Teori permainan
Strategi |
---|
Teori permainan (bahasa Inggris: game theory) adalah bagian dari ilmu matematika yang mempelajari interaksi antar agen yang bersifat rasional. Setiap keputusan atau strategi yang dipilih oleh agen akan memiliki hasil yang berbeda (payoff) pada agen kompetitor[1]. Pertama kali dikembangkan sebagai cabang tersendiri dari ilmu matematika oleh Oskar Morgenstern dan John von Neumann, cabang ilmu ini telah berkembang sedemikian pesat hingga melahirkan banyak tokoh peraih nobel, seperti John Nash (AS), Reinhard Selten (Jerman), dan John Harsanyi (AS) pada tahun 1999 dan Thomas Schelling (AS), Robert Aumann (Israel) pada tahun 2005, dan Leonid Hurwicz (Amerika Serikat) pada tahun 2007.
Dasar Teori Permainan
Permodelan teori permainan paling mudah biasanya dimodelkan dalam bentuk matriks payoff atau pohon keputusan. Pada dasarnya, teori permainan diasumsikan semua agen bersifat rasional. Rasionalitas yang dimaksud adalah dimana setiap agen diasumsikan memutuskan strategi untuk memaksimalkan payoff dari agen itu sendiri yang tergantung pada pengetahuan dari agen terhadap strategi kompetitor[2]. Variabel-variabel yang diformulasikan pada teori permainan mencakup keputusan (strategi) dari setiap agen dan payoff yang berupa hasil dari pengambilan keputusan tersebut. Apabila digambarkan pada agen dan , maka agen dapat memiliki strategi , , ..., sampai dan agen memiliki strategi , , ..., sampai . Kemungkinan hasil atau payoff yang diperoleh agen dan dapat berjumlah . Diketahui bahwa agen dan agen memiliki Payoff berupa dan . adalah fungsi payoff dari agen mempertimbangkan strategi Agen ( ) yang ke dan strategi Agen ( ) yang ke . Tabel matriks payoff dari agen dan adalah sebagai berikut:
Agen | |||||
---|---|---|---|---|---|
... | |||||
Agen | ... | ||||
... | |||||
... | ... | ... | ... | ... | |
Penyelesaian atau solusi dari permasalahan ini disebut ini keseimbangan Nash (Nash Equilibrium) apabila setiap agen sudah mencapai payoff maksimum tergantung dari strategi agen lain dan seluruh agen tidak dapat lagi merubah strateginya. Keseimbangan Nash ditemukan oleh John Forbes Nash Jr. dalam studinya yang berjudul Noncooperative games[3]. Sebagai contoh, permasalahan dilema tahanan (prisoner's dilemma) adalah penerapan teori permainan untuk dua tahanan yang sedang diinterogasi. Tahanan dan ditangkap karena kejahatan yang dilakukan mereka secara bersamaan oleh penegak hukum. Setiap tahanan yang diinterogasi memiliki dua strategi yaitu mengakui kejahatannya atau tidak. Payoff dari kedua tahanan ini adalah lama tahanan akan dipenjara. Setiap strategi yang dilakukan akan menghasilkan payoff yang berbeda-beda untuk setiap Tahanan. Jika dimodelkan dengan matriks payoff, strategi dan payoff kedua tahanan adalah berikut ini:
Pengakuan Tahanan | |||
---|---|---|---|
Mengaku | Tidak | ||
Pengakuan
Tahanan |
Mengaku | 3 tahun
3 tahun |
bebas
5 tahun |
Tidak | 5 tahun
bebas |
1 tahun
1 tahun |
Contoh matriks payoff menunjukan efek dari penetapan setiap strategi tahanan dan terhadap lama mereka akan dipenjara. Sebagai contoh, Jika tahanan mengakui perbuatannya dan tahanan tidak, maka tahanan akan bebas dan tahanan dipenjara selama 5 tahun. Berdasar dari konsep keseimbangan Nash, jika tahanan memilih mengaku, maka respon terbaik tahanan adalah juga mengakui perbuatannya. Jika tahanan memilih untuk tidak mengakui, respon terbaik tahanan adalah masih mengakui perbuatannya. Apapun strategi yang dipilih tahanan , tahanan sebaiknya memilih untuk mengakui perbuatannya. Hal ini pun juga berlaku untuk tahanan . Jika tahanan memilih mengaku, maka respon terbaik tahanan adalah juga mengakui perbuatannya. Jika tahanan memilih untuk tidak mengakui, respon terbaik tahanan adalah masih mengakui perbuatannya. Alhasil, kedua tahanan akan memilih untuk mengakui perbuatannya. Hal ini disebut keseimbangan Nash dimana kedua tahanan yang sudah mengaku tidak lagi dapat memperbaharui strateginya. Akhirnya kedua tahanan memiliki payoff berupa dipenjara selama 3 tahun. Kondisi permainan yang dilakukan juga termasuk kedalam permainan nonkooperatif (Noncooperative game), dimana semua agen rasional berkompetisi tanpa ada interaksi antar mereka. Jika kedua tahanan memilih untuk berinteraksi, maka satu-satunya payoff paling optimal diperoleh jika keduanya tidak mengaku. Mereka akan hanya dipenjara selama satu tahun. Skema interaksi ini dinamakan permainan kooperatif (Cooperative game).
Selain dimodelkan dengan matriks payoff, permainan dapat dimodelkan dengan menggunakan pohon keputusan (Decision tree). Penggunaan pohon keputusan dalam teori permainan dapat merujuk kepada permainan sekuensial (Sequential game) dan permainan extensive form. Jika diaplikasikan pada permainan dilema tahanan, strategi tahanan yang dari tahanan dapat dilihat pada gambar pohon keputusan.
Penerapan Teori Permainan Dalam Pemodelan Ekonomi
Pemodelan kompetisi antar agen dari teori permainan dan penyelesaian solusinya berupa keseimbangan Nash memberikan beberapa dampak pada berbagai sektor kehidupan masyarakat. Salah satunya adalah dalam pemodelan ekonomi. Beberapa model yang terdampak adalah model kuantitas Cournot, model penetapan harga Bertrand, dan model kepemimpinan Stackelberg.
Model Kuantitas Cournot
Pada 1838, matematikawan dan ekonom prancis yang bernama Antoine Augustin Cournot, menerbitkan sebuah publikasi dengan judul Recherches sur les principes mathématiques de la Théorie des richesses[4]. Publikasinya menjelaskan bahwa terdapat persaingan antar perusahaan dalam hal kuantitas produksi sebuah barang. Keputusan antar perusahaan sifatnya independen namun rasional. Terdapat beberapa asumsi dan batasan untuk menerapkan pemodelan Cournot:
- Terdapat lebih dari satu perusahaan yang berkompetisi secara simultan dengan produk barang yang homogen (tidak berbeda).
- Perusahaan-perusahaan yang terlibat berkompetisi dalam bentuk pola informasi yang sempurna dan lengkap (perfect and complete information).
- Semua perusahaan yang berkompetisi tidak ada indikasi untuk bekerja sama dan berbagi informasi (Information sharing).
- Perusahaan-perusahaan yang berkompetisi memiliki kekuatan pasar yang seimbang, sehingga mereka menetapkan keputusannnya secara simultan (Simultaneous).
- Semua perusahaan berkompetisi untuk menghasilkan kuantitas produk yang cukup dan jumlah kuantitas produk mempengaruhi harga.
- Perusahaan yang berkompetisi bertindak rasional dan strategis untuk memaksimalkan pendapatan, keuntungan, atau payoff mereka.
Berdasar pada hubungan penawaran dan permintaan (supply and demand), model Cournot fokus pada fungsi permintaan dimana kenaikan jumlah kuantitas yang diproduksi akan menurunkan harga dari produk itu. Sebagai contoh jika perusahaan berkompetisi kuantitas dengan perusahaan . Perusahaan menghasilkan produk sebesar unit dan perusahaan menghasilkan produk sebesar unit. Jumlah kuantitas produk digambarkan pada fungsi . Karena harga dipengaruhi oleh kuantitas produk pada model ini, maka fungsi harga digambarkan pada persamaan berikut:
Model penetapan harga diatas menjelaskan bahwa setiap harga atau sangat bergantung terhadap jumlah kuantitas unit dari dan . Parameter adalah nilai intercept dari sebuah model ekonometrika yang menjelaskan kesediaan pasar untuk membayar jika produk sama sekali tidak tersedia. Parameter adalah nilai slope yang menunjukan besar pengaruh kuantitas terhadap perubahan harga. Parameter ini juga dapat dikatakan sebagai elastisitas harga dengan satuan . Model harga ini juga terkenal dengan sebutan fungsi permintaan terbalik (inverse demand function). fungsi ini dipakai kembali pada penetapan model pendapatan (revenue) untuk perusahaan dan .
Perusahaan dan akan menerima pendapatan sebesar dan . Pendapatannya berupa jumlah harga yang ditetapkan ( ) dikalikan dengan kuantitas produksi dari masing masing perusahaan ( dan ). Karena fungsi pendapatan dari perusahaan dan berbentuk model ordo kedua (second-order), maka kedua model diasumsikan memiliki bentuk concave. Untuk menemukan titik optimum global, kedua fungsi pendapatan diturunkan. Kondisi ordo pertama dari model pendapatan adalah:
Dari turunan model pendapatan perusahaan dan , respon terbaik (best response function) dari setiap perusahaan untuk menghasilkan kuantitas produk dapat diperoleh. Dalam teori permainan, respon terbaik adalah strategi terbaik yang ditentukan oleh agen itu sendiri yang tergantung pada strategi dari kompetitor. Fungsi dari respon terbaik setiap perusahaan merupakan modifikasi dari turunan model pendapatan. Fungsi perusahaan dan adalah sebagai berikut:
Setelah menemukan respon terbaik dari setiap perusahaan untuk memaksimalkan pendapatannya, hasil keseimbangan Nash pada model Cournot dapat ditemukan melalui persamaan respon terbaik dari dan atau dari . Dengan mensubsitusi fungsi pada fungsi , keseimbangan Cournot Nash ditemukan pada:
Jadi perusahaan dan akan mencoba untuk memproduksi dan produk sebesar unit. Berdasar keputusan yang sudah seimbang, keluarannya adalah sebagai berikut:
Permodelan Cournot yang dilakukan tentunya cukup terbatas. Apabila diterapkan model keuntungan (profit) dengan nilai biaya (cost) yang berbeda akan menghasilkan perspektif keseimbangan yang berbeda juga.
- ^ Carpenter, J., & Robbett, A. (2022). Game Theory and Behavior. MIT Press.
- ^ Bicchieri, Cristina. (2004-02-05). Mele, Alfred R.; Rawling, Piers, ed. RATIONALITY AND GAME THEORY. Oxford University Press. hlm. 182–205. doi:10.1093/0195145399.003.0010. ISBN 978-0-19-514539-7.
- ^ Nash Jr, John (1996-12-26). Essays on Game Theory. Edward Elgar Publishing. doi:10.4337/9781781956298.00009. ISBN 978-1-78195-629-8.
- ^ Cournot, Antoine-Augustin (1838). Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses par Augustin Cournot (dalam bahasa Prancis). chez L. Hachette.