Uji kekonvergenan
Kalkulus |
---|
Tes konvergensi (Uji konvergensi; bahasa Inggris: convergence tests) dalam matematika adalah kumpulan metoda untuk melakukan tes berkenaan dengan deret konvergen, konvergensi bersyarat, konvergensi mutlak, interval konvergensi atau divergensi suatu deret tak terhingga.
Daftar tes
Tes elemen
Jika limit dari summand (jumlah semua elemen) tidak dapat didefinisikan atau bukan nol, yaitu , maka deret itu pastilah divergen. Dalam hal ini, jumlah parsial merupakan Cauchy hanya jika limit ini ada dan sama dengan nol. Tes ini tidak mempunyai kesimpulan (inconclusive) jika limit jumlah semua elemen sama dengan nol.
Tes rasio
Juga dikenal sebagai "Kriteria D'Alembert" (D'Alembert's criterion). Misalnya ada sedemikian sehingga
- Jika r < 1, maka deret itu konvergen.
- Jika r > 1, maka deret itu divergen.
- Jika r = 1, tes rasio tidak konklusif, dan deret itu bisa saja konvergen atau divergen.
Tes akar
Juga dikenal sebagai "Test akar ke-n" (nth root test atau "Kriteria Cauchy", Cauchy's criterion). Diketahui r didefinisikan sebagai berikut:
- di mana "lim sup" melambangkan batas atas limit (mungkin ∞; jika ada limit, maka itulah nilainya).
- Jika r < 1, maka deret itu konvergen.
- Jika r > 1, maka deret itu divergen.
- Jika r = 1, tes akar tidak konklusif, dan deret itu bisa saja konvergen atau divergen.
Tes integral
Deret itu dapat dibandingkan dengan suatu integral untuk menguji apakah konvergen atau divergen. Misalnya adalah suatu fungsi positif dan monotone decreasing sedemikian sehingga .
- Jika maka deret itu konvergen
- Jika integral itu divergen, maka deret itu juga divergen.
Dengan kata lain, deret konvergen jika dan hanya jika integralnya konvergen.
Direct comparison test
Jika deret merupakan suatu deret konvergen mutlak dan untuk n yang cukup besar, maka deret mutlak konvergen (absolutely convergent).
Limit comparison test
Jika , dan limit ada, finit dan bukan nol, maka konvergen jika dan hanya jika konvergen.
Tes Raabe-Duhamel
Misalkan { an } > 0.
Definisikan
.
Jika ada, maka ada tiga kemungkinan:
- Jika L > 1 deret itu konvergen
- Jika L < 1 deret itu divergen
- Jika L = 1 tes itu tidak konklusif.
]</ref>
For example, for the series
- 1 + 1 + 0.5 + 0.5 + 0.25 + 0.25 + 0.125 + 0.125 + ...=4
convergence follows from the root test but not from the ratio test. -->
Contoh
Pertimbangkan deret
.
Tes kondensasi Cauchy menyiratkan bahwa (*) konvergen secara finit jika
secara finit konvergen. Karena
(**) merupakan deret geometrik dengan rasio . (**) secara finit konvergen jika rasionya kurang dari satu (yaitu ). Jadi, (*) secara finit konvergen jika dan hanya jika .
Lihat pula
Referensi