E (konstanta matematika)

"Bilangan Euler" beralih ke halaman ini. Untuk kegunaan lain, lihat Daftar benda yang dinamai menurut nama Leonhard Euler § Bilangan.

"E (bilangan)" beralih ke halaman ini. Untuk kode yang mewakili bahan tambahan makanan, lihat Bilangan E.

Bilangan $e$ adalah konstanta matematika, bernilai sekitar 2,71828, yang merupakan basis logaritma alami dan fungsi eksponensial. Selain nama tersebut, bilangan ini juga disebut sebagai bilangan Euler yang namanya diambil dari Leonhard Euler, seorang matematikawan Swiss. Walaupun demikian, hal tersebut dapat menimbulkan kebingungan dengan bilangan bernama mirip, seperti bilangan Euler (deret), dan konstanta Euler (dinotasikan $\gamma$). Di samping Euler, bilangan $e$ juga disebut sebagai konstanta Napier yang namanya diambil dari John Napier. Bilangan tersebut sendiri pertama kali ditemukan oleh Jacob Bernoulli saat ia mempelajari bunga majemuk.

Grafik persamaan $y=1/x$. Di antaranya, $e$ adalah bilangan unik yang lebih besar dari 1 yang membuat daerah yang diarsir sama dengan 1.

Bilangan e adalah salah satu bilangan terpenting dalam matematika, bilangan lainnya, antara lain 0, 1, π, dan i. Kelima bilangan tersebut merupakan bagian identitas Euler $e^{i\pi }+1=0$ dan memainkan peran penting serta sering muncul pada berbagai bidang matematika. Sama seperti konstanta π, bilangan e irasional yang artinya hal tersebut tidak bisa dinyatakan sebagai pembagian antara dua bilangan bulat. Lebih lanjut, bilangan e juga transenden yang artinya hal tersebut bukan solusi (pembuat nol) sebuah polinomial. Nilai bilangan e hingga desimal ke-30 adalah sebagai berikut:

2.718281828459045235360287471352

Definisi

Bilangan e diungkapkan sebagai limit $$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},$$ ungkapan yang diperoleh saat mempelajari bunga majemuk

Selain itu, bilangan tersebut juga diungkapkan sebagai deret takhingga $$e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots .$$Bilangan tersebut adalah angka positif khusus a pada fungsi y = a^x yang menjadikan fungsi tersebut bergradien 1 di titik x = 0.

Di samping itu, bilangan tersebut diungkapkan sebagai $$e=\exp(1),$$ dengan $\exp$ fungsi eksponesial, fungsi yang turunannya sama dengan dirinya sendiri dan memiliki nilai $\exp(0)=1.$ Oleh karena fungsi eksponensial sering dituliskan dengan $x\mapsto e^{x},$ ungkapan tersebut ditulis ulang sebagai $$e=e^{1}.$$ Fungsi logaritma berbasis b didefinisikan sebagai invers atas fungsi $x\mapsto b^{x}.$ Karena persamaan $b=b^{1},$ inversnya adalah $\log _{b}b=1.$ Dengan demikian, persamaan $e=e^{1}$ mengartikan bahwa e adalah basis logaritma natural.

Bilangan e juga diungkapkan sebagai integral: $$\int _{1}^{e}{\frac {dx}{x}}=1.$$ Untuk bentuk lainnya, terdapat pada § Representasi

Sejarah

Referensi pertama untuk konstanta $e$ diterbitkan pada tahun 1618 dalam tabel lampiran dari karya tentang logaritma oleh John Napier. Namun, tabel tersebut tidak berisi konstanta itu sendiri, tetapi hanya daftar logaritma yang dihitung dari konstanta $e$. Diasumsikan bahwa tabel tersebut ditulis oleh William Oughtred.

Penemuan konstanta itu sendiri dikreditkan ke Jacob Bernoulli pada tahun 1683, yang mencoba mencari nilai dari ekspresi berikut (yang sama dengan $e$):

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.$

Penggunaan konstanta yang diketahui pertama kali, diawali oleh huruf $b$ adalah dalam korespondensi dari Gottfried Leibniz hingga Christiaan Huygens pada tahun 1690 dan 1691. Leonhard Euler memperkenalkan huruf $e$ sebagai dasar untuk logaritma alami, ditulis dalam surat kepada Christian Goldbach pada tanggal 25 November 1731. Euler mulai menggunakan huruf $e$ untuk konstanta ini pada tahun 1727 atau 1728, dalam sebuah makalah yang tidak diterbitkan tentang kekuatan ledakan dalam meriam, sedangkan perkenalan pertama $e$ dalam sebuah publikasi adalah Mechanica Euler (1736). Meskipun beberapa peneliti menggunakan huruf $c$ pada tahun-tahun berikutnya, huruf $e$ lebih umum dan akhirnya menjadi standar.

Dalam matematika, standar penulisannya adalah mengatur konstanta sebagai "$e$" yang ditulis dalam huruf miring; standar ISO 80000-2:2019 merekomendasikan penulisan konstanta ini dengan pengaturan huruf dalam gaya tegak, tetapi ini belum divalidasikan oleh komunitas ilmiah.

Aplikasi

Bunga majemuk

Pengaruh memperoleh bunga tahunan 20% pada sebuah awal $1,000 investasi pada berbagai frekuensi penggabungan

Jacob Bernoulli menemukan konstanta ini pada tahun 1683, ketika mempelajari pertanyaan tentang bunga majemuk:

Sebuah akun dimulai dengan $1,00 dan membayar bunga 100 persen per tahun. Jika bunga dikreditkan sekali, pada akhir tahun, nilai akun di akhir tahun adalah $2,00. Apa yang terjadi jika bunga dihitung dan dikreditkan lebih sering sepanjang tahun?

Jika bunga dikreditkan dua kali dalam setahun, tingkat bunga untuk setiap 6 bulan akan menjadi 50%, jadi $ 1 awal dikalikan 1,5 dua kali, menghasilkan $1.00 × 1.5² = $2.25 di akhir tahun. Bunga hasil kuartalan $1.00 × 1.25⁴ = $2.4414..., dan penggabungan hasil bunga bulanan $1.00 × (1 + 1/12)¹² = $2.613035… Bila ada n interval majemuk, bunga untuk setiap interval akan 100%/n dan nilainya pada akhir tahun akan menjadi $1.00 × (1 + 1/n)ⁿ.

Bernoulli memperhatikan bahwa urutan ini mendekati batas (kekuatan minat) dengan nilai n yang lebih besar dan, dengan demikian, interval penggabungan yang lebih kecil. Penggunaan bunga mingguan (n = 52) menghasilkan $ 2,692597 ..., sementara penggunaan bunga uang harian (n = 365) menghasilkan $ 2,714567 ... (sekitar dua sen lebih). Batasnya sebagai n tumbuh besar adalah jumlah yang kemudian dikenal sebagai e. Artinya, dengan penggabungan kontinu, nilai akun akan mencapai $2.7182818...

Secara lebih umum, akun yang dimulai dari $ 1 dan menawarkan tingkat bunga tahunan sebesar R, setelah itu t tahun, hasil dari e^Rt dolar dengan penambahan bunga terus-menerus.

(Perhatikan di sini karena R adalah desimal yang setara dengan suku bunga yang dinyatakan sebagai persentase, jadi untuk bunga 5%, R = 5/100 = 0.05.)

Percobaan-percobaan Bernoulli

Grafik probabilitas P jika not mengamati peristiwa independen masing-masing probabilitas 1/n sesudah n Pengadilan Bernoulli, dan 1 − P  vs n ; dapat diamati bahwa ketika n meningkat, probabilitas 1/n peristiwa kebetulan tidak pernah muncul setelah n mencoba dengan cepat menyatu dengan 1/e.

Bilangan dari e itu sendiri juga memiliki aplikasi dalam teori probabilitas, dengan cara yang tidak jelas terkait dengan pertumbuhan eksponensial:

${\binom {10^{6}}{k}}\left(10^{-6}\right)^{k}\left(1-10^{-6}\right)^{10^{6}-k}.$

Secara khusus, kemungkinan hadil nol kali (k = 0) adalah

$\left(1-{\frac {1}{10^{6}}}\right)^{10^{6}}.$

yang sangat mendekati batas

$\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}={\frac {1}{e}}.$

Distribusi normal standar

Artikel utama: Distribusi normal

Distribusi normal dengan rata-rata nol dan deviasi standar satuan dikenal sebagai distribusi normal standar, diberikan oleh fungsi kepadatan probabilitas

$\phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.$

Batasan varian unit (dan juga deviasi standar unit) menghasilkan 12 dalam eksponen, dan batasan luas total unit di bawah kurva $\phi (x)$ menghasilkan faktor $\textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}$.^[bukti] Fungsi ini simetris x = 0, di mana ia mencapai nilai maksimumnya $\textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}$, dan memiliki titik belok di x = ±1.

Kekacauan

Aplikasi lain dari e, juga ditemukan sebagian oleh Jacob Bernoulli bersama dengan Pierre Raymond de Montmort, Ada dalam masalah kekacauan, juga dikenal sebagai masalah cek topi: n tamu diundang ke pesta, dan di depan pintu, semua tamu memeriksa topi mereka dengan kepala pelayan, yang pada gilirannya menempatkan topi ke dalam n kotak, masing-masing diberi label dengan nama satu tamu. Tapi kepala pelayan belum menanyakan identitas para tamu, jadi dia menempatkan topi ke dalam kotak yang dipilih secara acak. Masalah de Montmort adalah menemukan probabilitas bahwa tidak ada topi yang dimasukkan ke kotak yang tepat. Probabilitas ini, dilambangkan dengan $p_{n}\!$, didefinisikan sebagai:

$p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.$

Dengan n sebagai nilai jumlah tamu cenderung tak terbatas, nilai p_n akan semakin mendekati 1 / e. Selanjutnya, banyaknya cara penempatan topi ke dalam kotak sehingga tidak ada topi yang berada di kotak yang tepat adalah n!/e (dibulatkan ke bilangan bulat terdekat untuk setiap bilangan positif n).

Masalah perencanaan yang optimal

Nilai maksimum dari ${\textstyle {\sqrt[{x}]{x}}}$ dapat diperoleh saat ${\textstyle x=e}$. Selain itu, untuk nilai basis ${\textstyle b>1}$, nilai maksimum dari ${\textstyle {\frac {1}{x}}\log _{b}{x}}$ diperoleh saat ${\textstyle x=e}$ (Permasalahan Steiner).

Dalam permasalahan lain, sebatang blok dengan panjang L dipecah menjadi n bagian yang sama. Nilai dari n yang memaksimalkan produk dari panjang adalah:

$n=\left\lfloor {\frac {L}{e}}\right\rfloor$ atau $\left\lfloor {\frac {L}{e}}\right\rfloor$

Asimtotik

Angka e terjadi secara alami sehubungan dengan banyak masalah yang melibatkan asimtotik. Contohnya adalah Rumus Stirling untuk asimtotik dari fungsi faktorial, di mana kedua bilangan tersebut e dan π muncul:

$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.$

Sebagai konsekuensi,

$e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}.$

Lihat pula

• Fungsi eksponensial
• Logaritma