pecahan Mesir .)

dan ulangi proses untuk suku kedua, secara rekursif. (Perhatikan bahwa jika i selalu dipilih sebagai bilangan bulat terkecil , ini identik dengan algoritme rakus untuk pecahan Mesir .)

Untuk menyatakan pecahan satuan sebagai jumlah dari dua pecahan satuan lainnya (GSS kalāsavarṇa 85, contoh di 86): ^[13]

{\frac {1}{n}}={\frac {1}{p.n}}+{\frac {1}{\tfrac {p.n}{n-1}}}

dimana

p

harus dipilih sedemikian rupa

{\frac {p.n}{n-1}}

adalah bilangan bulat (yang

p

harus kelipatan

n-1

).

Untuk mengekspresikan pecahan $p/q$ sebagai jumlah dari dua pecahan lainnya dengan pembilang yang diberikan $a$ dan $b$ (GSS kalāsavarṇa 87, contoh di 88): ^[13]

{\frac {p}{q}}={\frac {a}{{\tfrac {ai+b}{p}}.{\tfrac {q}{i}}}}+{\frac {b}{{\tfrac {ai+b}{p}}.{\tfrac {q}{i}}}}

dimana

i

harus dipilih sedemikian rupa

p

membagi

ai+b

Beberapa aturan lebih lanjut yang diberikan dalam Ganita-kaumudi dari Narayana di abad ke-14.^[13]

Lihat juga

•Daftar Matematikawan India

Referensi

^ Dictionary of Scientific Biography (dalam bahasa Inggris). Scribner. 1970. ISBN 978-0-684-10114-9.
^ "Mahāvīra (mathematician)". Wikipedia (dalam bahasa Inggris). 2020-08-14.
^ ^a ^b Tabak, John (2014-05-14). Algebra: Sets, Symbols, and the Language of Thought (dalam bahasa Inggris). Infobase Publishing. ISBN 978-0-8160-6875-3.
^ ^a ^b Puttaswamy, T. K. (2012-10-22). Mathematical Achievements of Pre-modern Indian Mathematicians (dalam bahasa Inggris). Newnes. ISBN 978-0-12-397938-4.
^ Pickover, Clifford A. (2009). The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics (dalam bahasa Inggris). Sterling Publishing Company, Inc. ISBN 978-1-4027-5796-9.
^ Tabak, John (2014-05-14). Algebra: Sets, Symbols, and the Language of Thought (dalam bahasa Inggris). Infobase Publishing. ISBN 978-0-8160-6875-3.
^ Sarasvati Amma, T. A. (1999). Geometry in ancient and medieval India (edisi ke-1st ed). Delhi: Motilal Banarsidass. ISBN 81-208-1344-8. OCLC 49998080. Pemeliharaan CS1: Teks tambahan (link)
^ "Mahavira | Indian mathematician". Encyclopedia Britannica (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-31.
^ Bender, Ernest; Pingree, David (1978-07). "Census of the Exact Sciences in Sanskrit". Journal of the American Oriental Society. 98 (3): 336. doi:10.2307/598771. ISSN 0003-0279.
^ Tabak, John (2014-05-14). Algebra: Sets, Symbols, and the Language of Thought (dalam bahasa Inggris). Infobase Publishing. ISBN 978-0-8160-6875-3.
^ Krebs, Robert E. (2004). Groundbreaking Scientific Experiments, Inventions, and Discoveries of the Middle Ages and the Renaissance (dalam bahasa Inggris). Greenwood Publishing Group. ISBN 978-0-313-32433-8.
^ Selin, Helaine (2008-03-12). Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4020-4559-2.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ Pingree, David Edwin (2004). Studies in the History of the Exact Sciences in Honour of David Pingree (dalam bahasa Inggris). Brill. ISBN 978-90-04-13202-3.

[1] Dictionary of Scientific Biography (dalam bahasa Inggris). Scribner. 1970. ISBN 978-0-684-10114-9.

[2] "Mahāvīra (mathematician)". Wikipedia (dalam bahasa Inggris). 2020-08-14.

[:0-3] Tabak, John (2014-05-14). Algebra: Sets, Symbols, and the Language of Thought (dalam bahasa Inggris). Infobase Publishing. ISBN 978-0-8160-6875-3.

[:1-4] Puttaswamy, T. K. (2012-10-22). Mathematical Achievements of Pre-modern Indian Mathematicians (dalam bahasa Inggris). Newnes. ISBN 978-0-12-397938-4.

[5] Pickover, Clifford A. (2009). The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics (dalam bahasa Inggris). Sterling Publishing Company, Inc. ISBN 978-1-4027-5796-9.

[6] Tabak, John (2014-05-14). Algebra: Sets, Symbols, and the Language of Thought (dalam bahasa Inggris). Infobase Publishing. ISBN 978-0-8160-6875-3.

[7] Sarasvati Amma, T. A. (1999). Geometry in ancient and medieval India (edisi ke-1st ed). Delhi: Motilal Banarsidass. ISBN 81-208-1344-8. OCLC 49998080. Pemeliharaan CS1: Teks tambahan (link)

[8] "Mahavira | Indian mathematician". Encyclopedia Britannica (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-31.

[9] Bender, Ernest; Pingree, David (1978-07). "Census of the Exact Sciences in Sanskrit". Journal of the American Oriental Society. 98 (3): 336. doi:10.2307/598771. ISSN 0003-0279.

[10] Tabak, John (2014-05-14). Algebra: Sets, Symbols, and the Language of Thought (dalam bahasa Inggris). Infobase Publishing. ISBN 978-0-8160-6875-3.

[11] Krebs, Robert E. (2004). Groundbreaking Scientific Experiments, Inventions, and Discoveries of the Middle Ages and the Renaissance (dalam bahasa Inggris). Greenwood Publishing Group. ISBN 978-0-313-32433-8.

[12] Selin, Helaine (2008-03-12). Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4020-4559-2.

[:2-13] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ Pingree, David Edwin (2004). Studies in the History of the Exact Sciences in Honour of David Pingree (dalam bahasa Inggris). Brill. ISBN 978-90-04-13202-3.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]