Bilangan kompleks

Dalam matematika, bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk

$a+bi\,$

dimana a dan b adalah bilangan real, dan i adalah bilangan imaginer tertentu yang mempunyai sifat i ² = −1. Bilangan real a disebut juga real part dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut imaginary part. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.

Sebagai contoh, 3 + 2i adalah bilangan kompleks dengan real part 3 dan imaginary part 2.

Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan real; namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan real yang hanya memiliki sebagian.

Dalam bidang-bidang tertentu (seperti teknik elektro, dimana i' digunakan sebagai simbol untuk arus listrik), bilangan kompleks ditulis a + bj.

Definisi

Notasi dan operasi

Himpunan bilangan kompleks umumnya dinotasikan dengan C, atau $\mathbb {C}$. Bilangan real, R, dapat dinyatakan sebagai bagian dari himpunan C dengan menyatakan setiap bilangan real sebagai bilangan kompleks: $a=a+0i$.

Bilangan kompleks ditambah, dikurang, dan dikali dengan menggunakan sifat-sifat aljabar seperti asosiatif, komutatif, dan distributif, dan dengan persamaan i ² = −1:

(a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i

(a + bi) − (c + di) = (a−c) + (b−d)i

(a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bd i ² = (ac−bd) + (bc+ad)i

Pembagian bilangan kompleks juga dapat didefinisikan (lihat dibawah). Jadi, himpunan bilangan kompleks membentuk bidang matematika yang, berbeda dengan bilangan real, berupa aljabar tertutup.

Dalam matematika, adjektif "kompleks" berarti bilangan kompleks digunakan sebagai dasar teori angka yang digunakan. Sebagai contoh, analisis kompleks, matriks kompleks, polinomial kompleks, dan aljabar Lie kompleks.

Definisi

Definisi formal bilangan kompleks adalah sepasang bilangan real (a, b) dengan operasi sebagai berikut:

• $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\,$

• $(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,bc+ad).\,$

Dengan definisi diatas, bilangan-bilangan kompleks yang ada membentuk suatu himpunan bilangan kompleks yang dinotasikan dengan C.

Karena bilangan kompleks a + bi merupakan spesifikasi unik yang berdasarkan sepasang bilangan real (a, b), bilangan kompleks mempunyai hubungan korespondensi satu-satu dengan titik-titik pada satu bidang yang dinamakan bidang kompleks.

Bilangan real a dapat disebut juga dengan bilangan kompleks (a, 0), dan dengan cara ini, himpunan bilangan real R menjadi bagian dari himpunan bilangan kompleks C.

Dalam C, berlaku sebagai berikut:

• identitas penjumlahan ("nol"): (0, 0)
• identitas perkalian ("satu"): (1, 0)
• invers penjumlahan (a,b): (−a, −b)
• invers perkalian (reciprocal) bukan nol (a, b): $\left({a \over a^{2}+b^{2}},{-b \over a^{2}+b^{2}}\right).$

Bidang kompleks

Bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai titik atau vektor posisi pada sistem koordinat dua dimensi yang dinamakan bidang kompleks atau Diagram Argand

Koordinat Cartesian bilangan kompleks adalah real part x dan imaginary part y, sedangkan koordinat sirkularnya adalah r = |z|, yang disebut modulus, dan φ = arg(z), yang disebut juga argumen kompleks dari z (Format ini disebut format mod-arg). Dikombinasikan dengan Rumus Euler, dapat diperoleh:

$z=x+iy=r(\cos \phi +i\sin \phi )=re^{i\phi }.\,$

Kadang-kadanng, notasi r cis φ dapat juga ditemui.

Perlu diperhatikan bahwa argumen kompleks adalah unik modulo 2π, jadi, jika terdapat dua nilai argumen kompleks yang berbeda sebanyak kelipatan bilangan bulat dari 2π, kedua argumen kompleks tersebut adalah sama (ekivalen).

Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, dapat diperoleh:

$r_{1}e^{i\phi _{1}}\cdot r_{2}e^{i\phi _{2}}=r_{1}r_{2}e^{i(\phi _{1}+\phi _{2})}\,$

dan

${\frac {r_{1}e^{i\phi _{1}}}{r_{2}e^{i\phi _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}e^{i(\phi _{1}-\phi _{2})}.\,$

Penjumlahan dua bilangan kompleks sama seperti penjumlahan vektor dari dua vektor, dan perkalian dengan bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai rotasi dan pemanjangan secara bersamaan.

Perkalian dengan i adalah rotasi 90 derajat berlawanan dengan arah jarum jam ($\pi /2$ radian). Secara geometris, persamaan i² = −1 is that a sequence of two 90 degree rotations results in a 180 degree ($\pi$ radians) rotation. Even the fact (−1) · (−1) = +1 from arithmetic can be understood geometrically as the combination of two 180 degree turns.