Kaidah rantai

Dalam kalkulus, kaidah rantai atau aturan rantai adalah rumus untuk turunan fungsi komposit (fungsi bersusun) dari dua fungsi matematika.

Secara intuitif, bila variabel y bergantung pada variabel kedua, u, yang pada gilirannya bergantung pada variabel ketiga, x, maka laju perubahan y terhadap x dapat dihitung sebagai laju perubahan y terhadap u dikalikan dengan laju perubahan u terhadap x. Ini dapat dituliskan sebagai

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}$

Aturan rantai dapat ditulis ulang dalam notasi Leibniz dengan cara berikut. Bila variabel z tergantung pada variabel y, yang bergantung pada variabelnya x (yaitu y dan z adalah variabel dependen), lalu z, melalui variabel perantara y, tergantung pada x demikian juga. Dalam hal ini, aturan rantai menyatakan bahwa:

${\frac {dz}{dx}}={\frac {dz}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}}.$

Lebih tepatnya, untuk menunjukkan titik setiap turunan evaluasi, $\left.{\frac {dz}{dx}}\right|_{x}=\left.{\frac {dz}{dy}}\right|_{y(x)}\cdot \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x}$.

Versi aturan rantai di Lagrange dan notasi Leibniz adalah setara, dalam arti bila $z=f(y)\!$ dan $y=g(x)\!$, seperti nilai $z=f(g(x))=(f\circ g)(x)$, maka

$\left.{\frac {dz}{dx}}\right|_{x}=(f\circ g)'(x)$

dan

$\left.{\frac {dz}{dy}}\right|_{y(x)}\cdot \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x}=f'(y(x))g'(x)=f'(g(x))g'(x).$

Secara intuitif, aturan rantai menyatakan bahwa mengetahui tingkat perubahan seketika z tergantung pada y dan dari y relative to x memungkinkan seseorang untuk menghitung tingkat perubahan seketika z tergantung pada x. Seperti yang dikemukakan oleh George F. Simmons: "Jika sebuah mobil melaju dua kali lebih cepat dari sepeda dan sepeda empat kali lebih cepat dari orang yang berjalan kaki, maka mobil tersebut berjalan 2 × 4 = 8 kali lebih cepat dari pria itu."

Dalam integrasi, pasangan dari aturan rantai adalah aturan substitusi.

Sejarah

Aturan rantai tampaknya pertama kali digunakan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz. Dia menggunakannya untuk menghitung turunan dari ${\sqrt {a+bz+cz^{2}}}$ sebagai gabungan dari fungsi akar kuadrat dan fungsi $a+bz+cz^{2}\!$. Dia pertama kali menyebutkannya dalam memoar 1676 (dengan kesalahan tanda dalam perhitungan). Notasi umum aturan rantai adalah karena Leibniz. Guillaume de l'Hôpital menggunakan aturan rantai secara implisit dalam miliknya Analyse des infiniment petits. Aturan rantai tidak muncul di buku analisis Leonhard Euler, meskipun mereka ditulis lebih dari seratus tahun setelah penemuan Leibniz.

Satu dimensi

Contoh pertama

Contohnya seorang penerjun payung melompat dari pesawat terbang. Asumsikan bahwa t detik setelah lompatannya, ketinggiannya di atas permukaan laut dalam meter diberikan oleh g(t) = 4000 − 4.9t². Satu model untuk tekanan atmosfer di ketinggian h is f(h) = 101325 e^−0.0001h. Kedua persamaan ini dapat dibedakan dan digabungkan dengan berbagai cara untuk menghasilkan data berikut:

• g′(t) = −9.8t adalah kecepatan skydiver pada saat itu t.
• f′(h) = −10.1325e^−0.0001h adalah laju perubahan tekanan atmosfer sehubungan dengan ketinggian di ketinggian h dan sebanding dengan gaya apung pada skydiver di h meters above sea level. (Gaya apung sebenarnya tergantung pada volume skydiver tersebut.)
• (f ∘ g)(t) adalah tekanan atmosfer yang dialami skydiver t detik setelah lompatannya.
• (f ∘ g)′(t) adalah laju perubahan tekanan atmosfer terhadap waktu di t detik setelah skydiver melompat, dan sebanding dengan gaya apung pada skydiver di t detik setelah lompatan.

Di sini, aturan rantai memberikan metode untuk menghitung (f ∘ g)′(t) istilah dari f′ dan g′. Meskipun selalu mungkin untuk secara langsung menerapkan definisi turunan untuk menghitung turunan fungsi komposit, ini biasanya sangat sulit. Kegunaan kaidah rantai adalah mengubah turunan yang rumit menjadi beberapa turunan mudah.

Kaidah rantai menyatakan bahwa, dalam kondisi yang sesuai,

$(f\circ g)'(t)=f'(g(t))\cdot g'(t).$

Dalam contoh ini sama dengan

$(f\circ g)'(t)={\big (}{\mathord {-}}10.1325e^{-0.0001(4000-4.9t^{2})}{\big )}\cdot {\big (}{\mathord {-}}9.8t{\big )}.$

Dalam pernyataan kaidah rantai, f dan g memainkan peran yang sedikit berbeda karena f' adalah evaluasi pada $g(t)\!$, sedangkan g' adalah evaluasi pada t. Karena hal ini diperlukan agar unit bekerja dengan benar.

Contohnya, kita ingin menghitung laju perubahan tekanan atmosfer sepuluh detik setelah skydiver melompat. Karena, (f ∘ g)′(10) dan memiliki satuan pascal per detik. Faktor g′(10) dalam kaidah rantai adalah kecepatan skydiver sepuluh detik setelah lompatannya, dan dinyatakan dalam meter per detik. $f'(g(10))\!$ adalah perubahan tekanan terhadap ketinggian di ketinggian g(10) dan dinyatakan dalam pascal per meter. Produk dari $f'(g(10))\!$ dan $g'(10)\!$ oleh karena itu memiliki satuan pascal per detik yang benar.

Di sini, perhatikan bahwa evaluasi tidak dapat dilakukan f di tempat lain. Contohnya, 10 dalam soal mewakili sepuluh detik, sedangkan ekspresi $f'(10)\!$ akan mewakili perubahan tekanan pada ketinggian sepuluh meter, yang tidak kami inginkan. Begitu pula saat g′(10) = −98 memiliki satuan meter per detik, ekspresi tersebut f′(g′(10)) akan mewakili perubahan tekanan pada ketinggian −98 meter, yang sekali lagi bukan yang kami inginkan. Namun, g(10) adalah 3020 meter di atas permukaan laut, ketinggian skydiver sepuluh detik setelah lompatannya, dan ini memiliki satuan yang benar untuk masukan f.

Pernyataan

Bentuk paling sederhana dari kaidah rantai adalah untuk fungsi bernilai riil dari satu variabel nyata. Karena hal ini menyatakan bahwa jika g adalah fungsi yang dapat dibedakan pada suatu titik c (yaitu turunan g′(c) ada) dan f adalah fungsi yang dapat dibedakan pada g(c), lalu fungsi komposit f ∘ g dibedakan di c, dan turunannya adalah

$(f\circ g)'(c)=f'(g(c))\cdot g'(c).$

Kaidah tersebut terkadang disingkat

$(f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'.$

Bila y = f(u) dan u = g(x), maka bentuk singkatan ini ditulis dalam notasi Leibniz sebagai:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.$

Poin-poin di mana turunan dari hasil evaluasi juga dapat dinyatakan secara eksplisit:

$\left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=c}=\left.{\frac {dy}{du}}\right|_{u=g(c)}\cdot \left.{\frac {du}{dx}}\right|_{x=c}.$

Membawa alasan yang sama lebih jauh, diberikan n fungsi $f_{1},\ldots ,f_{n}\!$ dengan fungsi komposit $f_{1}\circ (f_{2}\circ \cdots (f_{n-1}\circ f_{n}))\!$, bila masing-masing fungsi $f_{i}\!$ dapat dibedakan pada masukan langsungnya, maka fungsi komposit juga dapat dibedakan dengan penerapan Aturan Rantai yang berulang, di mana turunannya adalah (dalam notasi Leibniz):

${\frac {df_{1}}{dx}}={\frac {df_{1}}{df_{2}}}{\frac {df_{2}}{df_{3}}}\cdots {\frac {df_{n}}{dx}}.$

Contoh lebih lanjut

Tidak adanya rumus

Dimungkinkan untuk menerapkan kaidah rantai bahkan ketika tidak ada rumus untuk fungsi yang sedang dibedakan. Karena hal ini bisa terjadi jika turunannya diukur secara langsung. Contohnya sebuah mobil sedang mendaki gunung yang tinggi. Speedometer mobil mengukur kecepatannya secara langsung. Jika tingkat diketahui, laju pendakian dapat dihitung menggunakan trigonometri. Contohnya mobil sedang naik pada 2,5 km/h. Model standar untuk atmosfer bumi menyiratkan bahwa suhu turun sekitar 6,5 °C per kilometer naik (disebut tingkat selang waktu). Untuk mengetahui penurunan suhu per jam, kita dapat menerapkan aturan rantai. Biarkan fungsinya g(t) menjadi ketinggian mobil pada saat itu t, dan biarkan fungsinya f(h) menjadi suhu h kilometer di atas permukaan laut. f dan g tidak diketahui secara pasti: Contohnya, ketinggian tempat mobil mulai tidak diketahui dan suhu di gunung tidak diketahui. Namun, turunannya diketahui: f′ adalah −6,5 °C/km, dan g′ adalah 2,5 km/h. Kaidah rantai menyatakan bahwa turunan dari fungsi komposit adalah hasil kali dari turunan f dan turunan dari g. Karena ini adalah −6,5 °C/km ⋅ 2,5 km/h = −16,25 °C/j.

Salah satu alasan mengapa penghitungan ini dimungkinkan adalah karena f′ adalah fungsi konstan. Penjelasan yang lebih akurat tentang bagaimana suhu di dekat mobil bervariasi dari waktu ke waktu memerlukan model yang akurat tentang bagaimana suhu bervariasi pada ketinggian yang berbeda. Model ini mungkin tidak memiliki turunan konstan. Untuk menghitung perubahan suhu pada model seperti itu, perlu diketahui g dan bukan hanya g′, karena tanpa disadari g tidak mungkin mengetahui di mana harus mengevaluasi f′.

Komposit lebih dari dua fungsi

Kaidah rantai dapat diterapkan pada komposit lebih dari dua fungsi. Untuk mengambil turunan dari gabungan lebih dari dua fungsi, perhatikan bahwa gabungan dari f, g, dan h (dalam urutan itu) adalah gabungan dari f maka g ∘ h. Kaidah rantai menyatakan bahwa untuk menghitung turunan dari f ∘ g ∘ h, itu cukup untuk menghitung turunan dari f dan turunan dari g ∘ h. Turunan dari f dapat dihitung secara langsung, dan turunan dari g ∘ h dapat dihitung dengan menerapkan aturan rantai lagi.

Untuk konkretnya, pertimbangkan fungsinya

$y=e^{\sin(x^{2})}.$

Ini dapat diuraikan sebagai gabungan dari tiga fungsi:

${\begin{aligned}y&=f(u)=e^{u},\\[6pt]u&=g(v)=\sin v=\sin(x^{2}),\\[6pt]v&=h(x)=x^{2}.\end{aligned}}$

Turunannya adalah:

${\begin{aligned}{\frac {dy}{du}}&=f'(u)=e^{u}=e^{\sin(x^{2})},\\[6pt]{\frac {du}{dv}}&=g'(v)=\cos v=\cos(x^{2}),\\[6pt]{\frac {dv}{dx}}&=h'(x)=2x.\end{aligned}}$

Kaidah rantai menyatakan bahwa turunan komposit mereka pada titik x = a adalah:

${\begin{aligned}(f\circ g\circ h)'(a)&=f'((g\circ h)(a))\cdot (g\circ h)'(a)\\[10pt]&=f'((g\circ h)(a))\cdot g'(h(a))\cdot h'(a)=(f'\circ g\circ h)(a)\cdot (g'\circ h)(a)\cdot h'(a).\end{aligned}}$

Dalam notasi Leibniz, adalah:

${\frac {dy}{dx}}=\left.{\frac {dy}{du}}\right|_{u=g(h(a))}\cdot \left.{\frac {du}{dv}}\right|_{v=h(a)}\cdot \left.{\frac {dv}{dx}}\right|_{x=a},$

atau singkatnya,

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dv}}\cdot {\frac {dv}{dx}}.$

Oleh karena itu, fungsi turunannya adalah:

${\frac {dy}{dx}}=e^{\sin(x^{2})}\cdot \cos(x^{2})\cdot 2x.$

Cara lain untuk menghitung turunan ini adalah dengan melihat fungsi komposit f ∘ g ∘ h sebagai gabungan dari f ∘ g dan h. Menerapkan aturan rantai dengan cara ini akan menghasilkan:

$(f\circ g\circ h)'(a)=(f\circ g)'(h(a))\cdot h'(a)=f'(g(h(a)))\cdot g'(h(a))\cdot h'(a).$

sama dengan yang dihitung di atas. hal ini harus diharapkan karena (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h).

Terkadang, perlu untuk membedakan komposisi bentuk yang sangat panjang $f_{1}\circ f_{2}\circ \cdots \circ f_{n-1}\circ f_{n}\!$. Dalam kasus ini, definisikan

$f_{a\,.\,.\,b}=f_{a}\circ f_{a+1}\circ \cdots \circ f_{b-1}\circ f_{b}$

dimana $f_{a\,.\,.\,a}=f_{a}$ dan $f_{a\,.\,.\,b}(x)=x$ ketika $b<a$. Kemudian aturan rantai terbentuk

$Df_{1\,.\,.\,n}=(Df_{1}\circ f_{2\,.\,.\,n})(Df_{2}\circ f_{3\,.\,.\,n})\cdots (Df_{n-1}\circ f_{n\,.\,.\,n})Df_{n}=\prod _{k=1}^{n}\left[Df_{k}\circ f_{(k+1)\,.\,.\,n}\right]$

atau, dalam notasi Lagrange,

$f_{1\,.\,.\,n}'(x)=f_{1}'\left(f_{2\,.\,.\,n}(x)\right)\;f_{2}'\left(f_{3\,.\,.\,n}(x)\right)\cdots f_{n-1}'\left(f_{n\,.\,.\,n}(x)\right)\;f_{n}'(x)=\prod _{k=1}^{n}f_{k}'\left(f_{(k+1\,.\,.\,n)}(x)\right)$

Kaidah hasil bagi

Lihat pula: Kaidah hasil bagi

Kaidah rantai dapat digunakan untuk mendapatkan beberapa aturan diferensiasi yang terkenal. Contohnya, kaidah hasil bagi adalah konsekuensi dari aturan rantai dan aturan perkalian. Untuk melihat ini, tulis fungsinya f(x)/g(x) sebagai produk f(x) · 1/g(x). Pertama, terapkan kaidah hasil kali:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)&={\frac {d}{dx}}\left(f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}\right)\\&=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot {\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{g(x)}}\right).\end{aligned}}$

Untuk menghitung turunan 1/g(x), perhatikan bahwa itu adalah gabungan dari g dengan fungsi timbal balik, yaitu fungsi yang mengirim x to 1/x. Turunan dari fungsi timbal balik adalah $-1/x^{2}\!$. Dengan menerapkan aturan rantai, ekspresi terakhir menjadi:

$f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot \left(-{\frac {1}{g(x)^{2}}}\cdot g'(x)\right)={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}},$

yang merupakan rumus umum untuk aturan hasil bagi.

Turunan dari fungsi invers

Artikel utama: Fungsi dan diferensiasi invers

Turunan yang lebih tinggi

Faà di Bruno's formula menggeneralisasi aturan rantai ke turunan yang lebih tinggi. Berasumsi bahwa y = f(u) dan u = g(x), maka beberapa turunan pertamanya adalah:

${\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&={\frac {dy}{du}}{\frac {du}{dx}}\\[4pt]{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}&={\frac {d^{2}y}{du^{2}}}\left({\frac {du}{dx}}\right)^{2}+{\frac {dy}{du}}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}\\[4pt]{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}&={\frac {d^{3}y}{du^{3}}}\left({\frac {du}{dx}}\right)^{3}+3\,{\frac {d^{2}y}{du^{2}}}{\frac {du}{dx}}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {dy}{du}}{\frac {d^{3}u}{dx^{3}}}\\[4pt]{\frac {d^{4}y}{dx^{4}}}&={\frac {d^{4}y}{du^{4}}}\left({\frac {du}{dx}}\right)^{4}+6\,{\frac {d^{3}y}{du^{3}}}\left({\frac {du}{dx}}\right)^{2}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}y}{du^{2}}}\left(4\,{\frac {du}{dx}}{\frac {d^{3}u}{dx^{3}}}+3\,\left({\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}\right)^{2}\right)+{\frac {dy}{du}}{\frac {d^{4}u}{dx^{4}}}.\end{aligned}}$

Bukti

Bukti pertama

Salah satu bukti aturan rantai dimulai dengan definisi turunannya:

$(f\circ g)'(a)=\lim _{x\to a}{\frac {f(g(x))-f(g(a))}{x-a}}.$

Asumsikan untuk saat itu $g(x)\!$ tidak sama $g(a)\!$ untuk apapun x dekat a. Maka persamaan sebelumnya sama dengan hasil kali dua faktor:

$\lim _{x\to a}{\frac {f(g(x))-f(g(a))}{g(x)-g(a)}}\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}.$

<!-+If $g$ oscillates near a, then it might happen that no matter how close one gets to a, there is always an even closer x such that $g(x)\!$ equals $g(a)\!$. -->Contohnya, ini terjadi untuk g(x) = x²sin(1 / x) mendekati intinya a = 0. Kapanpun ini terjadi, ekspresi di atas tidak terdefinisi karena melibatkan pembagian dengan nol. Untuk menyiasatinya, perkenalkan sebuah fungsi $Q\!$ sebagai berikut:

$Q(y)={\begin{cases}{\frac {f(y)-f(g(a))}{y-g(a)}},&y\neq g(a),\\f'(g(a)),&y=g(a).\end{cases}}$

Kami akan menunjukkan bahwa hasil bagi perbedaan f ∘ g selalu sama dengan:

$Q(g(x))\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}.$

.

Bukti

Misalkan fungsi f dengan y = f(u) dan fungsi g dengan u = g(x) masing-masing terdiferensiasi di titik u = u₀ dan x = x₀. Maka y merupakan fungsi komposit dari x $(y=(f\circ g)(x))$. Turunan y terhadap x di titik x₀ dinyatakan sebagai

${\frac {dy}{dx}}|_{x=x_{0}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(g(x_{0}+\Delta x))-f(g(x_{0}))}{\Delta x}}$

Misalkan $\Delta u=g(x_{0}+\Delta x)-g(x_{0})$, dan $u_{0}=g(x_{0})$. Untuk $x\rightarrow 0$ maka $u\rightarrow 0$. Dengan mensubstitusi, kita dapat menuliskan

${\frac {dy}{dx}}|_{x=x_{0}}=\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {f(u_{0}+\Delta u)-f(u_{0})}{\Delta u}}\cdot {\frac {\Delta u}{\Delta x}}\right)$

$=\left[\lim _{\Delta u\to 0}{\frac {f(u_{0}+\Delta u)-f(u_{0})}{\Delta u}}\right]\left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x_{0}+\Delta x)-g(x_{0})}{\Delta x}}\right]$

$={\frac {dy}{du}}|_{u=u_{0}}\cdot {\frac {du}{dx}}|_{x=x_{0}}$.

Pranala luar

• (Inggris)(Inggris) Weisstein, Eric W. "Chain Rule". MathWorld.