Teorema Rolle

Dalam kalkulus, Teorema Rolle pada dasarnya menyatakan fungsi diferensiabel dan kontinu, yang memiliki nilai sama pada dua titik, mestilah memiliki titik stasioner yang terletak di antara kedua titik tersebut. Pada titik stasioner ini, gradien garis singgung terhadap fungsi tersebut sama dengan nol.

px

Versi standar

Bila sebuah fungsi riil f kontinu pada selang tertutup [a, b], terdiferensialkan pada selang terbuka (a, b), dan f(a) = f(b), maka ada bilangan c dalam selang terbuka (a, b)sedemikian sehingga

$f'(c)=0.\,$

Versi teorema Rolle ini digunakan untuk membuktikan teorema nilai purata, yang merupakan kasus umum dari teorema Rolle.

Perumuman

Contoh berikut mengilustrasikan perumuman dari teorema Rolle: Misalkan terdapat fungsi kontinu bilangan riil f di selang tertutup [a, b] dengan f(a) = f(b). Bila, untuk setiap x di selang terbuka (a, b), dengan limit kanan$$f'(x+):=\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$$dan limit kiri$$f'(x-):=\lim _{h\to 0^{-}}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$$ada di suatu garis bilangan riil yang diperluas $[-\infty ,\infty ]$, maka ada suatu bilangan c pada selang terbuka (a, b) sehingga salah satu dari dua limit $f'(c+)$ dan $f'(c-)$lebih besar dari sama dengan 0 dan yang lainnya lebih kecil dari sama dengan 0 (di garis bilangan riil yang diperluas). Bila limit kiri dan kanan sama untuk setiap x, maka limit ini sama pada khususnya untuk c. Jadi turunan f ada pada c dan sama dengan nol.

Bila f adalah fungsi cekung atau cembung, maka turunan kiri atau kanan ada di setiap titik dalam, sehingga kedua limit di atas ada dan merupakan bilangan riil. Versi teorema Rolle yang diperumum ini cukup untuk membuktikan kecekungan fungsi bila salah satu turunan sepihak menaik secara monoton:$$f'(x-)\leq f'(x+)\leq f'(y-)$$dengan $x<y$.

Contoh

Contoh pertama

Setengah lingkaran dengan radius r.

Untuk jari-jari r > 0, misalkan terdapat fungsi$$f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}},\quad x\in [-r,r].$$Grafik fungsi tersebut menggambarkan setengah lingkaran atas yang berpusat pada titik asal. Fungsi ini kontinu di interval tertutup [−r, r] dan terdiferensialkan dalam interval terbuka (−r, r), tetapi tidak terdiferensialkan di titik akhir −r dan r. Karena f (−r) = f (r), maka berlaku teorema Rolle, dan demikian terdapat suatu titik dengan turunan dari f bernilai nol. Perhatikan bahwa teorema tersebut berlaku, dan bahkan ketika fungsi tidak terdiferensialkan di titik akhir, karena hanya memerlukan fungsi tersebut menjadi terdiferensialkan dalam interval terbuka.

Contoh kedua

Grafik fungsi nilai absolut.

Jika keterdiferensialan itu gagal di titik dalam interval, dapat disimpulkan bahwa teorema Rolle tidak dapat berlaku. Misalkan suatu fungsi nilai mutlak$$f(x)=|x|,\qquad x\in [-1,1],$$maka f (−1) = f (1). Akan tetapi, tidak ada nilai c di antara −1 dan 1 pada nilai f ′(c) yang bernilai nol. Itu karena fungsi tersebut tidak terdiferensialkan di nilai x = 0, walaupun fungsi tersebut kontinu. Perhatikan bahwa turunan dari f mengubah tandanya di x = 0, tetapi tanpa mencapai nilai 0, dan karena itu teorema Rolle tidak dapat diterapkan pada fungsi ini, sebab tidak memenuhi syarat bahwa fungsi harus terdiferensialkan untuk setiap nilai x di interval terbuka. Namun, ketika syarat keterdiferensialan dihilangkan dari teorema Rolle, fungsi f akan tetap memiliki titik kritis di interval terbuka (a, b), tetapi sayangnya hal tersebut tidak dapat menghasilkan garis singgung yang horizontal.

Pembuktian

Di sini akan dibuktikan teorema yang sudah digeneralisasi.

Gagasan dasarnya adalah bahwa bila f(a) = f(b), maka f mestilah mencapai maksimum atau minimum di suatu titik antara a dan b. Sebutlah titik ini c. Fungsi tersebut juga harus berubah dari naik menjadi turun (atau sebaliknya) pada c. Khususnya, bila turunannya ada, nilainya mestilah nol pada c.

Dari asumsi, diketahui f kontinu pada [a,b] dan menurut teorema nilai ekstrem mencapai baik maksimum maupun minimumnya dalam [a,b]. Bila keduanya dicapai pada titik batas [a,b] maka f adalah fungsi konstan pada [a,b] dan turunannya adalah nol pada setiap titik pada (a,b).

Misalkan bila maksimum diperoleh pada titik dalam c pada selang (a, b) (argumen untuk nilai minimum mirip, perhatikan −f ). Kita akan memeriksa limit kanan dan kiri secara terpisah.

Untuk h riil sedemikian sehingga c + h adalah dalam [a,b], nilai f(c + h) lebih kecil atau sama dengan f(c) karena f mencapai maksimumnya pada c. Karena itu, untuk setiap h > 0,

${\frac {f(c+h)-f(c)}{h}}\leq 0,$

sehingga

$f'(c+):=\lim _{h\searrow 0}{\frac {f(c+h)-f(c)}{h}}\leq 0,$

di mana limit ada menurut asumsi, yang bisa saja bernilai minus tak terhingga

Dengan cara yang sama, untuk setiap h < 0, tanda pertidaksamaan berbalik karena penyebutnya negatif dan kita mendapatkan

${\frac {f(c+h)-f(c)}{h}}\geq 0,$

jadi

$f'(c-):=\lim _{h\nearrow 0}{\frac {f(c+h)-f(c)}{h}}\geq 0,$

sehingga limitnya bisa saja plus tak terhingga

Akhirnya, ketika limit kanan dan kiri di atas sama, (terutama bila f terdiferensialkan), maka turunan f di c haruslah nol.

Generalisasi ke turunan yang lebih tinggi

Kita juga bisa menggeneralisasi teorema Rolle dengan mensyaratkan nilai f memiliki lebih banyak poin dengan nilai yang sama dan keteraturan yang lebih besar. Secara khusus, anggap saja

• Fungsi f ialah nilai n − 1 kali terus menerus dapat dibedakan pada interval tertutup [a, b] dan n turunan dari interval terbuka (a, b), dan
• Jika nilai n interval yang diberikan oleh nilai a₁ < b₁ ≤ a₂ < b₂ ≤ … ≤ a_n < b_n pada [a, b] seperti yang ada nilai f (a_k) = f (b_k) untuk setiap nilai k dari 1 hingga nilai n. Setelah itu ada nomor c pada (a, b) seperti nilai n turunan dari f dengan nilai c adalah nilai nol.

Kurva merah adalah grafik fungsi dengan 3 akar dalam interval [−3, 2]. Jadi turunan keduanya (digambarkan dengan warna hijau) juga memiliki akar dalam interval yang sama.

Pranala luar

• (Inggris)Teorema Rolle dan Teorema Nilai Rata-rata pada cut-the-knot