Segitiga Pascal

Dalam matematika, segitiga Pascal adalah suatu aturan geometri pada koefisien binomial dalam sebuah segitiga. Segitiga tersebut dinamai berdasarkan nama matematikawan Blaise Pascal, meskipun ahli matematika lain telah mengkajinya berabad-abad sebelum dia di India, Persia, Tiongkok, dan Italia. Barisan segitiga Pascal umumnya dihitung dimulai dengan baris kosong, dan nomor-nomor dalam barisan ganjil biasanya diatur agar terkait dengan nomor-nomor dalam baris genap. Konstruksi sederhana pada segitiga dilakukan dengan cara berikut. Di barisan nol, hanya tulis nomor 1. Kemudian, untuk membangun unsur-unsur barisan berikutnya, tambahkan nomor di atas dan di kiri dengan nomor secara langsung di atas dan di kanan untuk menemukan nilai baru. Jika nomor di kanan atau kiri tidak ada, gantikan suatu kosong pada tempatnya. Misalnya, nomor satu di barisan pertama adalah 0 + 1 = 1, di mana nomor 1 dan 3 dalam barisan ketiga ditambahkan untuk menghasilkan nomor 4 dalam barisan keempat.

${\begin{matrix}&&&&&1\\&&&&1&&1\\&&&1&&2&&1\\&&1&&3&&3&&1\\&1&&4&&6&&4&&1\end{matrix}}$

Lima barisan pertama pada segitiga Pascal

Setiap nomor dalam segitiga adalah jumlah dua secara terus dengan yang di atas.

Pembinaan ini terkait dengan koefisien binomial oleh Peraturan Pascal, yang menyatakan bahwa jika

${n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$

adalah koefisien binomial ke-k dalam pengembangan binomial pada (x + y)ⁿ, di mana n! adalah faktorial n, oleh itu,

${n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}$

untuk setiap bilangan bulat bukan negatif n dan mana-mana bilangan bulat k di antara 0 dan n.

Segitiga Pascal memiliki pengitlakan dimensi lebih tinggi. Versi tiga-dimensi disebut Piramida Pascal atau Pascal 's tetrahedron, sedangkan versi umum disebut simpleks Pascal - ini lihat piramida, tetrahedron dan simpleks.

Segi tiga Pascal dan pengembangan binomial

Segitiga Pascal menentukan koefisien yang menambahkan dalam pengembangan binomial. Misalnya, timbangkan pengembangan berikutnya.

(x + y)² = x² + 2xy + y² = 1x²y⁰ + 2x¹y¹ + 1x⁰y².

Perhatikan bahwa koefisien adalah angka dalam baris kedua segitiga Pascal: 1, 2, 1. Pada umumnya, ketika sebuah binomial seperti x + y ditambahkan ke suatu bilangan bulat positif kita mendapat:

(x + y)ⁿ = a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹y + a₂xⁿ⁻²y² + … + a_n−1xyⁿ⁻¹ + a_nyⁿ,

yaitu koefisien a_i dalam pengembangan ini adalah tepatnya bilangan dalam baris n segitiga Pascal. Maknanya,

$a_{i}={n \choose i}.$

Ini adalah teorema binomial.

Perhatikan bahwa keseluruhan diagonal kanan segitiga Pascal berhubungan dengan koefisien yⁿ dalam pengembangan binomial ini, sedangkan diagonal berikutnya berhubungan dengan koefisien xy^n-1 dan sebagainya.

Untuk melihat bagaimana teorema binomial terkait dengan konstruksi sederhana segitiga Pascal, pertimbangkan masalah perhitungan koefisien pengembangan (x + 1)ⁿ⁺¹ dari segi koefisien yang berhubungan (x + 1)ⁿ (letakkan y = 1 untuk lebih mudah). Anggap setelah itu bahwa

$(x+1)^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}.$

Sekarang

$(x+1)^{n+1}=(x+1)(x+1)^{n}=x(x+1)^{n}+(x+1)^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i+1}+\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}.$

Dua penjumlahan dapat diatur kembali sebagai berikut:

${\begin{aligned}&\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i+1}+\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\\&{}=\sum _{i=1}^{n+1}a_{i-1}x^{i}+\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\\&{}=\sum _{i=1}^{n}a_{i-1}x^{i}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}x^{i}+a_{0}x^{0}+a_{n}x^{n+1}\\&{}=\sum _{i=1}^{n}(a_{i-1}+a_{i})x^{i}+a_{0}x^{0}+a_{n}x^{n+1}\\&{}=\sum _{i=1}^{n}(a_{i-1}+a_{i})x^{i}+x^{0}+x^{n+1}\end{aligned}}$

(karena cara penambahan suatu polinomial ke suatu kekuasaan berhasil, a₀ = a_n = 1).

Kita sekarang memiliki pernyataan untuk polinomial (x + 1)ⁿ⁺¹ dari segi koefisien (x + 1)ⁿ (ini adalah a_is), yaitu kita perlu jika ingin menyatakan suatu baris dari kiri-atas ke kanan-bawah berkoresponden dengan energi yang sama x, dan bahwa jangka-a adalah koefisien polinomial (x + 1)ⁿ, dan kita menentukan koefisien (x + 1)ⁿ⁺¹. sekarang, untuk mana-mana i diberikan bukan 0 atau n + 1, pekali jangka xⁱ dalam polinomial (x + 1)ⁿ⁺¹ adalah bersamaan dengan a_i (tokoh di atas dan di kanan tokoh untuk ditentukan, sejak ia adalah pada pepenjuru yang sama) + a_i−1 (tokoh di kanan secara terus pada tokoh pertama). Ini sudah tentu peraturan mudah untuk pembinaan segitiga Pascal baris-demi-baris.

Adalah tidak susah untuk mengitarkan perdebatan ini ke dalam bukti (oleh induksi matematik) pada teorem binomial.

Suatu akibat menarik pada teorem binomial didapatkan dengan memuatkan dua jenis x dan y bersamaan dengan satu. Dalam kes ini, kita tahu bahawa $(1+1)^{n}=2^{n}$, dan oleh itu

${n \choose 0}+{n \choose 1}+\cdots +{n \choose n-1}+{n \choose n}=2^{n}.$

Maknanya, jumlah kemasukan pada baris ke-n pada segitiga Pascal adalah tenaga ke-n pada 2.