Ekstensi grup

Dalam matematika, ekstensi grup adalah cara umum untuk mendeskripsikan grup dalam istilah subgrup normal dan grup hasil bagi tertentu. Jika Q dan N adalah dua grup, maka G adalah ekstensi dari Q oleh N jika ada barisan eksak pendek.

1\to N\;{\overset {\iota }{\to }}\;G\;{\overset {\pi }{\to }}\;Q\to 1.

Jika G adalah perpanjangan dari Q oleh N , maka G adalah grup, $\iota (N)$ adalah subgrup normal dari G dan grup hasil bagi $G/\iota (N)$ adalah isomorfik ke grup Q . Ekstensi grup muncul dalam konteks masalah ekstensi, dimana grup Q dan N diketahui dan properti dari G harus ditentukan. Perhatikan bahwa frase " G merupakan perpanjangan dari N oleh Q " juga digunakan oleh beberapa orang.^[1]

Karena grup hingga G memiliki maksimal subgrup normal N dengan grup faktor sederhana G/N, semua grup hingga dapat dibangun sebagai serangkaian ekstensi dengan grup sederhana hingga. Fakta ini menjadi motivasi untuk menyelesaikan klasifikasi grup sederhana hingga.

Sebuah ekstensi disebut ekstensi pusat jika subgrup N terletak di pusat dari G.

Ekstensi secara umum

Satu ekstensi, produk langsung, langsung terlihat. Jika seseorang membutuhkan G dan Q menjadi grup abelian, maka himpunan kelas isomorfisme dari ekstensi Q oleh grup (abelian) N sebenarnya adalah grup isomorfik pada

\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(Q,N);

cf. Ext funktor. Beberapa kelas ekstensi umum lainnya diketahui tetapi tidak ada teori yang memperlakukan semua ekstensi yang mungkin pada satu waktu. Perpanjangan grup biasanya digambarkan sebagai masalah yang sulit; itu disebut masalah ekstensi.

Untuk mempertimbangkan beberapa contoh, jika G = K × H, lalu G adalah perpanjangan dari H dan K . Secara lebih umum, jika G adalah produk setengah langsung dari K dan H , ditulis sebagai $G=K\rtimes H$ , lalu G adalah perpanjangan dari H oleh K , sehingga produk seperti produk karangan bunga memberikan contoh ekstensi lebih lanjut.

Masalah ekstensi

Pertanyaan tentang grup apa G yang merupakan perpanjangan dari H oleh N disebut masalah perluasan, dan telah dipelajari secara mendalam sejak akhir abad kesembilan belas. Mengenai motivasinya, pertimbangkan bahwa rangkaian komposisi dari suatu grup terbatas adalah urutan subkelompok yang terbatas {A_i}, dimana A_i+1 merupakan perpanjangan dari A_i oleh beberapa grup sederhana. Klasifikasi grup sederhana hingga memberi kita daftar lengkap grup sederhana hingga; jadi solusi untuk masalah ekstensi akan memberi kita informasi yang cukup untuk membangun dan mengklasifikasikan semua grup hingga secara umum.

Mengklasifikasikan ekstensi

Memecahkan masalah ekstensi sama dengan mengklasifikasikan semua ekstensi H oleh K ; atau lebih praktis, dengan mengekspresikan semua ekstensi tersebut dalam istilah objek matematika yang lebih mudah untuk dipahami dan dihitung. Secara umum, masalah ini sangat sulit, dan semua hasil yang paling berguna mengklasifikasikan ekstensi yang memenuhi beberapa kondisi tambahan.

Penting untuk mengetahui kapan dua ekstensi ekuivalen atau kongruen. Kami mengatakan bahwa ekstensi

1\to K{\stackrel {i}{{}\to {}}}G{\stackrel {\pi }{{}\to {}}}H\to 1

dan

1\to K{\stackrel {i'}{{}\to {}}}G'{\stackrel {\pi '}{{}\to {}}}H\to 1

adalah ekuivalen (atau kongruen) jika terdapat isomorfisme grup $T:G\to G'$ membuat komutatif diagram Gambar 1. Sebenarnya sudah cukup untuk memiliki homomorfisme grup; karena asumsi komutatifitas diagram, peta $T$ dipaksa menjadi isomorfisme oleh short five lemma.

Gambar 1

Peringatan

Mungkin saja ekstensi $1\to K\to G\to H\to 1$ dan $1\to K\to G^{\prime }\to H\to 1$ tidak sama tetapi G dan G ' isomorfik sebagai grup. Misalnya, ada $8$ ekstensi yang tidak sama dari Klein empat grup oleh $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ ,^[2] tetapi ada, hingga grup isomorfisme, hanya empat grup order $8$ yang berisi subgrup normal order $2$ dengan grup hasil bagi isomorfik pada Klein empat gruo.

Ekstensi trivial

ekstensi trivial adalah sebuah ekstensi

1\to K\to G\to H\to 1

yang setara dengan ekstensi

1\to K\to K\times H\to H\to 1

dimana panah kiri dan kanan masing-masing merupakan penyertaan dan proyeksi dari masing-masing faktor $K\times H$ .

Mengklasifikasikan ekstensi terpisah

Perpecahan ekstensi adalah perpanjangan

1\to K\to G\to H\to 1

dengan homomorphism $s\colon H\to G$ sedemikian rupa sehingga pergi dari H ke G oleh s dan kemudian kembali ke H dengan peta hasil bagi dari urutan yang tepat pendek menginduksi peta identitas pada H yaitu, $\pi \circ s=\mathrm {id} _{H}$ . Dalam situasi ini, biasanya dikatakan bahwa membagi di atas urutan yang tepat.

Perpecahan ekstensi sangat mudah untuk diklasifikasikan, karena ekstensi dipisahkan jika dan hanya jika grup G adalah produk semidirect dari K dan H . Produk semidirect sendiri mudah untuk diklasifikasikan, karena dalam korespondensi one-to-one dengan homomorfisme dari $H\to \operatorname {Aut} (K)$ , dimana Aut(K) adalah grup automorphism dari K . Untuk diskusi lengkap tentang mengapa ini benar, lihat produk setengah langsung.

Peringatan

Secara umum dalam matematika, perpanjangan struktur K biasanya dianggap sebagai struktur L dimana K adalah substruktur. Lihat misalnya ekstensi bidang. Namun, dalam teori grup terminologi yang berlawanan telah merayap masuk, sebagian karena notasi $\operatorname {Ext} (Q,N)$ , yang terbaca dengan mudah sebagai ekstensi dari Q oleh N , dan fokusnya ada pada grup Q .

Makalah Brown dan Porter (1996) tentang Schreier teori ekstensi nonabelian (dikutip di bawah) menggunakan terminologi bahwa perpanjangan dari K memberikan struktur yang lebih besar.

Perpanjangan pusat

Ekstensi pusat dari grup G adalah urutan tepat singkat dari grup

1\to A\to E\to G\to 1

sedemikian rupa sehingga A pada Z(E), yang pusat dari grup E. Himpunan kelas isomorfisme ekstensi pusat G oleh A (di mana G bertindak sepele pada A ) dalam korespondensi satu-ke-satu dengan grup kohomologiH²(G, A).

Contoh ekstensi pusat dapat dibuat dengan mengambil grup G dan grup abelian A , dan menyetel E menjadi A × G. Contoh membagi semacam ini sesuai dengan elemen 0 di H²(G, A) di bawah korespondensi di atas. Contoh yang lebih serius ditemukan dalam teori representasi proyektif, dalam kasus di mana representasi proyektif tidak dapat diangkat ke representasi linear biasa.

Dalam kasus kelompok sempurna hingga, terdapat perluasan pusat sempurna universal.

Demikian pula, ekstensi pusat dari aljabar Lie ${\mathfrak {g}}$ adalah urutan yang tepat

0\rightarrow {\mathfrak {a}}\rightarrow {\mathfrak {e}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0

sehingga ${\mathfrak {a}}$ berada di tengah ${\mathfrak {e}}$ .

Ada teori umum tentang perluasan pusat dalam varietas Maltsev, lihat makalah oleh Janelidze dan Kelly yang tercantum di bawah ini.

Generalisasi untuk ekstensi umum

Makalah tentang Ekstensi Grup dan $H^{3}$ diberikan di bawah ini memberikan klasifikasi serupa dari semua ekstensi G oleh A dalam hal homomorfisme dari $G\to \operatorname {Out} (A)$ , kondisi keberadaan yang membosankan tetapi dapat diperiksa secara eksplisit yang melibatkan $H^{3}(G,Z(A))$ dan grup cohomology $H^{2}(G,Z(A))$ .

Grup Lie

Dalam teori grup lie, ekstensi pusat muncul sehubungan dengan topologi aljabar. Secara kasar, perluasan pusat grup Lie oleh grup diskrit sama dengan grup penutup. Lebih tepatnya, terhubung ruang tertutup $G *$ dari grup Lie yang terhubung $G$ secara alami merupakan perluasan pusat dari $G$ , sedemikian rupa sehingga proyeksi

\pi \colon G^{*}\to G

adalah homomorfisme kelompok, dan dugaan. (Struktur grup di $G *$ tergantung pada pilihan pemetaan elemen identitas untuk identitas pada $G$ .) Misalnya, saat $G *$ adalah sampul universal dari $G$ , kernel dari π adalah kelompok fundamental dari $G$ , yang dikenal jadilah abelian (lihat Ruang-H). Sebaliknya, diberi grup Lie $G$ dan subgrup pusat diskrit $Z$ , hasil bagi $G / Z$ adalah grup Lie dan $G$ adalah ruang penutupnya.

Lihat pula

Referensi

^ group+extension#Definition di nLab Remark 2.2.
^ page no. 830, Dummit, David S., Foote, Richard M., Abstract algebra (Third edition), John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, NJ (2004).

Mac Lane, Saunders (1975), Homology, Classics in Mathematics, Springer Verlag, ISBN 3-540-58662-8
R.L. Taylor, Covering groups of non connected topological groups, Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 5 (1954), 753–768.
R. Brown and O. Mucuk, Covering groups of non-connected topological groups revisited, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 115 (1994), 97–110.
R. Brown and T. Porter, On the Schreier theory of non-abelian extensions: generalisations and computations, Proceedings of the Royal Irish Academy, vol. 96A (1996), 213–227.
G. Janelidze and G. M. Kelly, Central extensions in Malt'sev varieties, Theory and Applications of Categories, vol. 7 (2000), 219–226.
P. J. Morandi, Group Extensions and H³ Diarsipkan 2018-05-17 di Wayback Machine.. From his collection of short mathematical notes.

[1] roup+extension#Definition di nLab Remark 2.2.

[2] . 830, Dummit, David S., Foote, Richard M., Abstract algebra (Third edition), John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, NJ (2004).

[1]

[2]