Binomial (polinomial)

Untuk kegunaan lain, lihat Binomial.

Dalam aljabar, binomial adalah suatu polinomial yang merupakan salah satu jumlah dari dua suku yang masing-masingnya merupakan monomial. Binomial merupakan jenis polinomial rongga sederhana setelah monomial.

Binomial dipangkatn empat terdiri dari lima suku.

Definisi

Suatu binomial adalah polinomial yang merupakan salah satu penjumlahan dari dua monomial. Suatu binomial dalam bentuk tak tentu tunggal (atau juga dikenal sebagai binomial univariat) dapat ditulis sebagai

$$ax^{m}-bx^{n},$$

dengan $a$ dan $b$ menyatakan suatu bilangan, $m$ dan $n$ menyatakan bilangan bulat nonnegatif yang berbeda, serta $x$ adalah simbol yang menyatakan ketidaktentuan, yang disebut variabel. Dalam polinomial Laurent, suatu binomial Laurent yang biasanya disebut binomial, didefinisikan dengan cara yang sama, tetapi pangkat $m$ dan $n$ bernilai negatif.

Secara umum, binomial ditulis sebagai:

$$ax_{1}^{n_{1}}\dotsb x_{i}^{n_{i}}-bx_{1}^{m_{1}}\dotsb x_{i}^{m_{i}}$$

Operasi pada binomial sederhana

• Binomial $x^{2}-y^{2}$ dapat difaktorkan sebagai hasil kali dari dua binomial lainnya:
  $$x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).$$
  Terdapat bentuk khusus, yang merupakan rumus yang diperumum:
  $$x^{n+1}-y^{n+1}=(x-y)\sum _{k=0}^{n}x^{k}\,y^{n-k}.$$

Saat mengerjakan dalam bilangan kompleks, binomual juga dapat diperluas ke:

$$x^{2}+y^{2}=x^{2}-(iy)^{2}=(x-iy)(x+iy).$$

• Hasil kali dari pasangan binomial linear $(ax+b)$ dan $(cx+d)$ adalah trinomial:
  $$(ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd.$$

• Binomial yang dipangkatkan ke-$n$, dinyatakan dengan bentuk $(x+y)^{n}$. Bentuk ini dapat diperluas dengan menggunakan teorema binomial, atau secara ekuivalen, menggunakan segitiga Pascal. Sebagai contoh, binomial $(x+y'')$ dikuadratkan, yaitu $(x+y)^{2}$, sama dengan jumlah kuadrat dari kedua suku dan dua kali lipat produk dari penyebutannya, yaitu:

$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.$

Bilangan (1, 2, 1) yang muncul sebagai penggali untuk suku-suku dalam perluasan tersebut merupakan koefisien binomial dari dua baris ke bawah dari bagian atas segitiga Pascal. Perluasan dari perpangkatan ke-$n$ menggunakan bilangan baris $n$ ke bawah dari atas segitiga.

• Penerapan rumus di atas untuk kuadrat binomial adalah rumus-"$(m,n)$" untuk menghasilkan rangkap tiga Pythagoras:

Untuk $m<n$, misalkan $a=n^{2}-m^{2}$, $b=2mn$, and $c=n^{2}+m^{2}$; maka $a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

• Binomial yang merupakan jumlah atau selisih pangkat tiga dapat difaktorkan menjadi polinomial berderajat rendah sebagai berikut:
  $$x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})$$
  $$x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})$$

Lihat pula

• Distribusi binomial
• Daftar topik faktorial dan binomial (yang berisi banyak pranala yang berkaitan)

Referensi

• Bostock, L.; Chandler, S. (1978). Pure Mathematics 1. Oxford University Press. hlm. 36. ISBN 0-85950-092-6.