Relasi transitif

Dalam matematika, relasi $R$ pada himpunan $X$ dikatakan transitif jika $R$ menghubungkan $a$ ke $b$ dan menghubungkan $b$ ke $c$, maka $R$ menghubungkan $a$ ke $c$.

Definisi

Relasi homogen $R$ pada himpunan $X$ dikatakan transitif jika $aRb$ dan $bRc$, maka $aRc$, untuk semua $a,b,c,\in X$. Secara matematis, dapat ditulis dalam notasi logika orde pertama.

$$\forall a,b,c\in X:(aRb\wedge bRc)\Rightarrow aRc.$$

Pada notasi di atas, $aRb$ merupakan notasi infiks untuk $(a,b)\in R$.

Contoh

Relasi transitif dapat dinyatakan melalui contoh-contoh seperti relasi "...adalah pendahulu dari..."; sebagai contoh, jika Ani adalah pendahulu Budi, dan Budi adalah pendahulu Candra, maka Ani adalah pendahulu Candra. Contoh relasi transitif dalam matematika memuat "lebih besar dari" dan "sama dengan"; dalam himpunan bilangan real atau bilangan asli.

• jika $x>y$, dan $y>z$, maka $x>z$
• jika $x=y$, dan $y=z$, maka $x=z$ferensie

• Smith, Douglas; Eggen, Maurice; St.Andre, Richard (2006), A Transition to Advanced Mathematics (edisi ke-6), Brooks/Cole, ISBN 978-0-534-39900-9