Nilai dan vektor eigen

Nilai Eigen ($\lambda$) adalah nilai karakteristik dari suatu matriks berukuran n x n, sementara vektor Eigen ($x$) adalah vektor kolom bukan nol yang bila dikalikan dengan suatu matriks berukuran n x n akan menghasilkan vektor lain yang memiliki nilai kelipatan dari vektor Eigen itu sendiri. Definisi tersebut berlaku untuk matriks dengan elemen bilangan real dan akan mengalami pergeseran ketika elemen berupa bilangan kompleks. Untuk setiap nilai Eigen ada pasangan vektor Eigen yang berbeda, namun tidak semua persamaan matriks memiliki nilai Eigen dan vektor Eigen. Nilai Eigen dan vektor Eigen berguna dalam proses kalkulasi matriks, di mana keduanya dapat diterapkan dalam bidang Matematika murni dan Matematika terapan seperti transformasi linear.

Matriks $A$ menyebabkan vektor $x$ memanjang tanpa mengubah arah vektor, maka $x$ merupakan vektor Eigen dari $A$

Kumpulan pasangan nilai dan vektor Eigen dari suatu matriks berukuran n x n disebut sistem Eigen dari matriks tersebut. Ruang Eigen dari $\lambda$ merupakan kumpulan vektor Eigen yang berpasangan dengan $\lambda$ yang digabungkan dengan vektor nol. Istilah Eigen sering kali diganti dengan istilah karakteristik, di mana kata ‘’’Eigen’’’ yang berasal dari bahasa Jerman memiliki arti ‘’asli’’ dalam konteks menjadi ciri khas atau karakteristik dari suatu sifat.

Persamaan dan Polinomial Karakteristik

Persamaan karakteristik dari matriks A adalah persamaan dengan variabel λ yang digunakan untuk perhitungan nilai dan vektor Eigen. Polinomial karakteristik ($f(\lambda )$) adalah fungsi dengan variabel $\lambda$ yang membentuk persamaan karakteristik. Persamaan karakteristik bisa diperoleh lewat cara berikut.

$Ax=\lambda x$

$Ax-\lambda x=0$

Diketahui sifat identitas matriks di mana $vI=v$, maka

$(A-\lambda )x=0$

$(A-\lambda I)x=0$

Sehingga diperoleh persamaan karakteristik

$det(A-\lambda I)=0$

Ket: $A$ = matriks n x n, $\lambda$ = nilai Eigen (bernilai skalar), $I$ = matriks identitas, dan $x$ = vektor Eigen (vektor kolom n x 1)

Syarat-syarat

Nilai dan vektor Eigen sendiri memiliki beberapa syarat yang harus dipenuhi, yaitu:

• $(A-\lambda I)$ tidak memiliki invers atau $det(A-\lambda I)=0$
• $x\neq 0$

Bukti

$x=Ix$

Asumsikan bahwa A memiliki invers, maka berlaku $v$⁻¹$v=I$.

$x=((A-\lambda I)$^-1 $(A-\lambda I))x$

$x=(A-\lambda I)$^-1 $((A-\lambda I)x)$

$x=(A-\lambda I)$^-1 $0$

$x=0$

Dari perhitungan di atas, diperoleh $x=0$ yang bertentangan dengan salah satu syarat. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa kedua syarat saling mempengaruhi dan tidak boleh dilanggar.

Perhitungan Nilai dan Vektor Eigen

Perhitungan nilai dan vektor Eigen tetap menggunakan perhitungan matriks dasar, yaitu penjumlahan matriks dan perkalian matriks. Perhitungan dimulai dengan mencari nilai Eigen, kemudian dengan nilai Eigen diperoleh (dapat berjumlah lebih dari 1 nilai) akan dihitung vektor Eigen untuk masing - masing nilai yang memenuhi persamaan.

Contoh

Misalkan diketahui suatu matriks A berukuran 3 x 3 dengan nilai seperti di bawah ini.

$A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\4&-17&8\\\end{pmatrix}}$

Untuk mencari nilai Eigen akan digunakan polinomial karakteristik dan persamaan karakteristik dari matriks A. Pertama - tama akan dihitung polinomial karakteristik dari matriks A:

$f(\lambda )=det(A-\lambda I)$

$f(\lambda )=det\left({\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\4&-17&8\\\end{pmatrix}}-\lambda \cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\right)=det{\begin{pmatrix}-\lambda &1&0\\0&-\lambda &1\\4&-17&8-\lambda \\\end{pmatrix}}$

$f(\lambda )=-\lambda \cdot {\begin{bmatrix}-\lambda &1\\-17&8-\lambda \\\end{bmatrix}}-1\cdot {\begin{bmatrix}0&1\\4&8-\lambda \\\end{bmatrix}}+0\cdot {\begin{bmatrix}0&-\lambda \\4&-17\\\end{bmatrix}}$

$f(\lambda )=-\lambda (-\lambda (8-\lambda )-1(-17))-(0(8-\lambda )-4(1))=-\lambda (-8\lambda +\lambda ^{2}+17)-(-4)=8\lambda ^{2}-\lambda ^{3}-17\lambda +4$

Kemudian nilai Eigen dapat dihitung lewat persamaan karakteristik:

$f(\lambda )=0$

$-\lambda ^{3}+8\lambda ^{2}-17\lambda +4=0$

$\lambda ^{3}-8\lambda ^{2}+17\lambda -4=0$

(Persamaan karakteristik dapat difaktorkan menggunakan teorema sisa atau teknik pemfaktoran polinomial lainnya)

$(\lambda -4)(\lambda ^{2}-4\lambda +1)=0$

$\lambda _{1}=4,\lambda _{2}=2+{\sqrt {3}},\lambda _{3}=2-{\sqrt {3}}$

Dengan melakukan substitusi nilai Eigen ke dalam persamaan $(A-\lambda I)x=0$, maka akan diperoleh suatu persamaan baru.

$(A-\lambda _{1}I)x=0$

$\left({\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\4&-17&8\\\end{pmatrix}}-4{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\right){\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}-4&1&0\\0&-4&1\\4&-17&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\end{pmatrix}}$

Vektor Eigen untuk masing - masing nilai Eigen kemudian dapat ditentukan dengan melakukan operasi baris elementer atau teknik eliminasi sistem persamaan linear lainnya. Sehingga akan diperoleh vektor Eigen untuk $\lambda =4$ adalah

${\vec {v}}_{1}={\begin{pmatrix}0,0625\\0,25\\1\\\end{pmatrix}}$

Sejarah

Pada awal abad ke-19, Augustin Louis Cauchy telah membuat sebuah karya tulis di mana dia membuktikan suatu teori mengenai nilai Eigen yang dikaitkan dengan transformasi linear. Karya tulis Cauchy juga berpengaruh terhadap perkembangan teori spektral pada awal tahun 1870. Terlebih dari itu, Cauchy merupakan penemu dari istilah persamaan karakteristik.

Pada masa yang sama, Charles Strum mengembangkan ide Joseph Fourier dan pada akhirnya melengkapi teorema Cauchy di mana dia menemukan bahwa matriks simetris dengan elemen bernilai real memiliki nilai Eigen yang bernilai real juga. Pada tahun 1858, seorang ahli matematika Prancis bernama Charles Hermite menunjukkan bahwa nilai Eigen dari matriks Hermitian adalah nyata dan dia juga menciptakan istilah ortogonal.

Di awal abad ke-20, David Hilbert memulai penelitiannya pada persamaan integral non-homogen dengan menggunakan parameter $\lambda$ dan kemudian menemukan istilah eigen untuk mengacu kepada nilai Eigen dan vektor Eigen.