Pengguna:Kekavigi/bak pasir

Definisi

Ada berbagai cara yang setara untuk menentukan determinan dari matriks persegi A , yaitu satu dengan jumlah baris dan kolom yang sama. Mungkin cara termudah untuk menyatakan determinan adalah dengan mempertimbangkan elemen di baris atas dan masing-masing minor; mulai dari kiri, kalikan elemen dengan minor, lalu kurangi hasil kali elemen berikutnya dan minornya, dan secara bergantian menambah dan mengurangi produk tersebut sampai semua elemen di baris atas habis. Sebagai contoh, berikut adalah hasil untuk matriks 4 × 4:

${\begin{vmatrix}a&b&c&d\\e&f&g&h\\i&j&k&l\\m&n&o&p\end{vmatrix}}=a\,{\begin{vmatrix}f&g&h\\j&k&l\\n&o&p\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}e&g&h\\i&k&l\\m&o&p\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}e&f&h\\i&j&l\\m&n&p\end{vmatrix}}-d\,{\begin{vmatrix}e&f&g\\i&j&k\\m&n&o\end{vmatrix}}.$

Cara lain untuk menentukan determinan dinyatakan dalam kolom-kolom matriks. Jika kita menulis berkas n × n matriks A dalam hal vektor kolomnya

$A={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}$

dimana $a_{j}$ adalah vektor dengan ukuran n , maka determinan dari A didefinisikan sehingga

${\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &ba_{j}+cv&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}&=b\det(A)+c\det {\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &v&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}\\\det {\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{j}&a_{j+1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}&=-\det {\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{j+1}&a_{j}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}\\\det(I)&=1\end{aligned}}$

di mana b dan c adalah skalar, v adalah sembarang vektor berukuran n dan I adalah matriks identitas berukuran n . Persamaan-persamaan ini mengatakan bahwa determinannya adalah fungsi linear dari setiap kolom, bahwa menukar kolom yang berdekatan membalikkan tanda determinan, dan determinan matriks identitas adalah 1. Properti ini berarti bahwa determinan adalah fungsi multilinear bolak-balik dari kolom yang memetakan matriks identitas ke skalar unit yang mendasarinya. Ini cukup untuk menghitung determinan matriks kuadrat apa pun secara unik. Asalkan skalar yang mendasari membentuk bidang (lebih umum, gelanggang komutatif), definisi di bawah ini menunjukkan bahwa fungsi seperti itu ada, dan dapat dibuktikan unik.

Dengan kata lain, determinan dapat diekspresikan sebagai jumlah produk entri matriks di mana setiap produk memiliki suku n dan koefisien setiap produk adalah −1 atau 1 atau 0 sesuai dengan yang diberikan: itu adalah ekspresi polinomial dari entri matriks. Ekspresi ini berkembang pesat dengan ukuran matriks (sebuah n × n matriks memiliki n! istilah), jadi pertama kali akan diberikan secara eksplisit untuk kasus 2 × 2 matriks dan matriks 3 × 3, diikuti dengan aturan untuk matriks ukuran arbitrer, yang menggabungkan kedua kasus ini.

Asumsikan A adalah matriks persegi dengan baris n dan kolom n , sehingga dapat ditulis sebagai

$A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\dots &a_{n,n}\end{bmatrix}}.$

Entri dapat berupa angka atau ekspresi (seperti yang terjadi ketika determinan digunakan untuk mendefinisikan karakteristik polinomial); definisi determinan hanya bergantung pada fakta bahwa mereka dapat ditambahkan dan dikalikan bersama dengan cara komutatif.

Determinan dari A dilambangkan dengan det(A), atau dapat dilambangkan secara langsung dalam istilah entri matriks dengan menulis batang penutup, bukan tanda kurung:

${\begin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\dots &a_{n,n}\end{vmatrix}}.$

Definition

Let $A$ be a square matrix with n rows and n columns, so that it can be written as

$$A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n,n}\end{bmatrix}}.$$

The entries $a_{1,1}$ etc. are, for many purposes, real or complex numbers. As discussed below, the determinant is also defined for matrices whose entries are in a commutative ring. There are various equivalent ways to define the determinant of a square matrix A, i.e. one with the same number of rows and columns: the determinant can be defined via the Leibniz formula, an explicit formula involving sums of products of certain entries of the matrix. The determinant can also be characterized as the unique function depending on the entries of the matrix satisfying certain properties. This approach can also be used to compute determinants by simplifying the matrices in question.

Leibniz formula

Artikel utama: Leibniz formula for determinants

3 × 3 matrices

The Leibniz formula for the determinant of a 3 × 3 matrix is the following:

${\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.\$

In this expression, each term has one factor from each row, all in different columns, arranged in increasing row order. For example, bdi has b from the first row second column, d from the second row first column, and i from the third row third column. The signs are determined by how many transpositions of factors are necessary to arrange the factors in increasing order of their columns (given that the terms are arranged left-to-right in increasing row order): positive for an even number of transpositions and negative for an odd number. For the example of bdi, the single transposition of bd to db gives dbi, whose three factors are from the first, second and third columns respectively; this is an odd number of transpositions, so the term appears with negative sign.

Rule of Sarrus

The rule of Sarrus is a mnemonic for the expanded form of this determinant: the sum of the products of three diagonal north-west to south-east lines of matrix elements, minus the sum of the products of three diagonal south-west to north-east lines of elements, when the copies of the first two columns of the matrix are written beside it as in the illustration. This scheme for calculating the determinant of a 3 × 3 matrix does not carry over into higher dimensions.

n × n matrices

Generalizing the above to higher dimensions, the determinant of an $n\times n$ matrix is an expression involving permutations and their signatures. A permutation of the set $\{1,2,\dots ,n\}$ is a bijective function $\sigma$ from this set to itself, with values $\sigma (1),\sigma (2),\ldots ,\sigma (n)$ exhausting the entire set. The set of all such permutations, called the symmetric group, is commonly denoted $S_{n}$. The signature $\operatorname {sgn}(\sigma )$ of a permutation $\sigma$ is $+1,$ if the permutation can be obtained with an even number of transpositions (exchanges of two entries); otherwise, it is $-1.$

Given a matrix

$A={\begin{bmatrix}a_{1,1}\ldots a_{1,n}\\\vdots \qquad \vdots \\a_{n,1}\ldots a_{n,n}\end{bmatrix}},$

the Leibniz formula for its determinant is, using sigma notation for the sum,

$\det(A)={\begin{vmatrix}a_{1,1}\ldots a_{1,n}\\\vdots \qquad \vdots \\a_{n,1}\ldots a_{n,n}\end{vmatrix}}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n,\sigma (n)}.$

Using pi notation for the product, this can be shortened into

$\det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\left(\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}\right)$.

The Levi-Civita symbol $\varepsilon _{i_{1},\ldots ,i_{n}}$ is defined on the n-tuples of integers in $\{1,\ldots ,n\}$ as 0 if two of the integers are equal, and otherwise as the signature of the permutation defined by the n-tuple of integers. With the Levi-Civita symbol, the Leibniz formula becomes

$\det(A)=\sum _{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}}\varepsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}a_{1,i_{1}}\!\cdots a_{n,i_{n}},$

where the sum is taken over all n-tuples of integers in $\{1,\ldots ,n\}.$

Definició del determinant

Origen de la construcció del determinant

Les nocions de paral·lelogram i de paral·lelepípede es generalitzen a un espai vectorial E de dimensió finita n sobre $\mathbb {R}$. A n vectors x₁, ..., x_n de E s'associa un paral·lelòtop. Es defineix com la part de E formada pel conjunt de les combinacions dels x_i amb coeficients compresos entre 0 i 1

$P=\left\{x=\sum _{i=1}^{n}t_{i}x_{i}{\Bigg |}\,\forall i,0\leq t_{i}\leq 1\right\}$

Convé veure en aquest paral·lelòtop una mena de llamborda obliqua.

Quan l'espai està proveït d'un producte escalar, és possible definir el volum d'aquest paral·lelòtop, de vegades dit el seu hipervolum per subratllar que la dimensió de l'espai concernit no és per força 3. Verifica les propietats següents:

• els volums de dues llambordes adjacents per una cara, s'afegeixen
• la multiplicació d'un dels vectors que defineixen la llamborda per una de constant produeix la multiplicació del volum per aquesta constant
• el volum d'una llamborda formada per la repetició del mateix vector (que constitueix un cas particular de llamborda plana), és nul.

Un canvi de producte escalar sobre l'espai E modifica les mesures de longituds, angles, i per tant de volums. Tanmateix la teoria dels determinants ensenya que tret d'una constant multiplicativa, no existeix més que un únic mètode de càlcul dels volums en un espai vectorial de dimensió n.

Reprenent un espai vectorial sense estructura particular, la noció de determinant té per objectiu donar un sentit intrínsec al «volum» del paral·lelòtop, sense referència a un producte escalar per exemple, és a dir de construir una funció f, que a x₁, ..., x_n els associa un nombre real, i verifica les propietats precedents. Tal aplicació es diu una forma n - lineal alternada.

Formes n - lineals alternades

La noció de forma n - lineal alternada generalitza les propietats precedents. Es defineix com una aplicació de Eⁿ en $\mathbb {R}$ que és:

• lineal en cada variable. Així per la vectors x₁, ..., x_n, x'_i i dos escalars a i b

$f(x_{1},\dots ,x_{i-1},ax_{i}+bx'_{i},x_{i+1},\dots ,x_{n})=af(x_{1},\dots ,x_{n})+bf(x_{1},\dots ,x'_{i},\dots x_{n})\;$

• alternada, significa que s'anul·la cada vegada que és avaluada sobre una tupla que contingui dos vectors idèntics

$[\exists i\neq j,x_{i}=x_{j}]\Rightarrow f(x_{1},\dots ,x_{n})=0$

L'article aplicació multilineal procedeix a l'estudi sistemàtic de les formes n- lineals alternades sobre un espai vectorial de dimensió n.

El resultat principal és la possibilitat de remetre el càlcul de la imatge de $(x_{1},...,x_{n})$ al d'imatges dels vectors de base per n- linealitat. A més a més el caràcter alternat permet canviar l'ordre dels vectors, de manera que n'hi ha prou amb conèixer la imatge $f(e_{1},...,e_{n})$ dels vectors d'una base, pres en l'ordre, per conèixer f. Posar els vectors en l'ordre fa intervenir la noció de permutació.

Teorema

El conjunt A_n(E) de les formes n- lineals alternades sobre un espai vectorial de dimensió n constitueix un espai vectorial de dimensió 1. Ames, si $(e_{1},\dots ,e_{n})$ és una base de E, es pot expressar la imatge d'una tupla de vectors per

$f(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\varepsilon (\sigma )\prod _{j=1}^{n}X_{\sigma (j),j}\right)f(e_{1},\dots ,e_{n})$

amb X_ij la i-ena component de x_j i $\varepsilon (\sigma )$ que denota el signe de la permutació (un per a una permutació parell, -1 per a una de senar).

Determinant d'una família de n vectors en una base

Definició

Se suposa E proveït d'una base $B=(e_{1},\dots ,e_{n})$. L'aplicació que determina en base B és l'única forma n- lineal alternada sobre E que verifica $\det {}_{B}(e_{1},...,e_{n})=1$, abreviat en $\det {}_{B}(B)=1$ Cal representar-se aquesta quantitat com una mena de volum de llamborda, relativament a la base B.

Formula de Leibniz

Gottfried Leibniz introdueix els primers determinants de dimensió 3 i més

Siguinx₁,...x_n els vectors de E. És possible representar aquests n vectors per n matrius columna, formant per juxtaposició una matriu quadrada X. El determinant de x₁,...x_n relatiu a la base B val llavors

$\det {}_{B}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\varepsilon (\sigma )\prod _{j=1}^{n}X_{\sigma (j),j}$

Aquesta fórmula porta de vegades el nom de Leibniz. Presenta poc interès pel càlcul pràctic dels determinants, però permet establir diversos resultats teòrics.

En física, es troba sovint la fórmula de Leibniz expressada amb l'ajuda del símbol de Levi-Civita, utilitzant la convenció d'Einstein per al sumatori dels índexs:

$\det(A)=\epsilon ^{i_{1}\cdots i_{n}}{A^{1}}_{i_{1}}\cdots {A^{n}}_{i_{n}}$

Fórmula de canvi de base

Si B i B ' són dues bases de E, les aplicacions determinants corresponents són proporcionals (amb una relació de proporcionalitat no nul·la)

$\det {}_{B'}(x_{1},\dots ,x_{n})=\det {}_{B'}(B)\times \det {}_{B}(x_{1},\dots ,x_{n})\,$

Aquest resultat és conforme a la interpretació en termes de volum relatiu.

Determinant d'una matriu

Sigui una matriu A=(a_ij) quadrada d'ordre n de coeficients reals. Els vectors columna de la matriu es poden identificar amb elements de l'espai vectorial $\mathbb {R} ^{n}$. Aquest últim és proveït d'una base canònica.

Llavors és possible definir el determinant de la matriu A com el determinant del sistema dels seus vectors columnes relativament a la base canònica. S'escriu det (A) ja que no hi ha ambigüitat sobre la base de referència.

Sigui $K$ un cos, el determinant també es pot definir com una aplicació $\det(-):M_{n\times n}(K)\longrightarrow K$, és a dir, una aplicació que assigna un nombre del cos $K$ a cada matriu quadrada d'ordre $n$, que compleix les següents propietats:

1. Per a tot $i=1,...,n$, i sigui la matriu $A=(C_{i})\in M_{n}(K)$ la matriu quadràda que té per columnes els vectors $C_{i}$: $\det(C_{1},...,C_{i}^{'}+C_{i}^{''},...,C_{n})=\det(C_{1},...,C_{i}^{'},...,C_{n})+\det(C_{1},...,C_{i}^{''},...,C_{n})$.
2. Per a tot $i=1,...,n$, tot $\lambda \in K$ i sigui la matriu $A$ definida com el punt 1: $\det(C_{1},...,\lambda C_{i},...,C_{n})=\lambda \det(C_{1},...,C_{i},...,C_{n})$.
3. Si $A$ té dues columnes iguals, aleshores $\det(A)=0$.
4. $\det(I_{n})=1$.

Les propietats (1) i (2) són equivalents a dir que l'aplicació $\det(-)$ és lineal respecte les columnes de la matriu $A$.

A partir de les propietats anteriors es pot arribar a la fórmula de Leibniz

$\det(A)=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\varepsilon (\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i),i}$

Aquest determinant s'escriu freqüentment amb barres verticals:

$\det {\begin{bmatrix}m_{1;1}&\cdots &m_{1;n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n;1}&\cdots &m_{n;n}\end{bmatrix}}={\begin{vmatrix}m_{1;1}&\cdots &m_{1;n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n;1}&\cdots &m_{n;n}\end{vmatrix}}$

La presentació matricial aporta una propietat essencial: una matriu té igual determinant que la seva transposada

$\det A=\det \left(A^{t}\right)\,$

El que significa que el determinant de A es veu també com el determinant del sistema dels vectors lineals, relativament a la base canònica.Templat:Caixa desplegableTemplat:Caixa desplegable

Càlcul del determinant de les matrius elementals

A l'hora de calcular determinants és molt útil conèixer el determinant de les matrius elementals.

Sigui $E_{ij}$ una matriu elemental de tipus 1. Com que $E_{ij}$ s'aconsegueix intercanviant les columnes $i,j$ de la matriu identitat, es compleix que

$\det(E_{ij})=-1$

Sigui $E_{i}(\lambda )$ una matriu elemental de tipus 2. Com que $E_{i}(\lambda )$ és el resultat de multiplicar la columna $C_{i}$ de la matriu identitat per $\lambda$. Aleshores,

$\det(E_{i}(\lambda ))=\lambda$

Sigui $E_{ij}(\lambda )$ una matriu elemental de tipus 3. Com que $E_{ij}(\lambda )=(C_{1},...,C_{i}+\lambda C_{j},...,C_{n})$ amb $C_{k}$ les columnes de la matriu identitat, aleshores

$\det(E_{ij}(\lambda ))=1$

A més, sigui $A\in M_{n}(K)$ i siguin $E,E_{1},...E_{n}$ matrius elementals (de qualsevol tipus), es compleix que

1. $\det(AE)=\det(A)\det(E)$
2. $\det(AE_{1}...E_{n})=\det(A)\det(E_{1})...\det(E_{n})$
3. $\det(E)=\det(E^{t})$

Determinant d'un endomorfisme

Sigui u un endomorfisme d'un espai vectorial de dimensió finita. Totes les matrius representatives de u tenen el mateix determinant. Aquest valor comú es diu el determinant de u. El determinant de u és el valor pel qual u multiplica els determinants dels vectors

$\det {}_{B}(u(x_{1}),\dots ,u(x_{n}))=\det u\times \det {}_{B}(x_{1},\dots ,x_{n})\,$

Templat:Caixa desplegableEls endomorfismes de determinant 1 conserven el determinant dels vectors. Formen un subgrup de Gl(E), notat Sl(E), i dit grup especial lineal. En un espai real de dimensió dos, es conceben com les aplicacions lineals que conserven les àrees orientades, en dimensió tres els volums orientats.

Es demostra que aquest grup és generat per les transvections, dels quals la matriu en una base adaptada és de la forma

${\begin{bmatrix}1&&&&\\&1&\lambda &\\&&.&&\\&&&1&\\&&&&1\end{bmatrix}}=I_{n}+\lambda E_{ij}$

Efecte d'una transvecció en l'espai (conservació del volum)

Figura 8. Cub abans de la transvecció	Cub després de la transvecció

Per construcció del propi determinat dels endomorfismes, dues matrius semblants tenen el mateix determinant.

---

---

---

Penerapan

Rumus Laplace

Rumus Laplace untuk determinan a 3 × 3 matriks adalah

${\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=a{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}$

ini dapat diperluas untuk memberikan rumus Leibniz.

Rumus Leibniz

Rumus Leibniz untuk determinan a 3 × 3 matriks:

${\begin{aligned}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}&=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)\\&=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.\end{aligned}}$

Skema Sarrus

Kaidah Sarrus adalah mnemonik untuk determinan matriks 3 × 3: jumlah dari hasil kali tiga garis diagonal barat laut ke tenggara dari elemen matriks, dikurangi jumlah hasil kali tiga garis diagonal barat daya hingga timur laut elemen, bila salinan dari dua kolom pertama dari matriks ditulis di sampingnya seperti pada ilustrasi:

${\begin{aligned}~~~~~~{\begin{vmatrix}a&b&c\\e&f&g\\h&i&j\end{vmatrix}}=\end{aligned}}$ $\qquad =\color {red}{afj+bgh+cei}\color {blue}{-hfc-iga-jeb}$

Skema untuk menghitung determinan matriks 3 × 3 ini tidak terbawa ke dimensi yang lebih tinggi.

Simbol Levi-Civita

Terkadang berguna untuk memperluas rumus Leibniz ke penjumlahan yang tidak hanya permutasi, tetapi urutan indeks n dalam 1, ..., n, memastikan bahwa kontribusi urutan akan menjadi nol kecuali jika menunjukkan permutasi. Jadi antisimetris simbol Levi-Civita $\varepsilon _{i_{1},\cdots ,i_{n}}$ memperluas tanda tangan permutasi, dengan $\varepsilon _{\sigma (1),\cdots ,\sigma (n)}=\operatorname {sgn} (\sigma )$ untuk permutasi σ dari n , dan $\varepsilon _{i_{1},\cdots ,i_{n}}=0$ ketika permutasi σ seperti itu $\sigma (j)=i_{j}$ for $j=1,\ldots ,n$ (atau ekuivalen, beberapa pasangan indeks). Penentu untuk n × n matrix kemudian dapat diekspresikan menggunakan penjumlahan sebagai

$\det(A)=\sum _{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}=1}^{n}\varepsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}a_{1,i_{1}}\cdots a_{n,i_{n}},$

atau menggunakan dua simbol epsilon sebagai

$\det(A)={\frac {1}{n!}}\sum \varepsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}\varepsilon _{j_{1}\cdots j_{n}}a_{i_{1}j_{1}}\cdots a_{i_{n}j_{n}},$

dimana i_r dan j_r dijumlahkan lebih dari 1, ..., n.

Namun, melalui penggunaan notasi tensor dan penekanan simbol penjumlahan (konvensi penjumlahan Einstein) dari ekspresi determinan kompak $n=3$ ukuran, $a_{n}^{m}$;

$\det(a_{n}^{m})e_{rst}=e_{ijk}a_{r}^{i}a_{s}^{j}a_{t}^{k}$

dimana $e_{rst}$ dan $e_{ijk}$ 'sistem elektronik' dari nilai 0, +1 dan −1 berdasarkan jumlah permutasi dari $ijk$ dan $rst$. Lebih spesifik, $e_{ijk}$ sama dengan 0 ketika indeks berulang $ijk$; +1 ketika sejumlah permutasi $ijk$; −1 ketika jumlah permutasi ganjil dari $ijk$. Jumlah indeks dalam sistem elektronik sama dengan $n$ dan karenanya dapat digeneralisasikan dengan cara ini.

Referensi

• Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (edisi ke-2nd), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0 
• de Boor, Carl (1990), "An empty exercise" (PDF), ACM SIGNUM Newsletter, 25 (2): 3–7, doi:10.1145/122272.122273 .
• Lay, David C. (August 22, 2005), Linear Algebra and Its Applications (edisi ke-3rd), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7 
• Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, diarsipkan dari versi asli tanggal 2009-10-31 
• Muir, Thomas (1960) [1933], A treatise on the theory of determinants, Revised and enlarged by William H. Metzler, New York, NY: Dover 
• Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (edisi ke-2nd), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3 
• G. Baley Price (1947) "Some identities in the theory of determinants", American Mathematical Monthly 54:75–90 Templat:Mr
• Horn, R. A.; Johnson, C. R. (2013), Matrix Analysis (edisi ke-2nd), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6 
• Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (edisi ke-9th), Wiley International 
• Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (edisi ke-7th), Pearson Prentice Hall 

---

Properties of the determinant

Characterization of the determinant

The determinant can be characterized by the following three key properties. To state these, it is convenient to regard an $n\times n$-matrix A as being composed of its $n$ columns, so denoted as

$A={\big (}a_{1},\dots ,a_{n}{\big )},$

where the column vector $a_{i}$ (for each i) is composed of the entries of the matrix in the i-th column.

2. $\det \left(I\right)=1$, where $I$ is an identity matrix.
4. The determinant is multilinear: if the jth column of a matrix $A$ is written as a linear combination $a_{j}=r\cdot v+w$ of two column vectors v and w and a number r, then the determinant of A is expressible as a similar linear combination:

   ${\begin{aligned}|A|&={\big |}a_{1},\dots ,a_{j-1},r\cdot v+w,a_{j+1},\dots ,a_{n}|\\&=r\cdot |a_{1},\dots ,v,\dots a_{n}|+|a_{1},\dots ,w,\dots ,a_{n}|\end{aligned}}$

6. The determinant is alternating: whenever two columns of a matrix are identical, its determinant is 0:

   $|a_{1},\dots ,v,\dots ,v,\dots ,a_{n}|=0.$

If the determinant is defined using the Leibniz formula as above, these three properties can be proved by direct inspection of that formula. Some authors also approach the determinant directly using these three properties: it can be shown that there is exactly one function that assigns to any $n\times n$-matrix A a number that satisfies these three properties. This also shows that this more abstract approach to the determinant yields the same definition as the one using the Leibniz formula.

To see this it suffices to expand the determinant by multi-linearity in the columns into a (huge) linear combination of determinants of matrices in which each column is a standard basis vector. These determinants are either 0 (by property 9) or else ±1 (by properties 1 and 12 below), so the linear combination gives the expression above in terms of the Levi-Civita symbol. While less technical in appearance, this characterization cannot entirely replace the Leibniz formula in defining the determinant, since without it the existence of an appropriate function is not clear.

Immediate consequences

These rules have several further consequences:

• The determinant is a homogeneous function, i.e.,
  $$\det(cA)=c^{n}\det(A)$$
  (for an $n\times n$ matrix $A$).
• Interchanging any pair of columns of a matrix multiplies its determinant by −1. This follows from the determinant being multilinear and alternating (properties 2 and 3 above):
  $$|a_{1},\dots ,a_{j},\dots a_{i},\dots ,a_{n}|=-|a_{1},\dots ,a_{i},\dots ,a_{j},\dots ,a_{n}|.$$
  This formula can be applied iteratively when several columns are swapped. For example
  $$|a_{3},a_{1},a_{2},a_{4}\dots ,a_{n}|=-|a_{1},a_{3},a_{2},a_{4},\dots ,a_{n}|=|a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},\dots ,a_{n}|.$$
  Yet more generally, any permutation of the columns multiplies the determinant by the sign of the permutation.
• If some column can be expressed as a linear combination of the other columns (i.e. the columns of the matrix form a linearly dependent set), the determinant is 0. As a special case, this includes: if some column is such that all its entries are zero, then the determinant of that matrix is 0.
• Adding a scalar multiple of one column to another column does not change the value of the determinant. This is a consequence of multilinearity and being alternative: by multilinearity the determinant changes by a multiple of the determinant of a matrix with two equal columns, which determinant is 0, since the determinant is alternating.
• If $A$ is a triangular matrix, i.e. $a_{ij}=0$, whenever $i>j$ or, alternatively, whenever $i<j$, then its determinant equals the product of the diagonal entries:
  $$\det(A)=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}=\prod _{i=1}^{n}a_{ii}.$$
  Indeed, such a matrix can be reduced, by appropriately adding multiples of the columns with fewer nonzero entries to those with more entries, to a diagonal matrix (without changing the determinant). For such a matrix, using the linearity in each column reduces to the identity matrix, in which case the stated formula holds by the very first characterizing property of determinants. Alternatively, this formula can also be deduced from the Leibniz formula, since the only permutation $\sigma$ which gives a non-zero contribution is the identity permutation.

Example

These characterizing properties and their consequences listed above are both theoretically significant, but can also be used to compute determinants for concrete matrices. In fact, Gaussian elimination can be applied to bring any matrix into upper triangular form, and the steps in this algorithm affect the determinant in a controlled way. The following concrete example illustrates the computation of the determinant of the matrix $A$ using that method:

$A={\begin{bmatrix}-2&-1&2\\2&1&4\\-3&3&-1\end{bmatrix}}.$

Computation of the determinant of matrix $A$

Matrix	$B={\begin{bmatrix}-3&-1&2\\3&1&4\\0&3&-1\end{bmatrix}}$	$C={\begin{bmatrix}-3&5&2\\3&13&4\\0&0&-1\end{bmatrix}}$	$D={\begin{bmatrix}5&-3&2\\13&3&4\\0&0&-1\end{bmatrix}}$	$E={\begin{bmatrix}18&-3&2\\0&3&4\\0&0&-1\end{bmatrix}}$
Obtained by	add the second column to the first	add 3 times the third column to the second	swap the first two columns	add $-{\frac {13}{3}}$ times the second column to the first
Determinant	$|A|=|B|$	$|B|=|C|$	$|D|=-|C|$	$|E|=|D|$

Combining these equalities gives $|A|=-|E|=-(18\cdot 3\cdot (-1))=54.$

Transpose

The determinant of the transpose of $A$ equals the determinant of A:

$\det \left(A^{\textsf {T}}\right)=\det(A)$.

This can be proven by inspecting the Leibniz formula. This implies that in all the properties mentioned above, the word "column" can be replaced by "row" throughout. For example, viewing an n × n matrix as being composed of n rows, the determinant is an n-linear function.

Multiplicativity and matrix groups

The determinant is a multiplicative map, i.e., for square matrices $A$ and $B$ of equal size, the determinant of a matrix product equals the product of their determinants:

$\det(AB)=\det(A)\det(B)$

This key fact can be proven by observing that, for a fixed matrix $B$, both sides of the equation are alternating and multilinear as a function depending on the columns of $A$. Moreover, they both take the value $\det B$ when $A$ is the identity matrix. The above-mentioned unique characterization of alternating multilinear maps therefore shows this claim.

A matrix $A$ with entries in a field is invertible precisely if its determinant is nonzero. This follows from the multiplicativity of the determinant and the formula for the inverse involving the adjugate matrix mentioned below. In this event, the determinant of the inverse matrix is given by

$\det \left(A^{-1}\right)={\frac {1}{\det(A)}}=[\det(A)]^{-1}$.

In particular, products and inverses of matrices with non-zero determinant (respectively, determinant one) still have this property. Thus, the set of such matrices (of fixed size $n$ over a field $K$) forms a group known as the general linear group $\operatorname {GL} _{n}(K)$ (respectively, a subgroup called the special linear group $\operatorname {SL} _{n}(K)\subset \operatorname {GL} _{n}(K)$. More generally, the word "special" indicates the subgroup of another matrix group of matrices of determinant one. Examples include the special orthogonal group (which if n is 2 or 3 consists of all rotation matrices), and the special unitary group.

Because the determinant respects multiplication and inverses, it is in fact a group homomorphism from $\operatorname {GL} _{n}(K)$ into the multiplicative group $K^{\times }$ of nonzero elements of $K$. This homomorphism is surjective and its kernel is $\operatorname {SL} _{n}(K)$ (the matrices with determinant one). Hence, by the first isomorphism theorem, this shows that $\operatorname {SL} _{n}(K)$ is a normal subgroup of $\operatorname {GL} _{n}(K)$, and that the quotient group $\operatorname {GL} _{n}(K)/\operatorname {SL} _{n}(K)$ is isomorphic to $K^{\times }$.

The Cauchy–Binet formula is a generalization of that product formula for rectangular matrices. This formula can also be recast as a multiplicative formula for compound matrices whose entries are the determinants of all quadratic submatrices of a given matrix.

Laplace expansion

Laplace expansion expresses the determinant of a matrix $A$ recursively in terms of determinants of smaller matrices, known as its minors. The minor $M_{i,j}$ is defined to be the determinant of the $(n-1)\times (n-1)$-matrix that results from $A$ by removing the $i$-th row and the $j$-th column. The expression $(-1)^{i+j}M_{i,j}$ is known as a cofactor. For every $i$, one has the equality

$\det(A)=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{i,j}M_{i,j},$

which is called the Laplace expansion along the ith row. For example, the Laplace expansion along the first row ($i=1$) gives the following formula:

${\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=a{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}$

Unwinding the determinants of these $2\times 2$-matrices gives back the Leibniz formula mentioned above. Similarly, the Laplace expansion along the $j$-th column is the equality

$\det(A)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{i,j}M_{i,j}.$

Laplace expansion can be used iteratively for computing determinants, but this approach is inefficient for large matrices. However, it is useful for computing the determinants of highly symmetric matrix such as the Vandermonde matrix

$${\begin{vmatrix}1&1&1&\cdots &1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}&\cdots &x_{n}\\x_{1}^{2}&x_{2}^{2}&x_{3}^{2}&\cdots &x_{n}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{1}^{n-1}&x_{2}^{n-1}&x_{3}^{n-1}&\cdots &x_{n}^{n-1}\end{vmatrix}}=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(x_{j}-x_{i}\right).$$

The n-term Laplace expansion along a row or column can be generalized to write an n x n determinant as a sum of ${\tbinom {n}{k}}$ terms, each the product of the determinant of a k x k submatrix and the determinant of the complementary (n−k) x (n−k) submatrix.

Adjugate matrix

The adjugate matrix $\operatorname {adj} (A)$ is the transpose of the matrix of the cofactors, that is,

$(\operatorname {adj} (A))_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{ji}.$

For every matrix, one has

$(\det A)I=A\operatorname {adj} A=(\operatorname {adj} A)\,A.$

Thus the adjugate matrix can be used for expressing the inverse of a nonsingular matrix:

$A^{-1}={\frac {1}{\det A}}\operatorname {adj} A.$

Block matrices

The formula for the determinant of a $2\times 2$-matrix above continues to hold, under appropriate further assumptions, for a block matrix, i.e., a matrix composed of four submatrices $A,B,C,D$ of dimension $m\times m$, $m\times n$, $n\times m$ and $n\times n$, respectively. The easiest such formula, which can be proven using either the Leibniz formula or a factorization involving the Schur complement, is

$\det {\begin{pmatrix}A&0\\C&D\end{pmatrix}}=\det(A)\det(D)=\det {\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}}.$

If $A$ is invertible, then it follows with results from the section on multiplicativity that

${\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}&=\det(A)\det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\underbrace {\det {\begin{pmatrix}A^{-1}&-A^{-1}B\\0&I_{n}\end{pmatrix}}} _{=\,\det(A^{-1})\,=\,(\det A)^{-1}}\\&=\det(A)\det {\begin{pmatrix}I_{m}&0\\CA^{-1}&D-CA^{-1}B\end{pmatrix}}\\&=\det(A)\det(D-CA^{-1}B),\end{aligned}}$

which simplifies to $\det(A)(D-CA^{-1}B)$ when $D$ is a $1\times 1$-matrix.

A similar result holds when $D$ is invertible, namely

${\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}&=\det(D)\det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\underbrace {\det {\begin{pmatrix}I_{m}&0\\-D^{-1}C&D^{-1}\end{pmatrix}}} _{=\,\det(D^{-1})\,=\,(\det D)^{-1}}\\&=\det(D)\det {\begin{pmatrix}A-BD^{-1}C&BD^{-1}\\0&I_{n}\end{pmatrix}}\\&=\det(D)\det(A-BD^{-1}C).\end{aligned}}$

Both results can be combined to derive Sylvester's determinant theorem, which is also stated below.

If the blocks are square matrices of the same size further formulas hold. For example, if $C$ and $D$ commute (i.e., $CD=DC$), then

$\det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\det(AD-BC).$

This formula has been generalized to matrices composed of more than $2\times 2$ blocks, again under appropriate commutativity conditions among the individual blocks.

For $A=D$ and $B=C$, the following formula holds (even if $A$ and $B$ do not commute)

$\det {\begin{pmatrix}A&B\\B&A\end{pmatrix}}=\det(A-B)\det(A+B).$

Sylvester's determinant theorem

Sylvester's determinant theorem states that for A, an m × n matrix, and B, an n × m matrix (so that A and B have dimensions allowing them to be multiplied in either order forming a square matrix):

$\det \left(I_{\mathit {m}}+AB\right)=\det \left(I_{\mathit {n}}+BA\right),$

where I_m and I_n are the m × m and n × n identity matrices, respectively.

From this general result several consequences follow.

1. For the case of column vector c and row vector r, each with m components, the formula allows quick calculation of the determinant of a matrix that differs from the identity matrix by a matrix of rank 1:

   $\det \left(I_{\mathit {m}}+cr\right)=1+rc.$

2. More generally, for any invertible m × m matrix X,
   $\det(X+AB)=\det(X)\det \left(I_{\mathit {m}}+BX^{-1}A\right),$
3. For a column and row vector as above:
   $\det(X+cr)=\det(X)\det \left(1+rX^{-1}c\right)=\det(X)+r\,\operatorname {adj} (X)\,c.$
4. For square matrices $A$ and $B$ of the same size, the matrices $AB$ and $BA$ have the same characteristic polynomials (hence the same eigenvalues).

Sum

The determinant of the sum $A+B$ of two square matrices of the same size is not in general expressible in terms of the determinants of A and of B. However, for positive semidefinite matrices $A$, $B$ and $C$ of equal size,

$$\det(A+B+C)+\det(C)\geq \det(A+C)+\det(B+C){\text{,}}$$

with the corollary

$$\det(A+B)\geq \det(A)+\det(B){\text{.}}$$

Conversely, if $A$ and $B$ are Hermitian, positive-definite, and size $n\times n$, then the determinant has concave $n$^th root; this implies

$${\sqrt[{n}]{\det {\!(A+B)}}}\geq {\sqrt[{n}]{\det {\!(A)}}}+{\sqrt[{n}]{\det {\!(B)}}}$$

by homogeneity.

Sum identity for 2×2 matrices

For the special case of $2\times 2$ matrices with complex entries, the determinant of the sum can be written in terms of determinants and traces in the following identity:

$\det(A+B)=\det(A)+\det(B)+{\text{tr}}(A){\text{tr}}(B)-{\text{tr}}(AB).$

Proof of identity —

This can be shown by writing out each term in components $A_{ij},B_{ij}$. The left-hand side is

$(A_{11}+B_{11})(A_{22}+B_{22})-(A_{12}+B_{12})(A_{21}+B_{21}).$

Expanding gives

$A_{11}A_{22}+B_{11}A_{22}+A_{11}B_{22}+B_{11}B_{22}-A_{12}A_{21}-B_{12}A_{21}-A_{12}B_{21}-B_{12}B_{21}.$

The terms which are quadratic in $A$ are seen to be $\det(A)$, and similarly for $B$, so the expression can be written

$\det(A)+\det(B)+A_{11}B_{22}+B_{11}A_{22}-A_{12}B_{21}-B_{12}A_{21}.$

We can then write the cross-terms as

$(A_{11}+A_{22})(B_{11}+B_{22})-(A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}+A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22})$

which can be recognized as

${\text{tr}}(A){\text{tr}}(B)-{\text{tr}}(AB).$

which completes the proof.

This has an application to $2\times 2$ matrix algebras. For example, consider the complex numbers as a matrix algebra. The complex numbers have a representation as matrices of the form

$$aI+b\mathbf {i} :=a{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$$

with $a$ and $b$ real. Since ${\text{tr}}(\mathbf {i} )=0$, taking $A=aI$ and $B=b\mathbf {i}$ in the above identity gives

$\det(aI+b\mathbf {i} )=a^{2}\det(I)+b^{2}\det(\mathbf {i} )=a^{2}+b^{2}.$

This result followed just from ${\text{tr}}(\mathbf {i} )=0$ and $\det(I)=\det(\mathbf {i} )=1$.

Properties of the determinant in relation to other notions

Eigenvalues and characteristic polynomial

The determinant is closely related to two other central concepts in linear algebra, the eigenvalues and the characteristic polynomial of a matrix. Let $A$ be an $n\times n$-matrix with complex entries. Then, by the Fundamental Theorem of Algebra, $A$ must have exactly n eigenvalues $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}$. (Here it is understood that an eigenvalue with algebraic multiplicity μ occurs μ times in this list.) Then, it turns out the determinant of A is equal to the product of these eigenvalues,

$\det(A)=\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.$

The product of all non-zero eigenvalues is referred to as pseudo-determinant.

From this, one immediately sees that the determinant of a matrix $A$ is zero if and only if $0$ is an eigenvalue of $A$. In other words, $A$ is invertible if and only if $0$ is not an eigenvalue of $A$.

The characteristic polynomial is defined as

$\chi _{A}(t)=\det(t\cdot I-A).$

Here, $t$ is the indeterminate of the polynomial and $I$ is the identity matrix of the same size as $A$. By means of this polynomial, determinants can be used to find the eigenvalues of the matrix $A$: they are precisely the roots of this polynomial, i.e., those complex numbers $\lambda$ such that

$\chi _{A}(\lambda )=0.$

A Hermitian matrix is positive definite if all its eigenvalues are positive. Sylvester's criterion asserts that this is equivalent to the determinants of the submatrices

$A_{k}:={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,k}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{k,1}&a_{k,2}&\cdots &a_{k,k}\end{bmatrix}}$

being positive, for all $k$ between $1$ and $n$.

Trace

The trace tr(A) is by definition the sum of the diagonal entries of A and also equals the sum of the eigenvalues. Thus, for complex matrices A,

$\det(\exp(A))=\exp(\operatorname {tr} (A))$

or, for real matrices A,

$\operatorname {tr} (A)=\log(\det(\exp(A))).$

Here exp(A) denotes the matrix exponential of A, because every eigenvalue λ of A corresponds to the eigenvalue exp(λ) of exp(A). In particular, given any logarithm of A, that is, any matrix L satisfying

$\exp(L)=A$

the determinant of A is given by

$\det(A)=\exp(\operatorname {tr} (L)).$

For example, for n = 2, n = 3, and n = 4, respectively,

${\begin{aligned}\det(A)&={\frac {1}{2}}\left(\left(\operatorname {tr} (A)\right)^{2}-\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)\right),\\\det(A)&={\frac {1}{6}}\left(\left(\operatorname {tr} (A)\right)^{3}-3\operatorname {tr} (A)~\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)+2\operatorname {tr} \left(A^{3}\right)\right),\\\det(A)&={\frac {1}{24}}\left(\left(\operatorname {tr} (A)\right)^{4}-6\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)\left(\operatorname {tr} (A)\right)^{2}+3\left(\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)\right)^{2}+8\operatorname {tr} \left(A^{3}\right)~\operatorname {tr} (A)-6\operatorname {tr} \left(A^{4}\right)\right).\end{aligned}}$

cf. Cayley-Hamilton theorem. Such expressions are deducible from combinatorial arguments, Newton's identities, or the Faddeev–LeVerrier algorithm. That is, for generic n, detA = (−1)ⁿc₀ the signed constant term of the characteristic polynomial, determined recursively from

$c_{n}=1;~~~c_{n-m}=-{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m}c_{n-m+k}\operatorname {tr} \left(A^{k}\right)~~(1\leq m\leq n)~.$

In the general case, this may also be obtained from

$\det(A)=\sum _{\begin{array}{c}k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\geq 0\\k_{1}+2k_{2}+\cdots +nk_{n}=n\end{array}}\prod _{l=1}^{n}{\frac {(-1)^{k_{l}+1}}{l^{k_{l}}k_{l}!}}\operatorname {tr} \left(A^{l}\right)^{k_{l}},$

where the sum is taken over the set of all integers k_l ≥ 0 satisfying the equation

$\sum _{l=1}^{n}lk_{l}=n.$

The formula can be expressed in terms of the complete exponential Bell polynomial of n arguments s_l = −(l – 1)! tr(A^l) as

$\det(A)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}B_{n}(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}).$

This formula can also be used to find the determinant of a matrix A^I_J with multidimensional indices I = (i₁, i₂, ..., i_r) and J = (j₁, j₂, ..., j_r). The product and trace of such matrices are defined in a natural way as

$(AB)_{J}^{I}=\sum _{K}A_{K}^{I}B_{J}^{K},\operatorname {tr} (A)=\sum _{I}A_{I}^{I}.$

An important arbitrary dimension n identity can be obtained from the Mercator series expansion of the logarithm when the expansion converges. If every eigenvalue of A is less than 1 in absolute value,

$\det(I+A)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\left(-\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{j}}{j}}\operatorname {tr} \left(A^{j}\right)\right)^{k}\,,$

where I is the identity matrix. More generally, if

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\left(-\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{j}s^{j}}{j}}\operatorname {tr} \left(A^{j}\right)\right)^{k}\,,$

is expanded as a formal power series in s then all coefficients of s^m for m > n are zero and the remaining polynomial is det(I + sA).

Upper and lower bounds

For a positive definite matrix A, the trace operator gives the following tight lower and upper bounds on the log determinant

$\operatorname {tr} \left(I-A^{-1}\right)\leq \log \det(A)\leq \operatorname {tr} (A-I)$

with equality if and only if A = I. This relationship can be derived via the formula for the Kullback-Leibler divergence between two multivariate normal distributions.

Also,

${\frac {n}{\operatorname {tr} \left(A^{-1}\right)}}\leq \det(A)^{\frac {1}{n}}\leq {\frac {1}{n}}\operatorname {tr} (A)\leq {\sqrt {{\frac {1}{n}}\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)}}.$

These inequalities can be proved by expressing the traces and the determinant in terms of the eigenvalues. As such, they represent the well-known fact that the harmonic mean is less than the geometric mean, which is less than the arithmetic mean, which is, in turn, less than the root mean square.

Derivative

The Leibniz formula shows that the determinant of real (or analogously for complex) square matrices is a polynomial function from $\mathbf {R} ^{n\times n}$ to $\mathbf {R}$. In particular, it is everywhere differentiable. Its derivative can be expressed using Jacobi's formula:

${\frac {d\det(A)}{d\alpha }}=\operatorname {tr} \left(\operatorname {adj} (A){\frac {dA}{d\alpha }}\right).$

where $\operatorname {adj} (A)$ denotes the adjugate of $A$. In particular, if $A$ is invertible, we have

${\frac {d\det(A)}{d\alpha }}=\det(A)\operatorname {tr} \left(A^{-1}{\frac {dA}{d\alpha }}\right).$

Expressed in terms of the entries of $A$, these are

${\frac {\partial \det(A)}{\partial A_{ij}}}=\operatorname {adj} (A)_{ji}=\det(A)\left(A^{-1}\right)_{ji}.$

Yet another equivalent formulation is

$\det(A+\epsilon X)-\det(A)=\operatorname {tr} (\operatorname {adj} (A)X)\epsilon +O\left(\epsilon ^{2}\right)=\det(A)\operatorname {tr} \left(A^{-1}X\right)\epsilon +O\left(\epsilon ^{2}\right)$,

using big O notation. The special case where $A=I$, the identity matrix, yields

$\det(I+\epsilon X)=1+\operatorname {tr} (X)\epsilon +O\left(\epsilon ^{2}\right).$

This identity is used in describing Lie algebras associated to certain matrix Lie groups. For example, the special linear group $\operatorname {SL} _{n}$ is defined by the equation $\det A=1$. The above formula shows that its Lie algebra is the special linear Lie algebra ${\mathfrak {sl}}_{n}$ consisting of those matrices having trace zero.

Writing a $3\times 3$-matrix as $A={\begin{bmatrix}a&b&c\end{bmatrix}}$ where $a,b,c$ are column vectors of length 3, then the gradient over one of the three vectors may be written as the cross product of the other two:

${\begin{aligned}\nabla _{\mathbf {a} }\det(A)&=\mathbf {b} \times \mathbf {c} \\\nabla _{\mathbf {b} }\det(A)&=\mathbf {c} \times \mathbf {a} \\\nabla _{\mathbf {c} }\det(A)&=\mathbf {a} \times \mathbf {b} .\end{aligned}}$

History

Historically, determinants were used long before matrices: A determinant was originally defined as a property of a system of linear equations. The determinant "determines" whether the system has a unique solution (which occurs precisely if the determinant is non-zero). In this sense, determinants were first used in the Chinese mathematics textbook The Nine Chapters on the Mathematical Art (九章算術, Chinese scholars, around the 3rd century BCE). In Europe, solutions of linear systems of two equations were expressed by Cardano in 1545 by a determinant-like entity.

Determinants proper originated from the work of Seki Takakazu in 1683 in Japan and parallelly of Leibniz in 1693. (Cramer 1750) stated, without proof, Cramer's rule. Both Cramer and also (Bezout 1779) were led to determinants by the question of plane curves passing through a given set of points.

Vandermonde (1771) first recognized determinants as independent functions. (Laplace 1772) gave the general method of expanding a determinant in terms of its complementary minors: Vandermonde had already given a special case. Immediately following, Lagrange (1773) treated determinants of the second and third order and applied it to questions of elimination theory; he proved many special cases of general identities.

Gauss (1801) made the next advance. Like Lagrange, he made much use of determinants in the theory of numbers. He introduced the word "determinant" (Laplace had used "resultant"), though not in the present signification, but rather as applied to the discriminant of a quantic. Gauss also arrived at the notion of reciprocal (inverse) determinants, and came very near the multiplication theorem.

The next contributor of importance is Binet (1811, 1812), who formally stated the theorem relating to the product of two matrices of m columns and n rows, which for the special case of m = n reduces to the multiplication theorem. On the same day (November 30, 1812) that Binet presented his paper to the Academy, Cauchy also presented one on the subject. (See Cauchy–Binet formula.) In this he used the word "determinant" in its present sense, summarized and simplified what was then known on the subject, improved the notation, and gave the multiplication theorem with a proof more satisfactory than Binet's. With him begins the theory in its generality.

(Jacobi 1841) used the functional determinant which Sylvester later called the Jacobian. In his memoirs in Crelle's Journal for 1841 he specially treats this subject, as well as the class of alternating functions which Sylvester has called alternants. About the time of Jacobi's last memoirs, Sylvester (1839) and Cayley began their work. Cayley 1841 introduced the modern notation for the determinant using vertical bars.

The study of special forms of determinants has been the natural result of the completion of the general theory. Axisymmetric determinants have been studied by Lebesgue, Hesse, and Sylvester; persymmetric determinants by Sylvester and Hankel; circulants by Catalan, Spottiswoode, Glaisher, and Scott; skew determinants and Pfaffians, in connection with the theory of orthogonal transformation, by Cayley; continuants by Sylvester; Wronskians (so called by Muir) by Christoffel and Frobenius; compound determinants by Sylvester, Reiss, and Picquet; Jacobians and Hessians by Sylvester; and symmetric gauche determinants by Trudi. Of the textbooks on the subject Spottiswoode's was the first. In America, Hanus (1886), Weld (1893), and Muir/Metzler (1933) published treatises.

Applications

Cramer's rule

Determinants can be used to describe the solutions of a linear system of equations, written in matrix form as $Ax=b$. This equation has a unique solution $x$ if and only if $\det(A)$ is nonzero. In this case, the solution is given by Cramer's rule:

$x_{i}={\frac {\det(A_{i})}{\det(A)}}\qquad i=1,2,3,\ldots ,n$

where $A_{i}$ is the matrix formed by replacing the $i$-th column of $A$ by the column vector $b$. This follows immediately by column expansion of the determinant, i.e.

$\det(A_{i})=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&\ldots &b&\ldots &a_{n}\end{bmatrix}}=\sum _{j=1}^{n}x_{j}\det {\begin{bmatrix}a_{1}&\ldots &a_{i-1}&a_{j}&a_{i+1}&\ldots &a_{n}\end{bmatrix}}=x_{i}\det(A)$

where the vectors $a_{j}$ are the columns of A. The rule is also implied by the identity

$A\,\operatorname {adj} (A)=\operatorname {adj} (A)\,A=\det(A)\,I_{n}.$

Cramer's rule can be implemented in $\operatorname {O} (n^{3})$ time, which is comparable to more common methods of solving systems of linear equations, such as LU, QR, or singular value decomposition.

Linear independence

Determinants can be used to characterize linearly dependent vectors: $\det A$ is zero if and only if the column vectors (or, equivalently, the row vectors) of the matrix $A$ are linearly dependent. For example, given two linearly independent vectors $v_{1},v_{2}\in \mathbf {R} ^{3}$, a third vector $v_{3}$ lies in the plane spanned by the former two vectors exactly if the determinant of the $3\times 3$-matrix consisting of the three vectors is zero. The same idea is also used in the theory of differential equations: given functions $f_{1}(x),\dots ,f_{n}(x)$ (supposed to be $n-1$ times differentiable), the Wronskian is defined to be

$W(f_{1},\ldots ,f_{n})(x)={\begin{vmatrix}f_{1}(x)&f_{2}(x)&\cdots &f_{n}(x)\\f_{1}'(x)&f_{2}'(x)&\cdots &f_{n}'(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}(x)&f_{2}^{(n-1)}(x)&\cdots &f_{n}^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}}.$

It is non-zero (for some $x$) in a specified interval if and only if the given functions and all their derivatives up to order $n-1$ are linearly independent. If it can be shown that the Wronskian is zero everywhere on an interval then, in the case of analytic functions, this implies the given functions are linearly dependent. See the Wronskian and linear independence. Another such use of the determinant is the resultant, which gives a criterion when two polynomials have a common root.

Orientation of a basis

Artikel utama: Orientation (vector space)

The determinant can be thought of as assigning a number to every sequence of n vectors in Rⁿ, by using the square matrix whose columns are the given vectors. The determinant will be nonzero if and only if the sequence of vectors is a basis for Rⁿ. In that case, the sign of the determinant determines whether the orientation of the basis is consistent with or opposite to the orientation of the standard basis. In the case of an orthogonal basis, the magnitude of the determinant is equal to the product of the lengths of the basis vectors. For instance, an orthogonal matrix with entries in Rⁿ represents an orthonormal basis in Euclidean space, and hence has determinant of ±1 (since all the vectors have length 1). The determinant is +1 if and only if the basis has the same orientation. It is −1 if and only if the basis has the opposite orientation.

More generally, if the determinant of A is positive, A represents an orientation-preserving linear transformation (if A is an orthogonal 2 × 2 or 3 × 3 matrix, this is a rotation), while if it is negative, A switches the orientation of the basis.

Volume and Jacobian determinant

As pointed out above, the absolute value of the determinant of real vectors is equal to the volume of the parallelepiped spanned by those vectors. As a consequence, if $f:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{n}$ is the linear map given by multiplication with a matrix $A$, and $S\subset \mathbf {R} ^{n}$ is any measurable subset, then the volume of $f(S)$ is given by $|\det(A)|$ times the volume of $S$. More generally, if the linear map $f:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{m}$ is represented by the $m\times n$-matrix $A$, then the $n$-dimensional volume of $f(S)$ is given by:

$\operatorname {volume} (f(S))={\sqrt {\det \left(A^{\textsf {T}}A\right)}}\operatorname {volume} (S).$

By calculating the volume of the tetrahedron bounded by four points, they can be used to identify skew lines. The volume of any tetrahedron, given its vertices $a,b,c,d$, ${\frac {1}{6}}\cdot |\det(a-b,b-c,c-d)|$, or any other combination of pairs of vertices that form a spanning tree over the vertices.

A nonlinear map $f\colon \mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} ^{2}$ sends a small square (left, in red) to a distorted parallelogram (right, in red). The Jacobian at a point gives the best linear approximation of the distorted parallelogram near that point (right, in translucent white), and the Jacobian determinant gives the ratio of the area of the approximating parallelogram to that of the original square.

For a general differentiable function, much of the above carries over by considering the Jacobian matrix of f. For

$f:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{n},$

the Jacobian matrix is the n × n matrix whose entries are given by the partial derivatives

$D(f)=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{1\leq i,j\leq n}.$

Its determinant, the Jacobian determinant, appears in the higher-dimensional version of integration by substitution: for suitable functions f and an open subset U of Rⁿ (the domain of f), the integral over f(U) of some other function φ : Rⁿ → R^m is given by

$\int _{f(U)}\phi (\mathbf {v} )\,d\mathbf {v} =\int _{U}\phi (f(\mathbf {u} ))\left|\det(\operatorname {D} f)(\mathbf {u} )\right|\,d\mathbf {u} .$

The Jacobian also occurs in the inverse function theorem.

When applied to the field of Cartography, the determinant can be used to measure the rate of expansion of a map near the poles.

Abstract algebraic aspects

Determinant of an endomorphism

The above identities concerning the determinant of products and inverses of matrices imply that similar matrices have the same determinant: two matrices A and B are similar, if there exists an invertible matrix X such that A = X⁻¹BX. Indeed, repeatedly applying the above identities yields

$\det(A)=\det(X)^{-1}\det(B)\det(X)=\det(B)\det(X)^{-1}\det(X)=\det(B).$

The determinant is therefore also called a similarity invariant. The determinant of a linear transformation

$T:V\to V$

for some finite-dimensional vector space V is defined to be the determinant of the matrix describing it, with respect to an arbitrary choice of basis in V. By the similarity invariance, this determinant is independent of the choice of the basis for V and therefore only depends on the endomorphism T.

Square matrices over commutative rings

The above definition of the determinant using the Leibniz rule holds works more generally when the entries of the matrix are elements of a commutative ring $R$, such as the integers $\mathbf {Z}$, as opposed to the field of real or complex numbers. Moreover, the characterization of the determinant as the unique alternating multilinear map that satisfies $\det(I)=1$ still holds, as do all the properties that result from that characterization.

A matrix $A\in \operatorname {Mat} _{n\times n}(R)$ is invertible (in the sense that there is an inverse matrix whose entries are in $R$) if and only if its determinant is an invertible element in $R$. For $R=\mathbf {Z}$, this means that the determinant is +1 or −1. Such a matrix is called unimodular.

The determinant being multiplicative, it defines a group homomorphism

$\operatorname {GL} _{n}(R)\rightarrow R^{\times },$

between the general linear group (the group of invertible $n\times n$-matrices with entries in $R$) and the multiplicative group of units in $R$. Since it respects the multiplication in both groups, this map is a group homomorphism.

The determinant is a natural transformation.

Given a ring homomorphism $f:R\to S$, there is a map $\operatorname {GL} _{n}(f):\operatorname {GL} _{n}(R)\to \operatorname {GL} _{n}(S)$ given by replacing all entries in $R$ by their images under $f$. The determinant respects these maps, i.e., the identity

$f(\det((a_{i,j})))=\det((f(a_{i,j})))$

holds. In other words, the displayed commutative diagram commutes.

For example, the determinant of the complex conjugate of a complex matrix (which is also the determinant of its conjugate transpose) is the complex conjugate of its determinant, and for integer matrices: the reduction modulo $m$ of the determinant of such a matrix is equal to the determinant of the matrix reduced modulo $m$ (the latter determinant being computed using modular arithmetic). In the language of category theory, the determinant is a natural transformation between the two functors $\operatorname {GL} _{n}$ and $(-)^{\times }$. Adding yet another layer of abstraction, this is captured by saying that the determinant is a morphism of algebraic groups, from the general linear group to the multiplicative group,

$\det :\operatorname {GL} _{n}\to \mathbb {G} _{m}.$

Exterior algebra

Lihat pula: Exterior algebra § Linear algebra

The determinant of a linear transformation $T:V\to V$ of an $n$-dimensional vector space $V$ or, more generally a free module of (finite) rank $n$ over a commutative ring $R$ can be formulated in a coordinate-free manner by considering the $n$-th exterior power $\bigwedge ^{n}V$ of $V$. The map $T$ induces a linear map

${\begin{aligned}\bigwedge ^{n}T:\bigwedge ^{n}V&\rightarrow \bigwedge ^{n}V\\v_{1}\wedge v_{2}\wedge \dots \wedge v_{n}&\mapsto Tv_{1}\wedge Tv_{2}\wedge \dots \wedge Tv_{n}.\end{aligned}}$

As $\bigwedge ^{n}V$ is one-dimensional, the map $\bigwedge ^{n}T$ is given by multiplying with some scalar, i.e., an element in $R$. Some authors such as (Bourbaki 1998) use this fact to define the determinant to be the element in $R$ satisfying the following identity (for all $v_{i}\in V$):

$\left(\bigwedge ^{n}T\right)\left(v_{1}\wedge \dots \wedge v_{n}\right)=\det(T)\cdot v_{1}\wedge \dots \wedge v_{n}.$

This definition agrees with the more concrete coordinate-dependent definition. This can be shown using the uniqueness of a multilinear alternating form on $n$-tuples of vectors in $R^{n}$. For this reason, the highest non-zero exterior power $\bigwedge ^{n}V$ (as opposed to the determinant associated to an endomorphism) is sometimes also called the determinant of $V$ and similarly for more involved objects such as vector bundles or chain complexes of vector spaces. Minors of a matrix can also be cast in this setting, by considering lower alternating forms $\bigwedge ^{k}V$ with $k<n$.

Generalizations and related notions

Determinants as treated above admit several variants: the permanent of a matrix is defined as the determinant, except that the factors $\operatorname {sgn}(\sigma )$ occurring in Leibniz's rule are omitted. The immanant generalizes both by introducing a character of the symmetric group $S_{n}$ in Leibniz's rule.

Determinants for finite-dimensional algebras

For any associative algebra $A$ that is finite-dimensional as a vector space over a field $F$, there is a determinant map

$\det :A\to F.$

This definition proceeds by establishing the characteristic polynomial independently of the determinant, and defining the determinant as the lowest order term of this polynomial. This general definition recovers the determinant for the matrix algebra $A=\operatorname {Mat} _{n\times n}(F)$, but also includes several further cases including the determinant of a quaternion,

$\det(a+ib+jc+kd)=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$,

the norm $N_{L/F}:L\to F$ of a field extension, as well as the Pfaffian of a skew-symmetric matrix and the reduced norm of a central simple algebra, also arise as special cases of this construction.

Infinite matrices

For matrices with an infinite number of rows and columns, the above definitions of the determinant do not carry over directly. For example, in the Leibniz formula, an infinite sum (all of whose terms are infinite products) would have to be calculated. Functional analysis provides different extensions of the determinant for such infinite-dimensional situations, which however only work for particular kinds of operators.

The Fredholm determinant defines the determinant for operators known as trace class operators by an appropriate generalization of the formula

$\det(I+A)=\exp(\operatorname {tr} (\log(I+A))).$

Another infinite-dimensional notion of determinant is the functional determinant.

Operators in von Neumann algebras

For operators in a finite factor, one may define a positive real-valued determinant called the Fuglede−Kadison determinant using the canonical trace. In fact, corresponding to every tracial state on a von Neumann algebra there is a notion of Fuglede−Kadison determinant.

Related notions for non-commutative rings

For matrices over non-commutative rings, multilinearity and alternating properties are incompatible for n ≥ 2, so there is no good definition of the determinant in this setting.For square matrices with entries in a non-commutative ring, there are various difficulties in defining determinants analogously to that for commutative rings. A meaning can be given to the Leibniz formula provided that the order for the product is specified, and similarly for other definitions of the determinant, but non-commutativity then leads to the loss of many fundamental properties of the determinant, such as the multiplicative property or that the determinant is unchanged under transposition of the matrix. Over non-commutative rings, there is no reasonable notion of a multilinear form (existence of a nonzero bilinear form^[rujukan?]

with a regular element of R as value on some pair of arguments implies that R is commutative). Nevertheless, various notions of non-commutative determinant have been formulated that preserve some of the properties of determinants, notably quasideterminants and the Dieudonné determinant. For some classes of matrices with non-commutative elements, one can define the determinant and prove linear algebra theorems that are very similar to their commutative analogs. Examples include the q-determinant on quantum groups, the Capelli determinant on Capelli matrices, and the Berezinian on supermatrices (i.e., matrices whose entries are elements of $\mathbb {Z} _{2}$-graded rings). Manin matrices form the class closest to matrices with commutative elements.

Calculation

Determinants are mainly used as a theoretical tool. They are rarely calculated explicitly in numerical linear algebra, where for applications such as checking invertibility and finding eigenvalues the determinant has largely been supplanted by other techniques. Computational geometry, however, does frequently use calculations related to determinants.

While the determinant can be computed directly using the Leibniz rule this approach is extremely inefficient for large matrices, since that formula requires calculating $n!$ ($n$ factorial) products for an $n\times n$-matrix. Thus, the number of required operations grows very quickly: it is of order $n!$. The Laplace expansion is similarly inefficient. Therefore, more involved techniques have been developed for calculating determinants.

Decomposition methods

Some methods compute $\det(A)$ by writing the matrix as a product of matrices whose determinants can be more easily computed. Such techniques are referred to as decomposition methods. Examples include the LU decomposition, the QR decomposition or the Cholesky decomposition (for positive definite matrices). These methods are of order $\operatorname {O} (n^{3})$, which is a significant improvement over $\operatorname {O} (n!)$.

For example, LU decomposition expresses $A$ as a product

$A=PLU.$

of a permutation matrix $P$ (which has exactly a single $1$ in each column, and otherwise zeros), a lower triangular matrix $L$ and an upper triangular matrix $U$. The determinants of the two triangular matrices $L$ and $U$ can be quickly calculated, since they are the products of the respective diagonal entries. The determinant of $P$ is just the sign $\varepsilon$ of the corresponding permutation (which is $+1$ for an even number of permutations and is $-1$ for an odd number of permutations). Once such a LU decomposition is known for $A$, its determinant is readily computed as

$\det(A)=\varepsilon \det(L)\cdot \det(U).$

Further methods

The order $\operatorname {O} (n^{3})$ reached by decomposition methods has been improved by different methods. If two matrices of order $n$ can be multiplied in time $M(n)$, where $M(n)\geq n^{a}$ for some $a>2$, then there is an algorithm computing the determinant in time $O(M(n))$. This means, for example, that an $\operatorname {O} (n^{2.376})$ algorithm for computing the determinant exists based on the Coppersmith–Winograd algorithm. This exponent has been further lowered, as of 2016, to 2.373.

In addition to the complexity of the algorithm, further criteria can be used to compare algorithms. Especially for applications concerning matrices over rings, algorithms that compute the determinant without any divisions exist. (By contrast, Gauss elimination requires divisions.) One such algorithm, having complexity $\operatorname {O} (n^{4})$ is based on the following idea: one replaces permutations (as in the Leibniz rule) by so-called closed ordered walks, in which several items can be repeated. The resulting sum has more terms than in the Leibniz rule, but in the process several of these products can be reused, making it more efficient than naively computing with the Leibniz rule. Algorithms can also be assessed according to their bit complexity, i.e., how many bits of accuracy are needed to store intermediate values occurring in the computation. For example, the Gaussian elimination (or LU decomposition) method is of order $\operatorname {O} (n^{3})$, but the bit length of intermediate values can become exponentially long. By comparison, the Bareiss Algorithm, is an exact-division method (so it does use division, but only in cases where these divisions can be performed without remainder) is of the same order, but the bit complexity is roughly the bit size of the original entries in the matrix times $n$.

If the determinant of A and the inverse of A have already been computed, the matrix determinant lemma allows rapid calculation of the determinant of A + uv^T, where u and v are column vectors.

Charles Dodgson (i.e. Lewis Carroll of Alice's Adventures in Wonderland fame) invented a method for computing determinants called Dodgson condensation. Unfortunately this interesting method does not always work in its original form.

See also

• Cauchy determinant
• Cayley–Menger determinant
• Dieudonné determinant
• Slater determinant
• Determinantal conjecture

References

Lihat pula: Linear algebra § Further reading

• Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (edisi ke-9th), Wiley International 
• Axler, Sheldon Jay (2015). Linear Algebra Done Right (edisi ke-3rd). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0. 
• Bareiss, Erwin (1968), "Sylvester's Identity and Multistep Integer-Preserving Gaussian Elimination" (PDF), Mathematics of Computation, 22 (102): 565–578, doi:10.2307/2004533, JSTOR 2004533, diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2012-10-25 
• de Boor, Carl (1990), "An empty exercise" (PDF), ACM SIGNUM Newsletter, 25 (2): 3–7, doi:10.1145/122272.122273, diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2006-09-01 
• Bourbaki, Nicolas (1998), Algebra I, Chapters 1-3, Springer, ISBN 9783540642435 
• Bunch, J. R.; Hopcroft, J. E. (1974). "Triangular Factorization and Inversion by Fast Matrix Multiplication". Mathematics of Computation. 28 (125): 231–236. doi:10.1090/S0025-5718-1974-0331751-8 . 
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004), Abstract algebra (edisi ke-3rd), Hoboken, NJ: Wiley, ISBN 9780471452348, OCLC 248917264 
• Fisikopoulos, Vissarion; Peñaranda, Luis (2016), "Faster geometric algorithms via dynamic determinant computation", Computational Geometry, 54: 1–16, doi:10.1016/j.comgeo.2015.12.001  
• Garibaldi, Skip (2004), "The characteristic polynomial and determinant are not ad hoc constructions", American Mathematical Monthly, 111 (9): 761–778, arXiv:math/0203276 , doi:10.2307/4145188, JSTOR 4145188, MR 2104048 
• Habgood, Ken; Arel, Itamar (2012). "A condensation-based application of Cramer's rule for solving large-scale linear systems" (PDF). Journal of Discrete Algorithms. 10: 98–109. doi:10.1016/j.jda.2011.06.007 . Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2019-05-05. 
• Harris, Frank E. (2014), Mathematics for Physical Science and Engineering, Elsevier, ISBN 9780128010495 
• Kleiner, Israel (2007), Kleiner, Israel, ed., A history of abstract algebra, Birkhäuser, doi:10.1007/978-0-8176-4685-1, ISBN 978-0-8176-4684-4, MR 2347309 
• Kung, Joseph P.S.; Rota, Gian-Carlo; Yan, Catherine (2009), Combinatorics: The Rota Way, Cambridge University Press, ISBN 9780521883894 
• Lay, David C. (August 22, 2005), Linear Algebra and Its Applications (edisi ke-3rd), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7 
• Lombardi, Henri; Quitté, Claude (2015), Commutative Algebra: Constructive Methods, Springer, ISBN 9789401799447 
• Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics 5 (edisi ke-2nd), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98403-8 
• Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, diarsipkan dari versi asli tanggal 2009-10-31 
• Muir, Thomas (1960) [1933], A treatise on the theory of determinants, Revised and enlarged by William H. Metzler, New York, NY: Dover 
• Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (edisi ke-2nd), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3 
• G. Baley Price (1947) "Some identities in the theory of determinants", American Mathematical Monthly 54:75–90 Templat:Mr
• Horn, Roger Alan; Johnson, Charles Royal (2018) [1985]. Matrix Analysis (edisi ke-2nd). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54823-6. 
• Lang, Serge (1985), Introduction to Linear Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics (edisi ke-2), Springer, ISBN 9780387962054 
• Lang, Serge (1987), Linear Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics (edisi ke-3), Springer, ISBN 9780387964126 
• Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. New York, NY: Springer. ISBN 978-0-387-95385-4. 
• Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (edisi ke-7th), Pearson Prentice Hall 
• Rote, Günter (2001), "Division-free algorithms for the determinant and the Pfaffian: algebraic and combinatorial approaches" (PDF), Computational discrete mathematics, Lecture Notes in Comput. Sci., 2122, Springer, hlm. 119–135, doi:10.1007/3-540-45506-X_9 , ISBN 978-3-540-42775-9, MR 1911585, diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2007-02-01, diakses tanggal 2020-06-04 
• Trefethen, Lloyd; Bau III, David (1997), Numerical Linear Algebra (edisi ke-1st), Philadelphia: SIAM, ISBN 978-0-89871-361-9 

Historical references

• Bourbaki, Nicolas (1994), Elements of the history of mathematics, diterjemahkan oleh Meldrum, John, Springer, doi:10.1007/978-3-642-61693-8, ISBN 3-540-19376-6 
• Cajori, Florian (1993), A history of mathematical notations: Including Vol. I. Notations in elementary mathematics; Vol. II. Notations mainly in higher mathematics, Reprint of the 1928 and 1929 originals, Dover, ISBN 0-486-67766-4, MR 3363427 
• Bezout, Étienne (1779), Théorie générale des equations algébriques, Paris 
• Cayley, Arthur (1841), "On a theorem in the geometry of position", Cambridge Mathematical Journal, 2: 267–271 
• Cramer, Gabriel (1750), Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques, Genève: Frères Cramer & Cl. Philibert, doi:10.3931/e-rara-4048 
• Eves, Howard (1990), An introduction to the history of mathematics (edisi ke-6), Saunders College Publishing, ISBN 0-03-029558-0, MR 1104435 
• Grattan-Guinness, I., ed. (2003), Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences, 1, Johns Hopkins University Press, ISBN 9780801873966 
• Jacobi, Carl Gustav Jakob (1841), "De Determinantibus functionalibus", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1841 (22): 320–359, doi:10.1515/crll.1841.22.319 
• Laplace, Pierre-Simon, de (1772), "Recherches sur le calcul intégral et sur le systéme du monde", Histoire de l'Académie Royale des Sciences, Paris (seconde partie): 267–376 

External links

• Suprunenko, D.A. (2001) [1994], "Determinant", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Determinant". MathWorld. 
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Matrices and determinants", Arsip Sejarah Matematika MacTutor, Universitas St Andrews .
• Determinant Interactive Program and Tutorial
• Linear algebra: determinants. Diarsipkan 2008-12-04 di Wayback Machine. Compute determinants of matrices up to order 6 using Laplace expansion you choose.
• Determinant Calculator Calculator for matrix determinants, up to the 8th order.
• Matrices and Linear Algebra on the Earliest Uses Pages
• Determinants explained in an easy fashion in the 4th chapter as a part of a Linear Algebra course.

Història dels determinants

Els determinants van ser introduïts a Occident a partir del Templat:Segle. Aquesta iniciativa es produí molt abans que les matrius, que no apareixen fins al Templat:Segle. Convé recordar que els xinesos van ser els primers a utilitzar taules de nombres i a aplicar un algorisme ara conegut sota el nom de procediment d'eliminació de Gauss-Jordan.

Primers càlculs de determinants

Tot i que se'n pot trobar algun antecedent remot en l'obra de Yang Hui (Xina, Templat:Segle), en el seu sentit original, el determinant "determina" la unicitat de la solució d'un sistema d'equacions lineals. Va ser introduït en el cas de la dimensió 2 per Cardan l'any 1545 en la seva obra Ars magna, en forma d'una "regla" per a la resolució de sistemes de dues equacions amb dues incògnites. Aquesta primera fórmula porta el nom de regula de modo.

El japonès Kowa Seki introdueix els primers determinants de dimensió 3 i 4, a la mateixa època que l'alemany Leibniz

L'aparició dels determinants de dimensió superior tardarà encara més de cent anys. Curiosament el japonès Kowa Seki i l'alemany Leibniz en van donar els primers exemples de manera gairebé simultània.

Leibniz estudia nombrosos sistemes d'equacions lineals. En absència de notació matricial, representa els coeficients desconeguts amb una parella d'índex: escriu així ij per a a_{i, j}. El 1678, s'interessa per un sistema de tres equacions i tres incògnites i dona, sobre aquest exemple, la fórmula de desenvolupament seguint una columna. El mateix any, escriu un determinant de dimensió 4. Leibniz no publica aquests treballs, que semblen haver estat oblidat abans que els resultats siguin descoberts independentment cinquanta anys més tard.

Al mateix període, Kowa Seki publica un manuscrit sobre els determinants, on troba una formulació general difícil d'interpretar. Sembla donar fórmules correctes per a determinants de dimensió 3 i 4, i els signes erronis per als determinants de dimensió superior. El descobriment quedarà sense continuïtat, a causa de l'aïllament del Japó amb el món exterior.

Determinants d'una dimensió qualsevol

El 1748, un tractat d'àlgebra pòstuma de MacLaurin rellança la teoria dels determinants, amb l'escriptura correcta de la solució d'un sistema de quatre equacions i quatre incògnites.

El 1750, Cramer formula les regles que permeten resoldre un sistema de n equacions i n incògnites, però sense donar-ne la demostració. Els mètodes de càlcul dels determinants són llavors delicats, ja que es fonamenten en la noció de permutacions parells i senars.

Els matemàtics s'apoderen d'aquest nou objecte, amb articles de Bézout el 1764 i de Vandermonde el 1771, sorprenentment sense obtenir el càlcul del determinant de la matriu de Vandermonde actual.Templat:Cita

El 1772, Laplace estableix les fórmules de recurrència que porten el seu nom. L'any següent, Lagrange descobreix la relació entre el càlcul dels determinants i dels volums.

Gauss utilitza per primera vegada la paraula «determinant», en els Disquisitiones arithmeticae el 1801. L'utilitza per al que qualifiquem avui de discriminant d'una quàdrica que és un cas particular del determinant modern. És igualment a prop d'obtenir el teorema sobre el determinant d'un producte.

Aparició de la noció moderna de determinant

Cauchy és el primer a fer servir la paraula determinant en el seu sentit modern. Es pot llegir al seu article de síntesi de més de vuitanta pàgines sobre la qüestió:Templat:Cita

Carl Gustav Jacob Jacobi

Representa una síntesi dels coneixements anteriors, així com de proposicions noves com el fet que l'aplicació transposada no modifica el determinant així com la fórmula del determinant d'un producte. Binet proposa igualment una demostració aquest mateix any. Més tard, Cauchy posa les bases de l'estudi de la reducció d'endomorfismes.

Publicant els seus tres tractats sobre els determinants el 1841 al journal de Crelle, Jacobi dona una verdadera notorietat a la noció. Per primera vegada, presenta mètodes de càlcul sistemàtics, sota forma algorítmica. Es fa igualment possible avaluar determinants de funcions amb el naixement del jacobià.

El quadre matricial és introduït pels treballs de Cayley i Sylvester. Cayley és igualment l'inventor de la notació dels determinants amb barres verticals; estableix la fórmula de càlcul de la inversa.

La teoria es completa amb l'estudi de determinants que tenen propietats de simetria particulars i amb la introducció del determinant en nous camps de les matemàtiques, com el wronskià per a les equacions diferencials lineals.

Primers exemples: àrees i volums

Els càlculs d'àrees i de volums en forma de determinants en espais euclidians apareixeran com casos particulars d'una noció més general de determinant. La lletra majúscula D (Det) es fa servir de vegades reservada per indicar-los.

Determinant de dos vectors en el pla euclidià

Figura 1. El determinant és l'àrea blava orientada.

Sigui P el pla euclidià amb l'orientació usual. El determinant dels vectors X i X ' ve donat per l'expressió analítica

$\det(X,X')={\begin{vmatrix}x&x'\\y&y'\end{vmatrix}}=xy'-yx'$

O, de forma equivalent, per l'expressió geomètrica

$\det(X,X')=\|X\|\cdot \|X'\|\cdot \sin \theta$

En la qual $\theta$ és l'angle orientat format pels vectors X i X '.

Propietats

• el valor absolut del determinant és igual a l'àrea del paral·lelogram definit per X i X ' (($X\sin \theta$ és en efecte l'alçada del paral·lelogram, d'on A = Base*Altura).
• el determinant és nul si i només si els dos vectors són col·lineals (el paral·lelogram es fa una línia).

En efecte aquesta anul·lació apareix com un senzill test de proporcionalitat dels components dels vectors pel producte vectorial.

• El seu signe és estrictament positiu si i només si la mesura de l'angle (X, X ') és compresa en ]0,$\pi$[.
• l'aplicació determinant és bilineal: la linearitat respecte al primer vector s'escriu

$\det(aX+bY,X')=a\det(X,X')+b\det(Y,X')\;$

i respecte al segon vector s'escriu

$\det(X,aX'+bY')=a\det(X,X')+b\det(X,Y')\;$

Figura 2. Suma de les àrees de dos paral·lelograms adjacents. Fixeu-vos que tots els vectors estan en el mateix pla, no es tracta d'una figura tridimensional, altament l'afirmació no seria certa ni el valor de les àrees seria el que dona el determinant

La figura, en el pla, il·lustra un cas particular d'aquesta fórmula. Representa dos paral·lelograms adjacents, l'un definit pels vectors u i v (en verd), l'altre pels vectors u' i v (en blau). És fàcil visualitzar sobre aquest exemple l'àrea del paral·lelogram definit pels vectors u+u' i v (en gris): és igual a la suma de les àrees dels dos paral·lelograms precedents, a la qual es treu l'àrea d'un triangle, i s'afegeix l'àrea d'un altre triangle igual. Els dos triangles es corresponen per translació, es verifica la fórmula següent Det(u+u', v)=Det(u, v)+Det(u', v).

Aquest dibuix correspon a un cas particular de la fórmula de bilinealitat, ja que les orientacions han estat escollides per tal que les àrees tinguin el mateix signe, però ajuda a entendre el significat geomètric.

Generalització

És possible definir la noció de determinant en un pla euclidià orientat proveït d'una base ortonormal directa B, utilitzant les coordenades dels vectors en aquesta base. El càlcul del determinant dona el mateix resultat independentment de quina sigui la base ortonormal directa escollida per al càlcul.

Determinant de tres vectors en l'espai euclidià

Sigui E l'espai euclidià amb l'orientació usual de dimensió 3. El determinant de tres vectors d'E ve donat per

$\det(X,X',X'')={\begin{vmatrix}x&x'&x''\\y&y'&y''\\z&z'&z''\end{vmatrix}}=x{\begin{vmatrix}y'&y''\\z'&z''\end{vmatrix}}-x'{\begin{vmatrix}y&y''\\z&z''\end{vmatrix}}+x''{\begin{vmatrix}y&y'\\z&z'\end{vmatrix}}=xy'z''+x'y''z+x''yz'-xy''z'-x'yz''-x''y'z.$

Figura 3. Il·lustració gràfica de la trilinealitat

Aquest determinant també porta el nom de producte mixt.

Propietats

• el valor absolut del determinant és igual al volum del paral·lelepípede definit pels tres vectors.
• el determinant és nul si i només si els tres vectors estan continguts en un mateix pla (paral·lelepípede «pla»)
• L'aplicació determinant és trilineal:

$\det(aX+bY,X',X'')=a\det(X,X',X'')+b\det(Y,X',X'')\,$

Una il·lustració geomètrica d'aquesta propietat es dona a la figura 3, per dos paral·lelepípedes adjacents, és a dir posseint una cara comuna. La igualtat següent esdevé intuïtiva

$\det(u+u',v,w)=\det(u,v,w)+\det(u',v,w)\,$

Interpretació del signe del determinant: orientació

En el pla, el signe del determinant s'interpreta com el signe de l'angle orientat.

En l'espai a tres dimensions, el cub unitat serveix de referència. El seu determinant val un. Un paral·lelepípede no pla posseeix un determinant positiu si és possible obtenir-lo deformant contínuament (sense aixafar-lo mai) el cubica unitat.

El determinant és en canvi negatiu si és necessari aplicar a més una simetria, és a dir si el cub unitat no pot ser obtingut més que deformant el paral·lelepípede, i després observant el resultat d'aquesta deformació en un mirall.

Figura 4. És possible passar del cub groc al paral·lelepípede verd per deformació continua. Això no és possible per al paral·lelepípede vermell que és la imatge especular del verd.

Plantejament intuïtiu del determinant d'una aplicació lineal

Una aplicació lineal és una aplicació que transforma les coordenades d'un vector de manera lineal. Per exemple en l'espai de dimensió 3, l'aplicació és lineal si les coordenades x, y i z d'un vector tenen per a imatge x', y' i z' amb:

${\begin{matrix}x'=ax+by+cz\\y'=dx+ey+fz\\z'=gx+hy+iz\end{matrix}}$

on a, b,c..., i són nombres. La figura següent il·lustra dos casos d'aplicacions lineals.

En el primer cas, el cub groc és transformat en un paral·lelepípede il·lustrat en verd. En el segon cas, el cub groc és transformat en un volum aixafat, un quadrat vermell (és a dir que alguns dels vèrtexs del cub inicial tenen la mateixa imatge per l'aplicació lineal). Aquests dos casos corresponen a situacions diferents en matemàtiques. La primera funció del determinant és de subministrar un mitjà de separar aquests casos.

Figura 5. Exemple d'aplicacions lineals: La primera transforma el cub groc en un volum verd la segona en un volum aixafat vermell.

Per ser més precís, el determinant d'una aplicació lineal és un nombre, que representa un factor multiplicatiu per als volums. Si el cub groc és de volum 1, llavors el volum de la imatge del cub verd és el valor absolut del determinant de la primera aplicació. La segona aplicació té un determinant nul, el que correspon a un aixafament dels volums.

El signe del determinant és positiu si és possible deformar contínuament el cub groc per obtenir el verd. En canvi és negatiu si és necessari aplicar-hi a més una simetria.

De fet aquesta propietat no és verdadera només per al cub unitat groc. Tot volum transformat per una aplicació lineal resulta multiplicat pel valor absolut del determinant.

El determinant existeix per a les aplicacions lineals d'un espai en si mateix fins i tot en el cas de més de tres dimensions, sempre que es tracti d'un nombre finit de dimensions. En efecte, la noció de volum pot ser generalitzada: així un «hipercub» que tingui les seves arestes de longitud 2 en un espai euclidià de dimensió n tindria un determinant (mena de «hipervolum») de 2ⁿ. Per contra si l'espai conté una infinitat de dimensions, llavors el determinant no té sentit.

Marc d'utilització

Determinant i equacions lineals

Existeix un cas de càlcul numèric molt freqüent per als enginyers, els físics o els economistes. Es tracta de la resolució d'un sistema d'equacions lineals. Si el sistema posseeix tantes equacions com variables, es pot esperar l'existència i la unicitat d'una solució. Però no és sempre el cas, per exemple en cas de repetició de la mateixa equació, hi haurà una multiplicitat de solucions.

Més precisament, en un sistema de n equacions i n incògnites es pot associar un determinant. L'existència i la unicitat de la solució s'obté si i només si el determinant és diferent de 0. És possible, no només de garantir l'existència i la unicitat de la solució, sinó que la regla de Cramer permet un càlcul exacte de la solució amb l'ajuda de determinants. Aquest mètode no és ni el més ràpid, ni el més senzill, es fa servir poc per als càlculs explícits, no obstant això és útil per establir certs resultats teòrics, tal com la dependència respecte als paràmetres.

Relació amb l'aixafament dels volums

Un sistema de 3 equacions lineals amb 3 incògnites pot ser posat en forma d'una equació lineal u(X)=B on X=(x, y,z) és un vector, els components del qual són les incògnites del sistema, u una aplicació lineal de l'espai i B un vector. La resolució del sistema pot ser formulada de manera geomètrica: el vector B és la imatge d'un cert vector X per u? Aquest últim és únic ? El determinant de u dona la resposta: l'existència i la unicitat s'obtenen si i només si no és nul.

La figura 5 permet un enfocament intuïtiu d'aquest resultat. N'hi ha prou amb considerar una pavimentació de l'espai amb el cub groc i les seves imatges per translacions segons les tres direccions. Una família de cubs grocs adjacents omplen llavors tot l'espai.

• Si el determinant no és nul, llavors la imatge d'aquest paviment és un paviment de paral·lelepípedes de color verd, omplint igualment tot l'espai. Això significa que tots els vectors de l'espai són vectors imatges. Sobretot, la incògnita està ben recoberta per un dels volums verds. És imatge d'un vector.
• Per contra, si el determinant és nul, llavors la imatge del paviment no omple l'espai sencer. En l'exemple del cub aixafat vermell, no omple més que un pla. Certs vectors mai no són imatge de cap vector, altres són la imatge de diversos vectors alhora.

Més generalment, per a un sistema de n equacions i n incògnites, el determinant indica si les imatges per u omplen l'espai sencer o només un subespai.

Determinant i reducció

Les aplicacions lineals apareixen no només en geometria elemental sinó també en nombrosos àmbits avançats com certes resolucions d'equacions diferencials, la definició d'algoritmes ràpids o la resolució de problemes teòrics. És important comprendre el seu comportament.

Una eina d'anàlisi fecunda consisteix a catalogar els eixos privilegiats, segons els quals l'aplicació es comporta com una dilatació, multiplicant les longituds dels vectors per una de constant. Aquesta relació de dilatació es diu valor propi i els vectors als quals s'aplica vectors propis.

El fenomen d'aixafament dels volums pot ser mesurat per un determinant. Correspon en cas que, segons una certa direcció, els vectors són multiplicats per una relació de dilatació igual a 0 (valor propi nul). Més generalment, tots els valors propis poden ser obtinguts pel càlcul d'un determinant a paràmetre, dit polinomi característic.

Determinant i integral múltiple

Figura. 6. Jacobià.

Tal com mostra l'enfocament intuïtiu, el determinant caracteritza la modificació de volum d'un paral·lelepípede per un endomorfisme. La integral múltiple és una eina de determinació dels volums en el cas general. Utilitza la noció de determinant en el marc del canvi de variables. Llavors el determinant pren el nom de jacobià. Pot ser imaginat com la relació dels volums elementals abans i després de canvi de variables, usant la terminologia dels elements diferencials.

Més precisament, el comportament d'una aplicació diferenciable a l'entorn d'un punt és en primer ordre, equivalent al terme de modificació de volum, d'una aplicació lineal que té com a determinant el jacobià.

Determinant i esmorteïment en les equacions diferencials

Figura 7. Exemple del pèndol de longitud variable, sense esmorteïment. En blau i en vermell es representen dues solucions particulars, en l'espai de les fases. L'àrea formada per les dues solucions continua sent constant en el transcurs del temps

En física, sobretot en mecànica del punt, és freqüent l'equació diferencial lineal d'ordre dos Es presenta sota la forma $y''=ay'+by+c$ on a,b,c poden ser coeficients constants o més generalment funcions (per exemple del temps). El terme $a$ es diu factor d'esmorteïment.

Aquesta equació diferencial s'associa a un determinant, dit wronskià. S'interpreta com una àrea en el pla (y, y') dit espai de les fases pels físics. Aquesta àrea continua sent constant en el transcurs del temps si el terme d'esmorteïment és nul, disminueix de manera exponencial si és estrictament positiu. Encara que no sempre és possible presentar una solució explícita, el wronskià sempre és calculable.

El wronskià pot ser generalitzat a totes les equacions diferencials lineals.

Propietats

Tret d'efectuar la tria d'una base, és possible enunciar aquestes propietats al marc matricial.

Caràcter n - lineal alternat

L'aplicació determinant sobre les famílies de vectors és una forma multilineal alternada. Utilitzar aquesta propietat sobre una matriu demana d'expressar el sistema de vectors columnes, o de vectors línies. Per exemple si la matriu A admet per a columnes C₁, ..., C_n amb C_i de la forma C_i=aC '_i+C ' '_i

$\det(C_{1},C_{2},\dots ,aC'_{i}+C''_{i},\dots ,C_{n})=a\cdot \det(C_{1},\dots ,C'_{i},\dots ,C_{n})+\det(C_{1},C_{2},\dots ,C''_{i},\dots ,C_{n})\,$

Una propietat important del determinant és que al intercanviar dues columnes el determinant queda multiplicat per -1.Templat:Caixa desplegableHeus aquí l'efecte de les operacions elementals sobre les columnes de la matriu

• multiplicar una columna per a, implica la multiplicació del determinant pel mateix valor
• intercanviar dues columnes, implica la multiplicació del determinant per -1
• afegir en una columna una combinació lineal de les altres columnes no modifica el determinant.

Si totes les columnes són multiplicades per a, el resultat és una multiplicació per aⁿ del determinant

$\det(a\times M)=a^{n}\times \det {M}$

Per contra, no existeix cap fórmula senzilla per expressar el determinant de la suma A+B de dues matrius. En efecte, aplicar la multilinearitat respecte a les columnes demana d'escriure les columnes de la suma com a A_i+B_i, després d'aplicar n vegades la propietat de linearitat. Finalment, el determinant de A+B s'escindeix en una suma de 2ⁿ determinants híbrids det(A₁, A₂, B₃, A₄,..., B_n), formats d'un cert nombre de columnes de A i de B. És possible efectuar igualment operacions elementals sobre les files, que tenen les mateixes propietats que les operacions sobre les columnes. Operar sobre les files seguint la tècnica del pivot de Gauss dona un mètode sistemàtic càlcul dels determinants; és el mètode més eficaç per regla general.

Propietats de morfisme i d'anul·lació

Cas d'anul·lació dels determinants:

• el determinant d'un sistema de n vectors és nul si i només si aquest sistema és linealment dependent (i això és vàlid sigui quina sigui la base de referència)
• el determinant d'una matriu (o d'un endomorfisme) és nul si i només si aquesta matriu (o endomorfisme) és no invertible.

Aquestes propietats expliquen el paper essencial que poden jugar els determinants en àlgebra lineal. Constitueixen una eina fonamental per provar que una família de vectors és una base.Templat:Caixa desplegablePropietat de morfisme:

• $\det(M\times N)=\det {M}\times \det {N}$
• així si M és invertible llavors $\det {M^{-1}}=(\det {M})^{-1}\,$
• i el determinant és un morfisme de grups de $(M_{n}(K),\times )$ en $(K,\times )$

Templat:Caixa desplegableExisteix una generalització de la fórmula de determinant d'un producte per al cas de dues matrius rectangulars: és la fórmula de Binet-Cauchy.

Adjunts i fórmula de recurrència

Templat:Article principal Sigui A una matriu quadrada de dimensió n, i A(x) la matriu que té els mateixos coeficients que A, excepte el terme d'índex i, j que val a_{i, j}+x (és la modificació d'un dels coeficients de la matriu, tota la resta es conserva igual). Per la fórmula de linearitat per a la j - èsima columna, és possible establir

$\det A(x)=\det A+x(-1)^{i+j}{\begin{vmatrix}a_{1,1}&\dots &a_{1,j-1}&a_{1,j+1}&\dots &a_{1,n}\\\vdots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{i-1,1}&\dots &a_{i-1,j-1}&a_{i-1,j+1}&\dots &a_{i-1,n}\\a_{i+1,1}&\dots &a_{i+1,j-1}&a_{i+1,j+1}&\dots &a_{i+1,n}\\\vdots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{n,1}&\dots &a_{n,j-1}&a_{n,j+1}&\dots &a_{n,n}\end{vmatrix}}=\det A+x{\rm {Cof}}_{i,j}$

El terme escrit Cof_{i, j} es diu l'adjunt d'índex i, j. Es calcula de la manera següent: Escrivint M(i;j) determinant de la submatriu deduïda de M per supressió la línia i i la columna j, adjunt és (-1)^i+j vegades M(i;j). Admet les interpretacions següents

• multiplicant per x el coeficient d'índex i, j de la matriu (conservant tota la resta igual) torna a resultar l'augment del determinant de x vegades l'adjunt corresponent
• l'adjunt és la derivada del determinant de la matriu A(x)

Fórmules de Laplace

Pierre-Simon Laplace

Si n>1 i A és una matriu quadrada de dimensió n llavors és possible de calcular el seu determinant en funció dels coeficients d'una sola columna i dels adjunts corresponents. Aquesta fórmula, anomenada fórmula de Laplace, permet transformar el càlcul del determinant a n càlculs de determinants de dimensió n-1.

• Fórmula de desenvolupament respecte a la columna j

$\det {A}=\sum _{i=1}^{n}a_{i;j}{\rm {Cof}}_{i,j}$

• Es pot donar igualment una fórmula de desenvolupament respecte a la fila i

$\det {A}=\sum _{j=1}^{n}a_{i;j}{\rm {Cof}}_{i,j}$

Matriu adjunta i càlcul de la inversa

La matriu d'adjunts de A, o comatriu de A és la matriu constituïda pels adjunts de A. Generalitza les fórmules de desenvolupament del determinant respecte a les files o columnes

$A\times {}^{t}{{\rm {com}}A}={}^{t}{{\rm {com}}A}\times A=\det {A}\times I_{n}$

La matriu transposada de la matriu d'adjunts es diu matriu complementària de A. Si A és invertible, la inversa de A és un múltiple de la matriu complementària. Aquest enfocament ofereix una fórmula de la matriu inversa, que no requereix res més que càlculs de determinants

$A^{-1}={\frac {1}{\det A}}\,{}^{t}{{\rm {com}}A}$

Variacions de la funció determinant

La fórmula de Leibniz mostra que el determinant d'una matriu A s'expressa com a sumes i productes de components de A. No és doncs sorprenent que el determinant tingui bones propietats de regularitat.

Determinant dependent d'un paràmetre

Si $t\mapsto A(t)$ és una funció de classe ${\mathcal {C}}^{k}$ amb valors a les matrius quadrades d'ordre n, llavors $t\mapsto \det A(t)$ és igualment de classe ${\mathcal {C}}^{k}$.

La fórmula de derivació s'obté fent intervenir les columnes de A

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left(\det(A_{1}(t),\dots ,A_{n}(t))\right)=\sum _{i=1}^{n}\det(A_{1}(t),\dots ,A_{i-1}(t),A'_{i}(t),A_{i+1}(t),\dots ,A_{n}(t))$

Aquesta fórmula és formalment anàloga a la derivada d'un producte de n funcions numèriques.

Aplicació determinant sobre l'espai matrius

• L'aplicació que a la matriu A li associa el seu determinant és contínua.

Aquesta propietat presenta conseqüències topològiques interessants: així el grup GL_n ($\mathbb {R}$) és un obert, el subgrup SL_n($\mathbb {R}$) és un tancat.

• Aquesta aplicació és derivable i fins i tot ${\mathcal {C}}^{\infty }$.

El desenvolupament en sèrie de Taylor limitat al primer terme del determinant a l'entorn de A s'escriu

$\det(A+H)=\det A+{\rm {tr}}({}^{t}{\rm {Com}}(A).H)+o(\|H\|)$

És a dir que en M_n($\mathbb {R}$) proveït del seu producte escalar canònic, la matriu d'adjunts s'interpreta com el gradient de l'aplicació determinant

$\nabla \det(A)={\rm {Com}}(A)$

Per al cas on A és la identitat

$\det(I+H)=1+{\rm {tr}}(H)+o(\|H\|)\qquad \nabla \det(I)=I$

El caràcter derivable permet afirmar que GL_n($\mathbb {R}$) és un grup de Lie.

• És també el polinomi que fa de GL_n($\mathbb {R}$) una varietat algebraica.

Aquestes fórmules porten de vegades el nom d'identitats de Jacobi. S'expliquen a l'article matriu d'adjunts.

Generalització als espais vectorials sobre altres cossos i en els mòduls

Les diferents definicions i propietats de la teoria dels determinants s'escriuen de manera idèntica en el marc dels espais vectorials complexos i de les matrius de coeficients complexos. El mateix sobre tot cos commutatiu, excepte per al paràgraf «variacions de la funció determinant» que llavors no té sentit.

Quasi la totalitat de la teoria dels determinants encara pot ser estesa a les matrius a coeficients en un anell commutatiu A i amb els mòduls de dimensió finita sobre A. L'únic punt de divergència és la caracterització de l'anul·lació dels determinants.

Així una matriu de coeficients en un anell commutatiu A és invertible si i només si el seu determinant és invertible a A.

La qüestió de l'algoritme de càlcul del determinant s'ha de reprendre. En efecte, el mètode del pivot de Gauss demana d'efectuar divisions, el que no és possible a l'anell A mateix. Les fórmules de Leibniz o de Laplace permeten fer un càlcul sense divisió, però continuen sent molt costoses en temps de còmput. Existeixen algoritmes més raonables, en els quals el temps d'execució és d'ordre n⁴; sobretot, l'algoritme del pivot Gauss s'adapta en el cas d'un anell euclidià, aquesta adaptació és descrita a l'article sobre el teorema dels factors invariants. El lloc web de la universitat lliure de Berlín proposa un document de referència sobre la qüestió dels algoritmes sense divisió '(Inggris)'.

Bibliografia

• Templat:Ref-llibre
• Templat:Ref-llibre
• Henri Cartan. Cours de calcul différentiel, París, Hermann, 1977
• Templat:Ref-llibre

Vegeu també

• Matriu d'adjunts
• Teorema del determinant de Sylvester
• Polinomi característic
• Regla de Cramer
• Wronskià
• Jacobià
• Producte vectorial
• Determinant de Slater

Enllaços externs

• Les matemàtiques de secundària, aplicacions lineals per Xavier Hubaut
• Un càlcul en línia de determinants en anglès Diarsipkan 2008-12-12 di Wayback Machine.
• Un lloc web en anglès sobre la història de les matrius i dels determinants Diarsipkan 2015-03-08 di Wayback Machine.