Teori himpunan

Teori Himpunan (Inggris: set theory) adalah bagian dari logika matematika yang mengkaji himpunan dan sifat-sifatnya. Himpunan dapat dideskripsikan sebagai koleksi atau kumpulan objek. Objek-objek tersebut dapat disebut sebagai elemen atau anggota dari himpunan.^[1]

Teori himpunan umumnya digunakan sebagai dasar untuk matematika, khususnya dalam bentuk teori himpunan Zermelo-Fraenkel dengan aksioma pilihan.^[2] Di luar peran dasarnya, teori himpunan adalah cabang matematika murni. Pengkajian kontemporer ke dalam teori himpunan mencakup beragam subjek, mulai dari struktur garis bilangan real hingga pengkajian tentang konsistensi kardinal besar.

Sejarah

Georg Cantor.

Topik matematika biasanya muncul dan berkembang melalui interaksi di antara banyak peneliti. Teori himpunan, bagaimanapun, didirikan oleh sebuah makalah pada tahun 1874 oleh Georg Cantor: "Pada Properti Koleksi Semua Bilangan Aljabar Nyata".^[3]^[4]

Sejak abad ke-5 SM, dimulai dengan Yunani ahli matematika Zeno dari Elea di Barat dan awal matematikawan India di Timur, matematikawan memiliki himpunan tak hingga. Yang paling menonjol adalah karya Bernard Bolzano di paruh pertama abad ke-19.^[5] Pemahaman modern tentang ketidakterbatasan dimulai pada tahun 1870–1874, dan dimotivasi oleh karya Cantor di analisis riil.^[6] Pertemuan tahun 1872 antara Cantor dan Richard Dedekind mempengaruhi pemikiran Cantor, dan berpuncak pada makalah Cantor tahun 1874.

Karya Cantor awalnya mempolarisasi ahli matematika pada masanya. Sementara Karl Weierstrass dan Dedekind mendukung Cantor, Leopold Kronecker, sekarang dipandang sebagai pendiri konstruktivisme matematika. Teori himpunan Cantorian akhirnya menyebar luas, karena kegunaan konsep Cantorian, seperti korespondensi satu-ke-satu di antara himpunan, buktinya bahwa ada lebih banyak bilangan riil daripada bilangan bulat, dan "infinity of infinities" ("Cantor's paradise") yang dihasilkan dari operasi set daya. Kegunaan teori himpunan ini mengarah ke artikel "Mengenlehre", disumbangkan pada tahun 1898 oleh Arthur Schoenflies ke ensiklopedia Klein.

Gelombang kegembiraan berikutnya dalam teori himpunan muncul sekitar tahun 1900, ketika ditemukan bahwa beberapa interpretasi teori himpunan Cantorian menimbulkan beberapa kontradiksi, disebut antinomi atau paradoks. Bertrand Russell dan Ernst Zermelo secara independen menemukan paradoks paling sederhana dan paling terkenal, yang sekarang disebut paradoks Russell: pertimbangkan "himpunan dari semua himpunan yang bukan anggota dirinya sendiri", yang mengarah pada kontradiksi karena harus menjadi anggota dari dirinya sendiri dan bukan anggota dari dirinya sendiri. Pada tahun 1899, Cantor sendiri mengajukan pertanyaan "Berapakah nomor kardinal dari himpunan semua himpunan?", Dan memperoleh paradoks terkait. Russell menggunakan paradoksnya sebagai tema dalam ulasan 1903 tentang matematika kontinental dalam bukunya The Principles of Mathematics.

Pada tahun 1906, pembaca bahasa Inggris memperoleh buku Theory of Sets of Points^[7] oleh suami dan istri William Henry Young dan Grace Chisholm Young, diterbitkan oleh Cambridge University Press.

Momentum teori himpunan sedemikian rupa sehingga debat tentang paradoks tidak mengarah pada pengabaiannya. Karya Zermelo pada tahun 1908 dan karya Abraham Fraenkel dan Thoralf Skolem pada tahun 1922 menghasilkan himpunan aksioma ZFC, yang menjadi himpunan aksioma yang paling umum digunakan untuk teori himpunan. Karya analis, seperti Henri Lebesgue, menunjukkan utilitas matematika yang hebat dari teori himpunan, yang sejak itu menjadi jalinan dalam jalinan matematika modern. Teori himpunan biasanya digunakan sebagai sistem dasar, meskipun di beberapa area — seperti geometri aljabar dan topologi aljabar, teori kategori dianggap sebagai fondasi yang disukai.

Himpunan

Contoh sebuah diagram Venn : irisan anggota dari himpunan A dan B

Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek tertentu yang tercakup dalam satu kesatuan dengan keterangannya yang jelas. Untuk menyatakan suatu himpunan, digunakan huruf kapital seperti A, B, C dsb. Sedangkan untuk menyatakan anggota-anggotanya digunakan huruf kecil seperti a, b, c, dsb.

Menyatakan himpunan

Ada empat cara untuk menyatakan suatu himpunan.

Enumerasi
Dengan mendaftarkan semua anggotanya (roster) yang diletakkan di dalam sepasang tanda kurung kurawal, dan di antara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma. Contoh:
- A = {a, i, u, e, o}
Simbol baku
Dengan menggunakan simbol tertentu yang telah disepakati.

Contoh:
- P adalah himpunan bilangan bulat positif
- Z adalah himpunan bilangan bulat
- R adalah himpunan bilangan riil
- C adalah himpunan bilangan kompleks
Notasi pembentuk himpunan
Dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum (role) dari anggota.

Contoh:
- A = {x|x adalah himpunan bilangan bulat}
Diagram Venn
Menyajikan himpunan secara grafis dengan tiap-tiap himpunan digambarkan sebagai lingkaran dan memiliki himpunan semesta (U) yang digambarkan dengan segi empat.

Beberapa ontologi

An initial segment of the von Neumann hierarchy.

Himpunan adalah murni jika semua anggotanya adalah himpunan, semua anggotanya adalah himpunan, dan seterusnya. Contohnya, himpunan ${{}}$ hanya berisi himpunan kosong adalah himpunan murni tidak kosong. Dalam teori himpunan modern, adalah umum untuk membatasi perhatian pada von Neumann universe himpunan murni, dan banyak sistem teori himpunan aksiomatik dirancang untuk melakukan aksioma himpunan murni. Ada banyak keuntungan teknis dari pembatasan ini, dan sedikit umum yang hilang, karena pada dasarnya semua konsep matematika dapat dimodelkan dengan himpunan murni. Kumpulan di alam semesta von Neumann diatur ke dalam hierarki kumulatif, berdasarkan seberapa dalam anggotanya, anggota anggotanya, dll. Setiap set dalam hierarki ini ditetapkan (oleh transfinite recursion) sebuah bilangan ordinal $\alpha$ , dikenal sebagai peringkat. Pangkat himpunan murni $X$ didefinisikan sebagai batas atas terkecil dari semua penerus dari jajaran anggota $X$ . Misalnya, himpunan kosong diberi peringkat 0, sedangkan himpunan ${{}}$ hanya berisi himpunan kosong yang diberi peringkat 1. Untuk setiap ordinal $\alpha$ , himpunan $V_{\alpha }$ didefinisikan terdiri dari semua set murni dengan peringkat kurang dari $\alpha$ . Seluruh alam semesta von Neumann dilambangkan $V$ .

Teori himpunan aksiomatik

Teori himpunan dasar dapat dipelajari secara informal dan intuitif, sehingga dapat diajarkan di sekolah dasar menggunakan diagram Venn. Pendekatan intuitif secara diam-diam mengasumsikan bahwa suatu himpunan dapat dibentuk dari kelas semua objek yang memenuhi kondisi tertentu tertentu. Asumsi ini menimbulkan paradoks, yang paling sederhana dan paling terkenal adalah paradoks Russell dan paradoks Burali-Forti. Teori himpunan aksiomatik pada awalnya dirancang untuk menyingkirkan teori himpunan dari paradoks tersebut.^{[note 1]}

Sistem teori himpunan aksiomatik yang paling banyak dipelajari menyiratkan bahwa semua himpunan membentuk hierarki kumulatif. Sistem seperti itu datang dalam dua bentuk, yang ontologi terdiri dari:

Himpunan sendiri. Ini termasuk teori himpunan aksiomatik yang paling umum, Zermelo–Fteori himpunan fraenkel dengan Aksioma Pilihan (ZFC). Fragmen dari ZFC termasuk:
- Teori himpunan Zermelo, yang menggantikan skema aksioma penggantian dengan pemisahan;
- Teori himpunan umum, sebuah fragmen kecil dari teori himpunan Zermelo cukup untuk aksioma Peano dan himpunan terbatas;
- Kripke–Platek set theory, which omits the axioms of infinity, powerset, and choice, and weakens the axiom schemata of separation and replacement.
Himpunan dan kelas yang sesuai. Ini termasuk teori himpunan Von Neumann – Bernays – Gödel, yang memiliki kekuatan yang sama dengan ZFC untuk teorema tentang himpunan saja, dan teori himpunan Morse – Kelley dan teori himpunan Tarski–Grothendieck, keduanya lebih kuat dari ZFC.

Sistem di atas dapat dimodifikasi untuk mengizinkan urelement, objek yang dapat menjadi anggota himpunan tetapi bukan himpunan itu sendiri dan tidak memiliki anggota.

Sistem Yayasan Baru dari NFU (mengizinkan urelement) dan NF (kekurangannya) tidak didasarkan pada hierarki kumulatif. NF dan NFU menyertakan "sekumpulan segalanya", yang relatif setiap set memiliki pelengkap. Dalam sistem ini urelemen penting, karena NF, tetapi bukan NFU, menghasilkan himpunan yang tidak dimiliki aksioma pilihan.

Sistem teori himpunan konstruktif, seperti CST, CZF, dan IZF, menyematkan aksioma himpunannya di intuitif daripada logika klasik. Namun sistem lain menerima logika klasik tetapi menampilkan hubungan keanggotaan yang tidak standar. Ini termasuk teori himpunan kasar dan teori himpunan fuzzy, di mana nilai rumus atom yang mewujudkan hubungan keanggotaan tidak sederhana Benar atau Salah. Model bernilai Boolean dari ZFC adalah subjek terkait.

Pengayaan ZFC yang disebut teori himpunan internal telah diusulkan oleh Edward Nelson pada tahun 1977.

Lihat pula

Glosarium teori himpunan
Kelas (teori himpunan)
Daftar topik teori himpunan
Model relasional-meminjam dari teori himpunan

Catatan

^ Pada tahun 1925, John von Neumann mengamati bahwa "teori himpunan pada versi pertama,"naif", karena Cantor, menyebabkan kontradiksi. Ini adalah antinomi yang terkenal dari himpunan semua himpunan yang tidak mengandung dirinya sendiri (Russell), dari himpunan semua bilangan ordinal transfinite (Burali-Forti), dan himpunan semua bilangan real yang dapat ditentukan dengan jelas (Richard)." Dia melanjutkan dengan mengamati bahwa dua "kecenderungan" sedang mencoba untuk "merehabilitasi" teori himpunan. Upaya pertama, dicontohkan oleh Bertrand Russell, Julius König, Hermann Weyl dan L. E. J. Brouwer, von Neumann menelepon "efek keseluruhan dari aktivitas mereka. . . menghancurkan". Berkenaan dengan metode aksiomatik yang digunakan oleh kelompok kedua yang terdiri dari Zermelo, Fraenkel dan Schoenflies, von Neumann mengkhawatirkan itu "Kita hanya melihat bahwa mode kesimpulan yang mengarah ke antinomi gagal, tetapi siapa yang tahu di mana tidak ada yang lain?" dan dia menetapkan tugas, "dalam semangat kelompok kedua", untuk "memproduksi, melalui sejumlah operasi yang murni formal . . . semua set yang ingin kita lihat terbentuk "tetapi tidak memungkinkan untuk antinomies. (Semua kutipan dari von Neumann 1925 dicetak ulang di van Heijenoort, Jean (1967, cetakan ketiga 1976), Dari Frege ke Gödel: Buku Sumber dalam Logika Matematika, 1879–1931, Harvard University Press, Cambridge MA, ISBN 0-674-32449-8 (pbk). Sinopsis sejarah, yang ditulis oleh van Heijenoort, dapat ditemukan di komentar sebelum von Neumann tahun 1925.

Referensi

^ "Set Theory (Basics, Definitions, Types of sets, Symbols & Examples)". BYJUS (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2024-07-17.
^ Kunen 1980, hlm. xi: "Teori himpunan adalah dasar matematika. Semua konsep matematika didefinisikan dalam istilah pengertian primitif himpunan dan keanggotaan. Dalam teori himpunan aksiomatik, kami merumuskan beberapa aksioma sederhana tentang pengertian primitif ini dalam upaya untuk menangkap prinsip dasar teori himpunan yang "jelas benar". Dari aksioma semacam itu, semua matematika yang diketahui dapat diturunkan."
^ Cantor, Georg (1874), "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen", Journal für die reine und angewandte Mathematik (dalam bahasa German), 77: 258–262, doi:10.1515/crll.1874.77.258
^ Johnson, Philip (1972), A History of Set Theory , Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-154-6
^ Bolzano, Bernard (1975), Berg, Jan, ed., Einleitung zur Größenlehre und erste Begriffe der allgemeinen Größenlehre, Bernard-Bolzano-Gesamtausgabe, edited by Eduard Winter et al., Vol. II, A, 7, Stuttgart, Bad Cannstatt: Friedrich Frommann Verlag, hlm. 152, ISBN 3-7728-0466-7
^ Dauben, Joseph (1979), Georg Cantor: Matematika dan Filsafatnya yang Tak Terbatas, Harvard University Press, hlm. 30–54, ISBN 0-674-34871-0 .
^ Young, William; Young, Grace Chisholm (1906), Teori Kumpulan Poin, Cambridge University Press

Bacaan lebih lanjut

Devlin, Keith (1993), The Joy of Sets (edisi ke-2nd), Springer Verlag, ISBN 0-387-94094-4
Ferreirós, Jose (2007), Labirin Pemikiran: Sejarah teori himpunan dan perannya dalam matematika modern, Basel: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-8349-7
Johnson, Philip (1972), Sejarah Teori Himpunan , Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-154-6
Kunen, Kenneth (1980), Teori Himpunan: Pengantar Bukti Kemerdekaan, North-Holland, ISBN 0-444-85401-0
Potter, Michael (2004), Teori Himpunan dan Filsafatnya: Pengantar Kritikal, Oxford University Press
Tiles, Mary (2004), Filsafat Teori Himpunan: Pengantar Historis ke Surga Penyanyi, Dover Publications, ISBN 978-0-486-43520-6
Smullyan, Raymond M.; Fitting, Melvin (2010), Teori Himpunan Dan Masalah Kontinum, Dover Publications, ISBN 978-0-486-47484-7
Monk, J. Donald (1969), Pengantar Teori Himpunan, McGraw-Hill Book Company, ISBN 978-0898740066

Pranala luar

Cari tahu mengenai Teori himpunan pada proyek-proyek Wikimedia lainnya:
	Definisi dan terjemahan dari Wiktionary
	Gambar dan media dari Commons
	Kutipan dari Wikiquote
	Buku dari Wikibuku