Titik (geometri)

Untuk kegunaan lain, lihat Titik (disambiguasi).

Di dalam geometri, topologi, dan cabang-cabang matematika yang saling berkaitan, sebuah titik spasial menggambarkan objek yang spesifik di dalam ruang yang diberikan, yang tidak melibatkan volume, luas, panjang, atau analog-analog lainnya pada dimensi yang lebih tinggi. Dengan demikian, titik adalah objek 0-dimensi. Karena sifatnya sebagai salah satu konsep geometri paling sederhana, ia sering digunakan di dalam satu bentuk atau bentuk lain sebagai konstituen dasar geometri, fisika, gambar vektor, dan banyak lapangan lainnya.

Titik dalam geometri Euklides

Sehimpunan berhingga titik-titk (biru) di dalam ruang euclid dua dimensi.

Titik, yang sering dipandang di dalam kerangka kerja geometri Euklides, merupakan salah satu objek yang paling mendasar. Euklides mulanya mendefinisikan titik sebagai "objek yang tidak memiliki bagian". Dalam ruang Euklides dua dimensi, titik dinyatakan sebagai pasangan terurut $\,(x,y)$; bilangan pertama pada pasangan tersebut, menurut konvensi, menyatakan horizontal dan sering dituliskan sebagai $\,x$, sementara bilangan kedua menyatakan vertikal dan sering dituliskan sebagai $\,y$. Gagasan ini mudah diperumum ke dalam ruang Euklides tiga dimensi, dengan titik dinyatakan oleh pasangan terurut rangkap tiga$\,(x,y,z)$, dengan bilangan tambahan ketiga menyatakan kedalaman dan dinyatakan dengan $z$. Perumuman lebih lanjut dinyatakan dengan pasangan terurut rangkap $n$,$\,(a_{1},a_{2},...,a_{n})$, dengan $n$ adalah dimensi ruang tempat titik berada.

Banyak objek yang dibangun di dalam geometri Euklides terdiri dari tak berhingga banyaknya kumpulan titik-titik yang sesuai dengan aksioma-aksioma tertentu. Hal ini biasanya dinyatakan oleh himpunan titik-titik; misalnya, garis adalah himpunan tak hingga banyaknya titik-titik yang berbentuk$$\,L=\lbrace (a_{1},a_{2},...a_{n})|a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+...a_{n}c_{n}=d\rbrace ,$$dengan $\,c_{1}$ melalui $\,c_{n}$ dan $\,d$ adalah konstanta, serta $n$ adalah dimensi ruang. Juga terdapat konstruksi-konstruksi serupa yang mendefinisikan bidang, ruas garis, dan konsep-konsep lainnya yang saling berkaitan.

Titik di dalam cabang-cabang matematika

Suatu titik di dalam topologi umum didefinisikan sebagai anggota dari himpunan bagian dari ruang topologi.

Meskipun gagasan tentang titik secara umum dipandang fundamental di dalam geometri dan topologi arus utama, tetapi terdapat beberapa sistem yang mendahuluinya, misalnya geometri nonkomutatif dan topologi bebas titik. “Ruang bebas titik” (atau ruang tanpa titik) didefinisikan bukan sebagai himpunan, tetapi masing-masing melalui beberapa struktur (aljabar atau logika) yang seperti ruang fungsi yang familiar pada himpunan itu: masing-masing sebuah aljabar dari fungsi kontinu atau aljabar himpunan. Lebih persisnya, struktur yang memperumum ruang familiar dari fungsi menurut suatu cara di mana operasi “mengambil nilai pada titik ini” dapat didefinisikan.

Lihat pula

• Titik limit
• Ruang afin
• Titik batas
• Titik kritis
• Titik puncak
• Titik singular

Pranala luar

• Definisi Titik dengan applet interaktif
• Halaman definisi titik, dengan animasi interaktif yang juga berguna di dalam suasana ruang kelas. Math Open Reference