Produk karangan bunga

produk khusus dari dua grup, berdasarkan produk setengah langsung

Dalam teori grup, hasilkali karangan bunga atau darab karangan bunga (bahasa Inggris: Wreath product) adalah hasil kali khusus dari dua grup, berdasarkan hasilkali setengah langsung. hasilkali karangan bunga digunakan dalam klasifikasi grup permutasi dan juga menyediakan cara untuk membangun contoh grup yang menarik.

Diberikan dua grup dan , terdapat dua variasi hasilkali karangan bunga: hasilkali karangan bunga takterbatas (juga ditulis dengan simbol LaTeX \wr) dan hasilkali karangan bunga terbatas . Diberikan himpunan Ω dengan tindakan-, terdapat generalisasi dari hasilkali karangan bunga yang dilambangkan dengan atau .

Gagasan tersebut masuk dalam kelompok semigrup dan merupakan konstruksi sentral dalam teori struktur Krohn–Rhodes dari semigrup hingga.

Definisi

sunting

Misalkan   dan   menjadi grup dan   satu himpunan dengan  bertindak di atasnya (dari kanan). Misalkan   menjadi hasilkali grup langsung

 

dari salinan   diindeks oleh himpunan  . Elemen   dapat dilihat sebagai sembarang urutan   dari elemen   diindeks oleh   dengan perkalian sesekomponen. Kemudian tindakan   pada   meluas secara alami menjadi tindakan   pada grup   oleh

 .

Kemudian hasilkali karangan bunga takterbatas   dari   oleh   adalah hasilkali setengah langsung  . Subgrup   dari   disebut basis dari hasilkali karangan bunga.

Hasilkali karangan bunga terbatas   dibuat dengan cara yang sama seperti hasil kali karangan bunga tidakterbatas, kecuali yang menggunakan jumlah langsung

 

sebagai dasar hasil kali karangan bunga. Dalam hal ini elemen   adalah urutan   elemen di  diindeks oleh   yang semuanya kecuali banyak   adalah elemen identitas dari  .

Dalam kasus yang paling umum, salah satunya membutuhkan  , di mana   bekerja secara alami dengan perkalian sebelah kiri. Dalam hal ini, hasil kali karangan bunga yang tidak dibatasi dan dibatasi dapat dilambangkan dengan   dan  . Ini disebut hasil kali karangan bunga beraturan.

Notasi dan konvensi

sunting

Struktur hasil kali karangan bunga dari   oleh   bergantung pada himpunan   dari   dan jika   tak terbatas, itu juga tergantung pada apakah salah satunya menggunakan hasil kali karangan bunga yang dibatasi atau tidak dibatasi. Namun, dalam literatur, notasi yang digunakan mungkin kurang dan perlu diperhatikan keadaannya.

  • Dalam literatur,   dapat diartikan sebagai hasilkali karangan bunga takterbatas   atau hasilkali karangan bunga terbatas  .
  • Demikian,   dapat diartikan sebagai hasilkali karangan bunga beraturan takterbatas   atau hasilkali karangan bunga beraturan terbatas  .
  • Dalam literatur, himpunan- dari   dapat dihilangkan dari notasi meskipun  .
  • Dalam kasus khusus bahwa   adalah grup simetrik derajat   adalah hal yang umum dalam literatur untuk mengasumsikannya   (dengan tindakan alami  ) dan kemudian hilangkan   dari notasi. Yaitu,   biasanya menunjukkan   bukan hasilkali karangan bunga beraturan  . Dalam kasus pertama, grup basisnya adalah hasilkali dari   salinan dari  , dalam kasus terakhirnya adalah hasilkali dari   salinan dari   (dimana   melambangkan faktorial).

Perjanjian hasil kali karangan bunga yang tidak terbatas dan terbatas pada terhingga  

sunting

Karena hasil kali langsung hingga adalah sama dengan jumlah langsung grup hingga, ini mengikuti bahwa hasi lkali karangan bunga tak terbatas   dan terbatas   setuju jika himpunan-  dari   terbatas. Khususnya, ini benar ketika  .

Sub grup

sunting

 selalu merupakan subgrup dari  .

Kekardinalan

sunting

Jika  ,   dan   adalah terhingga, maka

 .[1]

Teorema pembenaman semesta

sunting

Jika   adalah ekstensi dari   oleh  , maka terdapat subgrup hasilkali karangan bunga tak terbatas   yang isomorfik dengan .[2] Ini juga dikenal sebagai teorema pembenaman Krasner–Kaloujnine. Teorema Krohn–Rhodes melibatkan apa yang pada dasarnya setara dengan semigrup ini.[3]

Tindakan kanonik hasilkali karangan bunga

sunting

Jika grup   bertindak pada himpunan  , maka ada dua cara kanonik untuk membangun himpunan dari   dan   yang mana   (and therefore also A wrΩ H) can act.

  • Tindakan hasilkali karangan bunga takprimitif pada Λ × Ω.
Jika ((aω),h) ∈ A WrΩ H and (λ,ω′) ∈ Λ × Ω, then
 
  • Tindakan hasilkali karangan bunga primitif di ΛΩ.
Elemen pada Λ Ω adalah urutan (λω) diindeks dari himpunan H Ω. Diberikan sebuah elemen ((aω), h) ∈ A WrΩ H operasinya pada (λω) ∈ ΛΩ is given by
 

Referensi

sunting
  1. ^ Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, p. 172 (1995)
  2. ^ M. Krasner and L. Kaloujnine, "Produit complet des groupes de permutations et le problème d'extension de groupes III", Acta Sci. Math. Szeged 14, pp. 69–82 (1951)
  3. ^ J D P Meldrum (1995). Wreath Products of Groups and Semigroups. Longman [UK] / Wiley [US]. hlm. ix. ISBN 978-0-582-02693-3. 

Pranala luar

sunting