Aljabar von Neumann

Dalam matematika, aljabar von Neumann atau aljabar-W* adalah aljabar-* dari operator terikat pada ruang Hilbert yaitu tertutup dalam topologi operator lemah dan berisi operator identitas. Ini adalah tipe khusus dari aljabar-C*.

Aljabar Von Neumann awalnya diperkenalkan oleh John von Neumann, termotivasi oleh studinya tentang operator tunggal, representasi grup, teori ergodik dan mekanika kuantum. Teorema komutan ganda menunjukkan bahwa definisi analitik sama dengan definisi murni aljabar.

Dua contoh dasar von Neumann aljabar adalah sebagai berikut:

Gelanggang $L^{\infty }(\mathbb {R} )$ dari dasar hingga fungsi terukur pada garis riil adalah aljabar von Neumann komutatif, yang elemennya bertindak sebagai operator perkalian dengan perkalian runcing di ruang Hilbert $L^{2}(\mathbb {R} )$ dari fungsi integral persegi.
Aljabar ${\mathcal {B}}({\mathcal {H}})$ dari semua operator terbatas di ruang Hilbert ${\mathcal {H}}$ adalah aljabar von Neumann, non-komutatif jika ruang Hilbert memiliki dimensi minimal $2$ .

Von Neumann algebras pertama kali dipelajari oleh (von Neumann 1930) pada tahun 1929; dia dan Francis Murray mengembangkan teori dasar, dengan nama asli gelanggang operator, dalam serangkaian makalah yang ditulis pada tahun 1930-an dan 1940-an (F.J. Murray & J. von Neumann 1936, 1937, 1943; J. von Neumann 1938, 1940, 1943, 1949), reprinted in the collected works of (von Neumann 1961).

Catatan pengantar von Neumann algebras diberikan dalam catatan online dari (Jones 2003) dan (Wassermann 1991) dan buku oleh (Dixmier 1981), (Schwartz 1967), (Blackadar 2005) dan (Sakai 1971). Tiga volume (Takesaki 1979) memberikan penjelasan ensiklopedis tentang teori tersebut. Buku oleh (Connes 1994) membahas topik yang lebih lanjut.

Definisi

Ada tiga cara umum untuk mendefinisikan aljabar von Neumann.

Cara pertama dan paling umum adalah mendefinisikannya sebagai tertutup lemah aljabar-* dari operator terikat (pada ruang Hilbert) yang berisi identitas. Dalam definisi ini topologi (operator) lemah dapat diganti dengan banyak topologi umum termasuk kekuatan, ultra kekuatan atau ultra rendah topologi operator. Aljabar-* dari operator terikat yang tertutup dalam topologi norma adalah aljabar-C*, jadi khususnya setiap aljabar von Neumann adalah aljabar-C*.

Definisi kedua adalah bahwa aljabar von Neumann adalah himpunan bagian dari operator terikat yang ditutup di bawah involusi (operasi-*) dan sama dengan komutan ganda, atau sama dengan komutan dari beberapa subset ditutup di bawah *. Teorema komutan ganda von Neumann (von Neumann 1930) mengatakan bahwa dua definisi pertama adalah setara.

Dua definisi pertama menjelaskan aljabar von Neumann secara konkret sebagai sekumpulan operator yang bekerja pada beberapa ruang. (Sakai 1971) menunjukkan bahwa von Neumann algebras juga dapat didefinisikan secara abstrak sebagai C*-aljabar yang memiliki predual; dengan kata lain, aljabar von Neumann, yang dianggap sebagai ruang Banach, adalah rangkap dari beberapa ruang Banach lainnya yang disebut predual. Predual aljabar von Neumann pada kenyataannya unik untuk isomorfisme. Beberapa penulis menggunakan "von Neumann aljabar" untuk aljabar bersama dengan gerak ruang Hilbert, dan "W*-aljabar" untuk konsep abstrak, jadi aljabar von Neumann adalah aljabar-W* bersama dengan ruang Hilbert dan aksi unital setia yang sesuai di ruang Hilbert. Definisi konkret dan abstrak dari aljabar von Neumann dengan definisi konkret dan abstrak aljabar-C*, yang dapat didefinisikan baik sebagai norma-tertutup *-aljabar operator pada ruang Hilbert, atau sebagai Banach *-aljabar maka ||aa*||=||a|| ||a*||.

Istilah

Beberapa terminologi dalam teori aljabar von Neumann dapat membingungkan, dan istilah tersebut sering kali memiliki arti berbeda di luar subjek.

Faktor adalah aljabar von Neumann dengan pusat trivial, yaitu pusat yang hanya terdiri dari operator skalar.
hingga aljabar von Neumann adalah salah satu yang merupakan integral langsung faktor hingga (artinya aljabar von Neumann memiliki trasial norma τ: M → ℂ, lihat http://perso.ens-lyon.fr/gaboriau/evenements/IHP-trimester/IHP-CIRM/Notes=Cyril=finite-vonNeumann.pdf). Maka, aljabar von Neumann adalah integral langsung dari faktor-faktor tak hingga benar.
Aljabar von Neumann pada ruang Hilbert seperabel. Perhatikan bahwa aljabar dipisahkan dalam topologi norma.
Aljabar von Neumann dihasilkan oleh sekumpulan operator berbatas pada ruang Hilbert adalah aljabar von Neumann terkecil yang berisi semua operator tersebut.
Perkalian tensor dari dua aljabar von Neumann pada dua ruang Hilbert didefinisikan sebagai aljabar von Neumann yang dihasilkan oleh perkalian tensor aljabar mereka, dianggap sebagai operator pada produk tensor ruang Hilbert dari ruang Hilbert.

Aljabar Komutatif von Neumann

Hubungan antara komutatif von Neumann aljabar dan ruang ukur s sama dengan hubungan antara komutatif C * -aljabar s dan kompleks lokal ruang Hausdorff. Aljabar von Neumann komutatif isomorfik terhadap L^∞(X) untuk beberapa ruang ukur ( X , μ) dan sebaliknya, untuk setiap ruang ukur σ-hingga X , * -aljabar L^∞(X) adalah aljabar von Neumann.

Karena analogi ini, teori von Neumann algebras disebut teori ukuran nonkomutatif, sedangkan teori aljabar-C* terkadang disebut topologi nonkomutatif (Connes 1994).

Produk Tensor dari von Neumann algebras

Hasil perkalian tensor ruang Hilbert dari dua ruang Hilbert adalah penyelesaian perkalian tensor aljabar. Seseorang dapat mendefinisikan perkalian tensor von Neumann aljabar (penyelesaian perkalian tensor aljabar dari aljabar yang dianggap sebagai gelanggang), yang juga merupakan aljabar von Neumann, dan bekerja pada hasil kali tensor ruang Hilbert. Hasil kali tensor dari dua aljabar berhingga adalah berhingga, dan hasil perkalian tensor dari aljabar tak hingga dan aljabar bukan nol adalah tak hingga. Jenis hasilkali tensor dua von Neumann aljabar (I, II, atau III) adalah jenis maksimumnya. Teorema pergantian untuk produk tensor menyatakan bahwa

(M\otimes N)^{\prime }=M^{\prime }\otimes N^{\prime },

di mana M ′ menunjukkan komutan dari M .

Sebagai gantinya (von Neumann 1938) menunjukkan bahwa seseorang harus memilih keadaan pada setiap aljabar von Neumann, gunakan ini untuk mendefinisikan keadaan pada perkalian tensor aljabar, yang dapat digunakan untuk menghasilkan ruang Hilbert dan aljabar von Neumann (cukup kecil). (Araki & Woods 1968) mempelajari kasus di mana semua faktor adalah aljabar matriks hingga; faktor-faktor ini disebut faktor Araki-Woods atau faktor ITPFI (ITPFI adalah singkatan dari "produk tensor tak terbatas tipe I hingga). Jenis produk tensor tak hingga dapat bervariasi secara dramatis seiring perubahan status; misalnya, hasil kali tensor tak hingga dari jenis bilangan tak hingga I₂ faktor dapat memiliki tipe apa pun tergantung pada pilihan negara bagian. Khususnya (Powers 1967) tak terhitung jenis hiperfinit non-isomorfik III_λ faktor untuk 0 <λ <1, disebut Faktor kekuatan, dengan mengambil hasil kali tensor tak hingga faktor tipe I₂, masing-masing dengan keadaan yang diberikan oleh:

x\mapsto {\rm {Tr}}{\begin{pmatrix}{1 \over \lambda +1}&0\\0&{\lambda  \over \lambda +1}\\\end{pmatrix}}x.

Semua aljabar von Neumann hiperfinit bukan tipe III₀ isomorfik terhadap faktor Araki–Woods, tetapi ada banyak tipe III₀ yang tidak bisa dihitung.

Aplikasi

Von Neumann aljabar telah menemukan aplikasi di berbagai bidang matematika seperti teori simpul, mekanika statistik, Teori medan kuantum, Fisika kuantum lokal, Probabilitas bebas, geometri nonkomunikasi, teori representasi, geometri, dan probabilitas.

Misalnya, aljabar-C* memberikan aksiomatisasi alternatif untuk teori probabilitas. Dalam hal ini metode tersebut menggunakan nama Konstruksi Gelfand–Naimark– lSegal. Ini sejalan dengan dua pendekatan untuk mengukur dan integrasi, di mana seseorang memiliki pilihan untuk membangun ukuran dari himpunan terlebih dahulu dan kemudian mendefinisikan integralnya, atau buat integral dulu dan tentukan ukuran himpunan sebagai integral dari fungsi karakteristik.

Lihat pula

Aljabar-AW*

Referensi

Araki, H.; Woods, E. J. (1968), "A classification of factors", Publ. Res. Inst. Math. Sci. Ser. A, 4 (1): 51–130, doi:10.2977/prims/1195195263  MR 0244773
Blackadar, B. (2005), Operator algebras, Springer, ISBN 3-540-28486-9 , corrected manuscript (PDF), 2013, diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2017-02-15, diakses tanggal 2021-01-12
Connes, A. (1976), "Classification of Injective Factors", Annals of Mathematics, Second Series, 104 (1): 73–115, doi:10.2307/1971057, JSTOR 1971057
Connes, A. (1994), Non-commutative geometry , Academic Press, ISBN 0-12-185860-X .
Dixmier, J. (1981), Von Neumann algebras, ISBN 0-444-86308-7 (A translation of Dixmier, J. (1957), Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien: algèbres de von Neumann, Gauthier-Villars , the first book about von Neumann algebras.)
Jones, V.F.R. (2003), von Neumann algebras (PDF) ; incomplete notes from a course.
Kostecki, R.P. (2013), W*-algebras and noncommutative integration, arXiv:1307.4818  , Bibcode:2013arXiv1307.4818P .
McDuff, Dusa (1969), "Uncountably many II₁ factors", Annals of Mathematics, Second Series, 90 (2): 372–377, doi:10.2307/1970730, JSTOR 1970730
Murray, F. J. (2006), "The rings of operators papers", The legacy of John von Neumann (Hempstead, NY, 1988), Proc. Sympos. Pure Math., 50, Providence, RI.: Amer. Math. Soc., hlm. 57–60, ISBN 0-8218-4219-6 A historical account of the discovery of von Neumann algebras.
Murray, F.J.; von Neumann, J. (1936), "On rings of operators", Annals of Mathematics, Second Series, 37 (1): 116–229, doi:10.2307/1968693, JSTOR 1968693 . This paper gives their basic properties and the division into types I, II, and III, and in particular finds factors not of type I.
Murray, F.J.; von Neumann, J. (1937), "On rings of operators II", Trans. Amer. Math. Soc., American Mathematical Society, 41 (2): 208–248, doi:10.2307/1989620  , JSTOR 1989620 . This is a continuation of the previous paper, that studies properties of the trace of a factor.
Murray, F.J.; von Neumann, J. (1943), "On rings of operators IV", Annals of Mathematics, Second Series, 44 (4): 716–808, doi:10.2307/1969107, JSTOR 1969107 . This studies when factors are isomorphic, and in particular shows that all approximately finite factors of type II₁ are isomorphic.
Powers, Robert T. (1967), "Representations of Uniformly Hyperfinite Algebras and Their Associated von Neumann Rings", Annals of Mathematics, Second Series, 86 (1): 138–171, doi:10.2307/1970364, JSTOR 1970364
Sakai, S. (1971), C*-algebras and W*-algebras, Springer, ISBN 3-540-63633-1
Schwartz, Jacob (1967), W-* Algebras, ISBN 0-677-00670-5
Shtern, A.I. (2001) [1994], "von Neumann algebra", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Takesaki, M. (1979), Theory of Operator Algebras I, II, III, ISBN 3-540-42248-X
von Neumann, J. (1930), "Zur Algebra der Funktionaloperationen und Theorie der normalen Operatoren", Math. Ann., 102 (1): 370–427, Bibcode:1930MatAn.102..685E, doi:10.1007/BF01782352 . The original paper on von Neumann algebras.
von Neumann, J. (1936), "On a Certain Topology for Rings of Operators", Annals of Mathematics, Second Series, 37 (1): 111–115, doi:10.2307/1968692, JSTOR 1968692 . This defines the ultrastrong topology.
von Neumann, J. (1938), "On infinite direct products", Compos. Math., 6: 1–77 . This discusses infinite tensor products of Hilbert spaces and the algebras acting on them.
von Neumann, J. (1940), "On rings of operators III", Annals of Mathematics, Second Series, 41 (1): 94–161, doi:10.2307/1968823, JSTOR 1968823 . This shows the existence of factors of type III.
von Neumann, J. (1943), "On Some Algebraical Properties of Operator Rings", Annals of Mathematics, Second Series, 44 (4): 709–715, doi:10.2307/1969106, JSTOR 1969106 . This shows that some apparently topological properties in von Neumann algebras can be defined purely algebraically.
von Neumann, J. (1949), "On Rings of Operators. Reduction Theory", Annals of Mathematics, Second Series, 50 (2): 401–485, doi:10.2307/1969463, JSTOR 1969463 . This discusses how to write a von Neumann algebra as a sum or integral of factors.
von Neumann, John (1961), Taub, A.H., ed., Collected Works, Volume III: Rings of Operators, NY: Pergamon Press . Reprints von Neumann's papers on von Neumann algebras.
Wassermann, A. J. (1991), Operators on Hilbert space