Faktor persekutuan terbesar: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan |
Rescuing 7 sources and tagging 0 as dead.) #IABot (v2.0.9.5 |
||
| (159 revisi perantara oleh 84 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
Dalam [[matematika]], khususnya [[teori bilangan]], '''faktor persekutuan terbesar''' atau dikenal juga sebagai [[persekutuan bilangan terbesar]] (dilambangkan <math>\operatorname{FPB}</math><ref name=":4">{{Cite news|last=Itsnaini|first=Faqihah Muharroroh|title=Apa Perbedaan KPK dan FPB? Ini Penjelasannya|url=https://www.detik.com/edu/detikpedia/d-5379049/apa-perbedaan-kpk-dan-fpb-ini-penjelasannya|work=[[Detik.com|detikcom]]|language=id-ID|access-date=2021-11-14|archive-date=2022-09-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20220928031226/https://www.detik.com/edu/detikpedia/d-5379049/apa-perbedaan-kpk-dan-fpb-ini-penjelasannya|dead-url=no}}</ref> atau <math>\operatorname{PBT}</math><ref>Suci Yuniati, [https://jurnalbeta.ac.id/index.php/betaJTM/article/download/74/81/295 MENENTUKAN KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK) DAN FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR (FPB) DENGAN MENGGUNAKAN METODE “PEBI”] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220527054533/https://jurnalbeta.ac.id/index.php/betaJTM/article/download/74/81/295 |date=2022-05-27 }}, hlm. 158</ref> dalam [[bahasa Indonesia]], dan <math>\gcd</math> dalam [[bahasa Inggris]], [[Daftar singkatan matematis|abreviasi]] dari kata ''greatest common divisor''<ref>{{Cite web|title=Definition of greatest common divisor {{!}} Dictionary.com|url=https://www.dictionary.com/browse/greatest-common-divisor|website=www.dictionary.com|language=en|access-date=2021-11-14|archive-date=2023-03-24|archive-url=https://web.archive.org/web/20230324101637/https://www.dictionary.com/browse/greatest-common-divisor|dead-url=no}}</ref>) terhadap bilangan adalah [[bilangan bulat]] terbesar yang membagi setiap bilangan bulat. Sebagai contoh, diberikan bilangan bulat <math>12</math> dan <math>20</math>. Maka, <math>\operatorname{FPB}(12,20) = 4</math>. Mengenai cara-cara dan metode akan dijelaskan di bawah.
== Notasi ==
Untuk <math>a</math> dan <math>b</math> bilangan bulat sembarang, notasi faktor persekutuan terbesar dinotasikan sebagai <math>\operatorname{FPB}(a,b)</math> atau <math>\operatorname{PBT}(a,b)</math>. Dalam versi bahasa Inggris, dinotasikan sebagai <math>\gcd(a,b)</math> atau <math>\operatorname{GCD}(a,b)</math>. Ada beberapa penulisan notasi faktor persekutuan terbesar, yaitu <math>\operatorname{g.c.d}(a,b)</math> atau <math>(a,b)</math>.<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Greatest Common Divisor|url=https://mathworld.wolfram.com/GreatestCommonDivisor.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2021-11-20|archive-date=2023-04-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20230406035526/https://mathworld.wolfram.com/GreatestCommonDivisor.html|dead-url=no}}</ref>
== Definisi ==
Misalkan <math>a</math> dan <math>b</math> adalah dua bilangan bulat yang diberikan. Misalkan <math>d </math> membagi <math>a</math> dan <math>b</math> dan <math>d</math> [[bilangan asli]] terbesar, maka faktor persekutuan terbesar terhadap bilangan bulat <math>a</math> dan <math>b</math> adalah<ref>{{Cite web|date=2017-09-20|title=8.1: The Greatest Common Divisor|url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Mathematical_Logic_and_Proof/Book%3A_Mathematical_Reasoning__Writing_and_Proof_(Sundstrom)/8%3A_Topics_in_Number_Theory/8.1%3A_The_Greatest_Common_Divisor|website=Mathematics LibreTexts|language=en|access-date=2021-11-21|archive-date=2021-11-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20211121014446/https://math.libretexts.org/Bookshelves/Mathematical_Logic_and_Proof/Book:_Mathematical_Reasoning__Writing_and_Proof_(Sundstrom)/8:_Topics_in_Number_Theory/8.1:_The_Greatest_Common_Divisor|dead-url=no}}</ref>
{{Equation box 1
|indent =:
|title=
|equation = <math>\operatorname{FPB}(a,b) = d</math>.
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}
Lebih umumnya lagi, untuk sebarang bilangan bulat <math>a_1, \dots, a_n</math> dan <math>d</math> [[bilangan asli]] terbesar yang membagi <math>a_1, \dots, a_n</math>, maka faktor persekutuan terbesarnya adalah<ref name=":0" />
{{Equation box 1
|indent =:
|title=
|equation = <math>\operatorname{FPB}(a_1,\dots,a_n) = d</math>.
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}
== Sifat ==
{{Sect-stub}}
Berikut adalah sifat-sifat faktor persekutuan terbesar, antara lain:
* Untuk sebarang bilangan bulat positif <math>a,b,d</math>, bila <math>d</math> membagi <math>a</math> dan <math>b</math>, maka <math>d \mid \operatorname{FPB}(a,b)</math>.
* Untuk sebarang bilangan bulat positif <math>a,b</math>, <math>\operatorname{FPB}(a,b) = b</math> jika dan hanya jika <math>b \mid a</math>.
* Untuk sebarang bilangan bulat positif <math>a,b,d</math>, <math>\operatorname{FPB}(ad,bd) = d \cdot \operatorname{FPB}(a,b)</math>.
* <math>\operatorname{FPB}(a,0) = \operatorname{FPB}(0,a) = |a|</math>, sifat ini sangat penting dalam kalkulasi [[algoritme Euklides]]
== Contoh ==
Terdapat cara sederhana mengenai pencarian suatu faktor persekutuan terbesar terhadap dua bilangan. Sebagai contoh, kita ambil contoh bilangan bulat di atas sebelumnya, yakni <math>12</math> dan <math>20</math>. Untuk mengetahui mengapa <math>\operatorname{FPB}(12,20) = 4</math>, kita perhatikan faktor-faktor dari kedua bilangan di bawah ini.
* Faktor dari <math>12</math> adalah <math>1, 2, 3, {\color{red}{4}}, 6, 12</math>
* Faktor dari <math>20</math> adalah <math>1, 2, {\color{red}{4}}, 5, 10, 20</math>
Karena faktor persekutuan terbesar dua bilangan adalah [[bilangan bulat]] terbesar yang membagi setiap bilangan bulat, maka kita simpulkan <math>\operatorname{FPB}(12,20) = 4</math>. Terdapat cara lain untuk mengerjakan ini.
=== Pohon faktor ===
Sebagai contoh, tinjau kedua bilangan di atas. Kita buatkan pohon faktor dari masing-masing bilangan:
12 20
/\ /\
3 4 2 10
/\ /\
2 2 2 5
Kita memperoleh <math>12 = {\color{red}{2^2}} \times 3</math> dan <math>20 = {\color{red}{2^2}} \times 5</math>, maka, <math>\operatorname{FPB}(12,20) = 2^2</math>, di mana hasilnya adalah <math>4</math>.
[[Berkas:24x60.svg|jmpl|Sebuah ubin dengan ukuran 24 kali 60, masing-masing dibagi menjadi ukuran yang sama, yang terbesar adalah 12 kali 12.]]
=== Visualisasi geometri ===
Ada cara lain untuk mengetahui faktor persekutuan terbesar, yaitu melalui visualisasi geometri. Sebagai contoh, pada gambar di samping kanan, kita memperoleh ubin dengan ukuran 24 kali 60. Ubin tersebut kita bagi lagi menjadi 1 kali 1, 2 kali 2, 3 kali 3, 4 kali 4, 6 kali 6, dan terbesarnya adalah 12 kali 12. Jadi, 12 merupakan faktor persekutuan terbesar dari 24 dan 60, karena <math>\tfrac{24}{12} = 2</math> dan <math>\tfrac{60}{12} = 5</math>.
== Koprima ==
{{Main|Koprima (bilangan)}}
Dua buah bilangan dikatakan [[Koprima (bilangan)|koprima]], atau [[relatif prima]], atau [[saling prima]] [[jika dan hanya jika]] faktor persekutuan terbesar dari kedua bilangan tersebut bernilai 1.<ref name=":0" />
== Penerapan ==
=== Menyederhanakan pecahan ===
Salah satu penerapan terhadap faktor persekutuan terbesar adalah menyederhanakan pecahan<ref>{{Cite web|title=Greatest Common Factor|url=https://www.mathsisfun.com/greatest-common-factor.html|website=www.mathsisfun.com|access-date=2021-11-21|archive-date=2005-10-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20051029072949/https://www.mathsisfun.com/greatest-common-factor.html|dead-url=no}}</ref>. Sebagai contoh, tinjau pecahan <math>\frac{4}{8}</math>. Kita dapat sederhanakan pecahan ini dengan menggunakan faktor persekutuan terbesar. Faktor persekutuan terbesar dari <math>4</math> dan <math>8</math> adalah <math>\operatorname{FPB}(4,8) = 2</math>. Kita tuliskan sebagai
:<math>\frac{4}{8} = \frac{2 \times 2}{2 \times 4} = \frac{1}{2}</math>.
=== Kelipatan persekutuan terkecil ===
{{Main|Kelipatan persekutuan terkecil}}
Selain digunakan untuk menyederhanakan sebuah pecahan, faktor persekutuan terbesar juga dapat diterapkan dalam kelipatan persekutuan terkecil, di mana hubungan keduanya berkaitan dengan rumus berikut.
{{Equation box 1
|indent =:
|title=
|equation = <math>\operatorname{KPK}(a,b) = \frac{ab}{\operatorname{FPB}(a,b)}</math>.<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Least Common Multiple|url=https://mathworld.wolfram.com/LeastCommonMultiple.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2021-11-21|archive-date=2023-05-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20230516001830/https://mathworld.wolfram.com/LeastCommonMultiple.html|dead-url=no}}</ref>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}
== Algoritme Euklidean ==
{{Bagian tanpa referensi|date=November 2021}}
Cara lain untuk mencari '''FPB''' adalah dengan menggunakan [[algoritme Euklidean]]. Misalkan a dan b adalah 2 bilangan bulat yang tidak sama, maka algoritme Euklidean adalah sebagai berikut:
:* a<sub>1</sub> = maximum(a,b)-minimum(a,b)
::b<sub>1</sub> = minimum(a,b)
:* a<sub>2</sub> = maximum(a<sub>1</sub>,b<sub>1</sub>)-minimum(a<sub>1</sub>,b<sub>1</sub>)
::b<sub>2</sub> = minimum(a<sub>1</sub>,b<sub>1</sub>)
:::'''.'''
:::'''.'''
:::'''.'''
:* a<sub>i</sub> = maximum(a<sub>i-1</sub>,b<sub>i-1</sub>)-minimum(a<sub>i-1</sub>,b<sub>i-1</sub>)
::b<sub>i</sub> = minimum(a<sub>i-1</sub>,b<sub>i-1</sub>)
Algoritme tersebut berhenti hingga diperoleh a<sub>i</sub> = b<sub>i</sub>.
FPB dari a dan b adalah a<sub>i</sub> = b<sub>i</sub>.
Algoritme ini dapat lebih jauh disederhanakan lagi dengan pembagian Euklidean, yang dideskripsikan sebagai berikut:
<math>\gcd(a, 0) = 0</math>
<math>\gcd(a, b) = \gcd(b, a \,\mathrm{mod}\, b)</math>
dengan <math>a \, \mathrm{mod} \, b</math> adalah [[operasi modulus]].
Pencarian algoritme Euklid dengan pembagian memerlukan sekitar <math>O(\log(\min(a, b)))</math> pembagian.
== Lihat pula ==
* [[Kelipatan persekutuan terkecil]] (KPK)
== Rujukan ==
<references />
{{Authority control}}
[[Kategori:Matematika]]
| |||