Pengguna:Hadithfajri/Limit barisan

Limit barisan bilangan

Misalkan $(x_{n})$ suatu barisan tak hingga dari bilangan (riil atau kompleks). Suatu bilangan $L$ adalah limit dari $(x_{n})$ apabila suku-suku barisan $(x_{n})$ semakin mendekati $L$ saat $n$ membesar tanpa batas. Jika $L$ adalah limit dari barisan $(x_{n})$ maka barisan tersebut dikatakan konvergen ke $L$ atau mempunyai limit $L$ atau memusat pada bilangan $L$ atau cenderung menuju $L$. Barisan yanng tidak mempunyai limit dikatakan divergen.

Secara lebih tepat, suatu bilangan $L$ adalah limit dari barisan bilangan tak hingga $(x_{n})$ apabila berlaku

$\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} (n>N\Rightarrow |x_{n}-L|<\varepsilon ),$

yakni, untuk sebarang bilangan positif $\varepsilon$, dapat ditentukan $N$ yang bergantung pada $\varepsilon$ sedemikian rupa, sehingga untuk semua bilangan bulat positif $n>N$ berlaku $\mid x_{n}-L\mid <\varepsilon$, dengan $\mid \cdot \mid$ melambangkan nilai mutlak untuk bilangan riil dan nilai modulus untuk bilangan kompleks.

Notasi untuk barisan $(x_{n})$ yang konvergen menuju $L$ ditulis sebagai $\lim _{n\to \infty }x_{n}=L$. Terkadang juga ditulis $x_{n}\to L$.

• 
  Contoh barisan yang konvergen ke $a$.
• 
  Untuk sebarang $\varepsilon >0$ yang dipilih, terdapat bilangan bulat $N_{0}$sedemikian sehingga seluruh nilai barisan dari suku ke-$N_{0}$ sampai seterusnya berada di lingkungan $(a-\varepsilon ,a+\varepsilon )$.
• 
  Untuk nilai, $\epsilon _{1}>0$ yang lain, akan terdapat pula bilangan bulat $N_{1}$, bersesuaian dengan nilai $\epsilon _{1}$ tersebut, sedemikian sehingga barisan dari suku ke-$N_{1}$ sampai seterusnya itu berada di dalam lingkungan $(a-\varepsilon _{1},a+\varepsilon _{1})$.
• 
  Untuk setiap $\varepsilon >0$, hanya terdapat sebanyak hingga anggota barisan di luar lingkungan $(a-\varepsilon ,a+\varepsilon )$.