Matriks normal

Revisi sejak 31 Januari 2023 02.35 oleh AABot (bicara | kontrib) (perbaikan)

Dalam matematika, suatu matriks persegi dengan entri-entri kompleks dikatakan normal jika ia bersifat komutatif atas perkalian matriks dengan transpos konjugat ; secara matematis dinyatakan sebagai . Konsep dari matriks normal dapat diperumum menjadi operator normal di ruang vektor bernorma berdimensi tak hingga, dan elemen normal di aljabar C*.

Definisi

Ada banyak cara yang ekuivalen untuk mendefinisikan matriks normal. Misalkan   adalah matriks kompleks berukuran  , pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

  1.   adalah matriks normal.
  2.   dapat diagonalkan oleh suatu matriks uniter.
  3. Ada suatu himpun vektor-vektor eigen dari   yang membangun basis ortonormal bagi  .
  4.   untuk sembarang x.
  5. Norma Frobenius dari   dapat dihitung dari nilai-nilai eigen  , yakni  .
  6. Bagian Hermite   dan bagian skew-Hermitian   dari   saling komutatif.
  7.   suatu polinomial (dengan derajat maksimum  ) dalam  .[a]
  8.   untuk suatu matriks uniter  .[1]
  9.   dan   saling komutatif, yang mengartikan kita memiliki dekomposisi kutub   dengan suatu matriks uniter   dan suatu matriks semidefinit positif  .
  10.   saling komutatif dengan suatu matriks normal   yang nilai-nilai eigennya yang unik.
  11.   untuk semua  , dengan   dan   masing-masing adalah nilai-nilai singular dan nilai-nilai eigen dari  .[2]

Kasus khusus

Di antara matriks-matriks kompleks, semua matriks uniter, Hermite, dan skew-Hermitian bersifat normal. Serupa dengan itu, di antara matriks-matriks real, semua matriks ortogonal, simetrik, dan skew-symmetric bersifat normal. Namun, tidak semua matriks normal merupakan matriks uniter atau (skew-)Hermite. sebagai contoh,

 

tidak uniter, Hermite, maupun skew-Hermitian, namun merupakan matriks normal karena

 

Catatan kaki

  1. ^ Bukti: Jika   normal, gunakan rumus interpolasi Lagrange untuk mengonstruksi suatu polinomial   sedemikian sehingga  , dengan   adalah nilai-nilai eigen dari  .

Referensi

Sumber