Fungsi cembung

Dalam matematika, fungsi bernilai riil dikatakan cembung jika ruas garis antara sebarang dua titik berbeda pada grafik fungsi, berada di atas atau berada pada grafik fungsi di antara dua titik tersebut. Istilah lain dari fungsi dengan sifat tersebut adalah fungsi konveks dan fungsi cekung ke atas. Dalam kalimat yang lebih mudah, grafik fungsi cembung berbentuk seperti mangkuk $\cup$ (atau garis lurus seperti fungsi linear), sedangkan fungsi cekung berbentuk seperti tutup $\cap$.

Grafik suatu fungsi cembung pada suatu selang.

Fungsi (kurva hitam) bersifat cembung jika dan hanya jika daerah di atas grafik fungsi tersebut berupa himpunan cembung.

Grafik fungsi bivariat cembung x² + xy + y².

Fungsi satu variabel yang terdiferensialkan dua kali bersifat cembung jika dan hanya jika turunan kedua fungsi tersebut bernilai non-negatif di seluruh domainnya. Beberapa contoh fungsi cembung yang umum dikenal antara lain: fungsi linear $f(x)=cx$ (dengan $c$ adalah bilangan riil), fungsi kuadratik $cx^{2}$($c$ adalah bilangan riil non-negatif), dan fungsi ekponensial $ce^{x}$ ($c$ adalah bilangan riil non-negatif).

Fungsi cembung memainkan peran penting dalam banyak bidang matematika. Fungsi ini banyak dipelajari dalam masalah-masalah optimisasi karena memiliki beberapa sifat yang mudah digunakan. Sebagai contoh, fungsi cembung tegas pada himpunan buka hanya memiliki satu minimum. Bahkan di ruang dimensi tak-hingga, dengan beberapa asumsi tambahan yang sesuai, fungsi cembung tetap memenuhi sifat tersebut; dan sebagai akibatnya, mereka menjadi fungsi yang paling dipahami dalam kalkulus variasi. Dalam teori peluang, fungsi cembung yang diterapkan pada nilai harapan dari suatu variabel acak akan terbatas dari atas, oleh nilai harapan dari fungsi cembung dari variabel acak. Sifat tersebut, dikenal sebagai pertidaksamaan Jensen, dapat digunakan untuk menentukan bentuk-bentuk pertidaksamaan lainnya, seperti pertidaksamaan rerata aritmetik–geometrik dan pertidaksamaan Hölder.

Definisi

Misalkan $X$ adalah himpunan cembung dari suatu ruang vektor riil, dan misalkan $f:X\to \mathbb {R}$ adalah sebuah fungsi. Fungsi $f$ dikatakan cembung jika dan hanya jika ada kondisi berikut yang terpenuhi:

1. Untuk sebarang $0\leq t\leq 1$ dan sebarang $x_{1},x_{2}\in X$ berlaku: $$f\left(tx_{1}+(1-t)x_{2}\right)\leq tf\left(x_{1}\right)+(1-t)f\left(x_{2}\right)$$Ruas kanan merepresentasikan ruas garis lurus yang menghubungkan $\left(x_{1},f\left(x_{1}\right)\right)$ dan $\left(x_{2},f\left(x_{2}\right)\right)$ sebagai fungsi dari $t;$ memperbesar $t$ dari $0$ ke $1$ atau memperkecil $t$ dari $1$ ke $0$ akan menghasilkan titik yang melintasi ruas garis ini. Mirip dengan itu, argumen dari fungsi $f$ di ruas kiri merepresentasikan garis lurus antara $x_{1}$dan $x_{2}$ di $X$ (sumbu-$x$ dari grafik $f$). Akibatnya, kondisi ini mengharuskan ruas garis yang menghubungkan sebarang dua titik pada kurva $f$ berada di atas atas atau berada menyentuh grafik dari fungsi tersebut.
2. Untuk sebarang $0<t<1$ dan sebarang $x_{1},x_{2}\in X$ dengan $x_{1}\neq x_{2}$ berlaku: $$f\left(tx_{1}+(1-t)x_{2}\right)\leq tf\left(x_{1}\right)+(1-t)f\left(x_{2}\right)$$Perbedaan kondisi ini dengan kondisi sebelumnya adalah kondisi ini tidak menyertakan titik-titik perpotongan antara garis dengan kurva fungsi (yakni saat $t=0$ atau $1,$ atau $x_{1}=x_{2}$). Malahan, titik-titik tersebut tidak perlu dipertimbangkan dalam penentuan kecembungan fungsi, karena (jika mengikuti kondisi pertama) akan menghasilkan bentuk $f\left(x_{1}\right)\leq f\left(x_{1}\right)$ dan $f\left(x_{2}\right)\leq f\left(x_{2}\right)$ yang selalu benar.

Kondisi kedua dari syarat kecembungan fungsi juga dapat diubah untuk menghasilkan definisi kecembungan tegas (strict convexity), dengan mengubah$\,\leq \,$menjadi pertidaksamaan tegas$\,<.$ Secara matematis, fungsi $f$ dikatakan cembung tegas jika dan hanya jika untuk sebarang $0<t<1$ dan $x_{1},x_{2}\in X$ dengan $x_{1}\neq x_{2}$ berlaku hubungan: $$f\left(tx_{1}+(1-t)x_{2}\right)<tf\left(x_{1}\right)+(1-t)f\left(x_{2}\right).$$Fungsi $f$ dikatakan cekung (atau cekung tegas) jika $-f$ bersifat cembung (atau cembung tegas).

Sifat

Banyak sifat-sifat dari fungsi cembung untuk fungsi banyak variabel memiliki formulasi yang sama dengan versi fungsi satu variabel; walau tidak semuanya.

Fungsi satu variabel

• Misalkan $f$ adalah fungsi riil yang terdefinisi pada suatu selang, dan misalkan$$R(x_{1},x_{2})={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}$$menyatakan kemiringan dari garis yang melintasi titik $\left(x_{1},f\left(x_{1}\right)\right)$ dan $\left(x_{2},f\left(x_{2}\right)\right)$. Fungsi $f$ cembung jika dan hanya jika $R(x_{1},x_{2})$ monoton tak-menurun di $x_{1},$ untuk setiap $x_{2}$ yang dijaga tetap (dan sebaliknya).

Pustaka

• Gunawan, Hendra (2016). Pengantar Analisis Real. Bandung: Penerbit ITB. ISBN 978-602-7861-58-9. 
• Bertsekas, Dimitri (2003). Convex Analysis and Optimization. Athena Scientific. 
• Borwein, Jonathan, and Lewis, Adrian. (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer.
• Donoghue, William F. (1969). Distributions and Fourier Transforms. Academic Press. 
• Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste, and Lemaréchal, Claude. (2004). Fundamentals of Convex analysis. Berlin: Springer.
• Krasnosel'skii M.A., Rutickii Ya.B. (1961). Convex Functions and Orlicz Spaces. Groningen: P.Noordhoff Ltd. 
• Lauritzen, Niels (2013). Undergraduate Convexity. World Scientific Publishing. 
• Luenberger, David (1984). Linear and Nonlinear Programming. Addison-Wesley. 
• Luenberger, David (1969). Optimization by Vector Space Methods. Wiley & Sons. 
• Rockafellar, R. T. (1970). Convex analysis. Princeton: Princeton University Press. 
• Thomson, Brian (1994). Symmetric Properties of Real Functions. CRC Press. 
• Zălinescu, C. (2002). Convex analysis in general vector spaces. River Edge, NJ: World Scientific Publishing  Co., Inc. hlm. xx+367. ISBN 981-238-067-1. MR 1921556. 

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Convex function (of a real variable)", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Convex function (of a complex variable)", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4