Barisan aritmetika-geometrik

Artikel ini bukan mengenai Rata-rata aritmetika–geometrik.

Dalam matematika, barisan aritmetika-geometrik adalah hasil dari perkalian suku-demi-suku pada barisan aritmetika dengan suku barisan geometri yang bersesuaian. Secara matematis, suku ke-$n$ dari barisan aritmetika-geometrik adalah hasil kali dari suku ke-$n$ dari barisan aritmetika dengan suku ke-$n$ dari barisan geometrik. Barisan aritmetika-geometrik muncul pada berbagai aspek, seperti perhitungan nilai harapan dalam teori peluang.

Alternatifnya, barisan aritmetika-geometrik dapat didefinisikan sebagai barisan dengan bentuk umum

$u_{n+1}=r\,u_{n}+cr^{n}$

untuk suatu nilai $c$ dan $r$. Dari bentuk di atas, maka terlihat bahwa barisan aritmetika-geometrik adalah kasus spesial dari relasi perulangan linier.

• Jika $r=1$, maka barisan aritmetika-geometrik akan menjadi barisan aritmetika
• Jika $c=0$, maka barisan aritmetika-geometrik akan menjadi barisan geometrik

Suku barisan

Dari definisi di atas, misalkan bagian yang berwarna biru menyatakan barisan aritmetika dengan nilai awal $a$ dan beda $b$, dan bagian yang berwarna merah menyatakan barisan geometri dengan nilai awal $k$ dan rasio $r$. Maka, beberapa suku pertama dari barisan aritmetika-geometrik ialah:

${\begin{aligned}u_{1}&=\color {blue}{a}\color {red}{k}\\u_{2}&=\color {blue}{(a+b)}\color {red}{(kr)}\\u_{3}&=\color {blue}{(a+2b)}\color {red}{(kr^{2})}\\&\vdots \\u_{n}&=\color {blue}{(a+(n-1)b)}\color {red}{(kr^{n-1})}\end{aligned}}$

Contoh

Sebagai contoh, barisan

${\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {red}{2}}},\,{\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {red}{4}}},\,{\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {red}{8}}},\,{\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {red}{16}}},\,{\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {red}{32}}},\ldots$

dapat dikonstruksikan dengan memilih ${\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}$ dan ${\begin{bmatrix}k\\r\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\1/2\end{bmatrix}}$.

Jumlahan berhingga

Jumlahan $n$ suku pertama dari barisan aritmetika-geometrik memiliki bentuk tertutup

${\begin{aligned}S_{n}&={\frac {ak-(a+nd)\,kr^{n}}{1-r}}+{\frac {dbr\,(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}\\&={\frac {A_{1}G_{1}-A_{n+1}G_{n+1}}{1-r}}+{\frac {dr}{(1-r)^{2}}}\,(G_{1}-G_{n+1}).\end{aligned}}$

Bukti

Deret Teleskopik

Misalkan hasil jumlahannya dinotasikan dengan $S_{n}$, dengan indeks $n$ menyatakan banyaknya suku berurutan yang akan dijumlahkan. Oleh karena banyaknya suku yang dijumlahkan hanya berhingga banyaknya, maka hasilnya tidak akan divergen. Akan digunakan notasi $A_{n}$ untuk menyatakan suku ke-$n$ dari barisan aritmetika, dan notasi $G_{n}$ untuk menyatakan suku ke-$n$ dari barisan geometri. Dengan menggunakan informasi bahwa $A_{i}=A_{i-1}+b$ dan $G_{i}=r\,G_{i-1}$, perhatikan bahwa

${\begin{array}{rcccrcrcccrcrc}S_{n}&=&A_{1}\,G_{1}&+&A_{2}\,G_{2}&+&A_{3}\,G_{3}&+&\ldots &+&A_{n}\,G_{n}&&&\\rS_{n}&=&{\phantom {A_{1}\,G_{1}}}&+&A_{1}\,G_{2}&+&A_{2}\,G_{3}&+&\ldots &+&A_{n-1}\,G_{n}&+&A_{n}\,G_{n+1}&-\\\hline (1-r)\,S_{n}&=&A_{1}\,G_{1}&+&b\,G_{2}&+&b\,G_{3}&+&\ldots &+&b\,G_{n}&-&A_{n}\,G_{n+1}&\\\end{array}}$

Sehingga diperoleh

${\begin{aligned}(1-r)\,S_{n}&=A_{1}\,G_{1}+b\,G_{2}+b\,G_{3}+\,\ldots \,+b\,G_{n}-A_{n}\,G_{n+1}\\&=A_{1}\,G_{1}-A_{n}\,G_{n+1}+b\,G_{2}+b\,G_{3}+\,\ldots \,+b\,G_{n}\\&=A_{1}\,G_{1}-A_{n}\,G_{n+1}-b\,G_{n+1}+b\,G_{2}+b\,G_{3}+\,\ldots \,+b\,G_{n}+b\,G_{n+1}\\&=A_{1}\,G_{1}-\left(A_{n}+b\right)\,G_{n+1}+b\left(G_{2}+G_{3}+\,\ldots \,+G_{n}+G_{n+1}\right)\\&=A_{1}\,G_{1}-A_{n+1}\,G_{n+1}+b\cdot {\frac {G_{2}-G_{n+2}}{1-r}}\\S_{n}&={\frac {A_{1}\,G_{1}-A_{n+1}\,G_{n+1}}{1-r}}+{\frac {br}{(1-r)^{2}}}\left(G_{1}-G_{n+1}\right)\end{aligned}}$

Oleh karena $A_{n}=a+(n-1)b$ dan $G_{n}=kr^{n-1}$, maka rumus $S_{n}$ di atas dapat ditulis ulang sebagai

$S_{n}={\frac {ak-(a+nb)(kr^{n})}{1-r}}+{\frac {bkr(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}$

Penjabaran Langsung

Misalkan hasil jumlahannya dinotasikan dengan $S_{n}$, dengan indeks $n$ menyatakan banyaknya suku berurutan yang akan dijumlahkan. Oleh karena banyaknya suku yang dijumlahkan hanya berhingga banyaknya, maka hasilnya tidak akan divergen. Perhatikan bahwa $S_{n}$ dapat dituliskan sebagai

$S_{n}$	$=$	$u_{1}$	$+$	$u_{2}$	$+$	$u_{3}$	$+$	$\dots$	$+$	$u_{n}$
	$=$	$ak$	$+$	$akr$	$+$	$akr^{2}$	$+$	$\dots$	$+$	$akr^{n-1}$
				$+$		$+$				$+$
				$bkr$	$+$	$bkr^{2}$	$+$	$\dots$	$+$	$bkr^{n-1}$
						$+$				$+$
						$bkr^{2}$	$+$	$\dots$	$+$	$bkr^{n-1}$
										$+$
								$\ddots$		$\vdots$
										$+$
										$bkr^{n-1}$

Dengan menuliskan $S_{n}$ menggunakan cara di atas, maka terlihat bahwa nilai $S_{n}$ diperoleh dari hasil penjumlahan kolom per kolom. Akan tetapi, perspektif di atas juga menunjukkan bahwa menjumlahkan baris per baris akan menghasilkan jawaban yang sama, sebab suku yang dijumlahkan melalui kedua cara tersebut tidak berubah, dan hasilnya pasti berhingga. Jika penjabaran suku di atas dijumlahkan secara horizontal, maka

$${\begin{aligned}S_{n}&=ak\left(1+r+r^{2}+\,\ldots \,+r^{n-1}\right)+bk\left(r+r^{2}+\,\ldots \,+r^{n-1}\right)+bk\left(r^{2}+\,\ldots \,+r^{n-1}\right)+\,\ldots \,+bkr^{n-1}\\&=ak\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}+bk\cdot {\frac {r-r^{n}}{1-r}}+bk\cdot {\frac {r^{2}-r^{n}}{1-r}}+\,\ldots \,+bk\cdot {\frac {r^{n-1}-r^{n}}{1-r}}\\&=ak\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}+bk\left({\frac {r}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{1-r}}+{\frac {r^{2}}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{1-r}}+\,\ldots \,+{\frac {r^{n-1}}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{1-r}}\right)\\&=ak\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}+bk\left({\frac {r}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{1-r}}+{\frac {r^{2}}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{1-r}}+\,\ldots \,+{\frac {r^{n-1}}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{1-r}}+{\frac {r^{n}}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{1-r}}\right)\\&=ak\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}+bk\left({\frac {r+r^{2}+\,\ldots \,+r^{n}}{1-r}}-{\frac {nr^{n}}{1-r}}\right)\\&={\frac {ak-akr^{n}}{1-r}}+bk\left({\frac {r-r^{n+1}}{(1-r)^{2}}}-{\frac {nr^{n}}{1-r}}\right)\\&={\frac {ak}{1-r}}-{\frac {(a)(kr^{n})}{1-r}}+{\frac {bkr(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}-{\frac {(nb)(kr^{n})}{1-r}}\end{aligned}}$$

Kalkulus Diferensial

Misalkan hasil jumlahannya dinotasikan dengan $S_{n}$, dengan indeks $n$ menyatakan banyaknya suku berurutan yang akan dijumlahkan. Oleh karena banyaknya suku yang dijumlahkan hanya berhingga banyaknya, maka hasilnya tidak akan divergen. Dengan menggunakan sifat linier dari turunan, perhatikan bahwa

${\begin{aligned}S_{n}&=\sum _{i\,=\,1}^{n}A_{i}\,G_{i}\\&=\sum _{i\,=\,1}^{n}(a+(i-1)b)(kr^{i-1})\\&=\sum _{i\,=\,0}^{n-1}(a+ib)(kr^{i})\\&=\sum _{i\,=\,0}^{n-1}akr^{i}+\sum _{i\,=\,0}^{n-1}ibkr^{i}\\&=ak\sum _{i\,=\,0}^{n-1}r^{i}+(0)bkr^{0}+\sum _{i\,=\,1}^{n-1}ibkr^{i}\\&=ak\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}+bkr\sum _{i\,=\,1}^{n-1}ir^{i-1}\\&=ak\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}+bkr\sum _{i\,=\,1}^{n-1}\left({\frac {\text{d}}{{\text{d}}r}}r^{i}\right)\\&=ak\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}+bkr\,{\frac {\text{d}}{{\text{d}}r}}\left(\sum _{i\,=\,1}^{n-1}r^{i}\right)\\&=ak\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}+bkr\,{\frac {\text{d}}{{\text{d}}r}}\left({\frac {r}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{1-r}}\right)\\&={\frac {ak-akr^{n}}{1-r}}+bkr\,\left({\frac {1}{(1-r)^{2}}}-{\frac {nr^{n-1}}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{(1-r)^{2}}}\right)\\&={\frac {ak}{1-r}}-{\frac {(a)(kr^{n})}{1-r}}-{\frac {(nb)(kr^{n})}{1-r}}+{\frac {bkr(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}\\\end{aligned}}$

yang merupakan hasil yang sama dengan dua metode sebelumnya.

Deret takhingga

Jika $\left|r\right|<1$, maka $r^{n}$ akan mendekati $0$ apabila nilai $n$ cukup besar. Sehingga, nilai dari deret aritmetika-geometrik (disimbolkan dengan $S$) ialah

${\begin{aligned}S&=\sum _{i\,=\,1}^{\infty }u_{i}\\&=\lim _{n\,\to \,\infty }\sum _{i\,=\,1}^{\infty }u_{i}\\&=\lim _{n\,\to \,\infty }S_{n}\\&=\lim _{n\,\to \,\infty }{\frac {ak}{1-r}}-\underbrace {\frac {(a+nb)(kr^{n})}{1-r}} _{{\text{mendekati }}0}+{\frac {bkr(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}\\&={\frac {ak}{1-r}}+{\frac {bkr}{(1-r)^{2}}}\\&={\frac {A_{1}\,G_{1}}{1-r}}+{\frac {br}{(1-r)^{2}}}\,G_{1}\end{aligned}}$

Jika $r$ berada di luar jangkauan di atas, maka deretnya termasuk

• Deret divergen menuju $\pm \infty$, saat $r>1$, atau saat $r=1$ (dimana deretnya menjadi deret aritmetika takhingga) serta $a\neq 0$ dan $b\cdot k\neq 0$
  • Jika $a=0$ dan $b\cdot k=0$, semua nilai suku nya akan menjadi $0$, sehingga nilai deret takhingga tidak divergen.
• Deret selang-seling, saat nilai $r\leq -1$

Tangga Jibril

Jika $A_{n}=n$ dan $k=1$, maka jumlahan dari barisan takhingga ini dikenal dengan sebutan tangga Jibril:

$\sum _{i\,=\,1}^{\infty }ir^{i}={\frac {r}{(1-r)^{2}}}\qquad {\text{dengan }}\,0<r<1$

Contoh Penerapan : Perhitungan Nilai Harapan

Saat suatu koin adil dilempar, peluang untuk mendapatkan "gambar" adalah ${\dfrac {1}{2}}$. Apabila $P(X=k)$ menyatakan peluang munculnya "gambar" untuk pertama kalinya setelah $k$ lemparan, maka diperoleh

${\begin{aligned}P(X=k)&=\left({\frac {1}{2}}\right)^{k-1}\cdot {\frac {1}{2}}\\&=\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}\end{aligned}}$

Penjelasan

Karena $L_{k}$ menyatakan peluang munculnya "gambar" untuk pertama kalinya setelah $k$ lemparan, maka lemparan pertama sampai lemparan ke-$(k-1)$ haruslah muncul "angka". Oleh karena lemparan koin bersifat saling bebas, maka rumus peluang koin adil yang dilempar adalah $\left({\frac {1}{2}}\right)^{k-1}$. Dikarenakan lemparan terakhir haruslah muncul "gambar", maka rumus peluangnya harus dikalikan dengan peluang munculnya "gambar", sehingga didapatkan ${\begin{aligned}P(X=k)&=\left({\frac {1}{2}}\right)^{k-1}\cdot {\frac {1}{2}}\\&=\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}\end{aligned}}$

Dengan menggunakan rumus di atas, maka ekspektasi banyaknya koin yang harus dilempar sebelum mendapat "gambar" dapat dicari dengan

$E(X)=\sum _{k\,=\,1}^{\infty }k\cdot P(X=k)={\frac {1}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {4}{16}}+{\frac {5}{32}}+\ldots$

yang merupakan deret aritmetika-geometrik takhingga, dengan ${\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}$ dan ${\begin{bmatrix}k\\r\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\1/2\end{bmatrix}}$. Dengan rumus deret aritmetika-geometrik, maka dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa jumlahan di atas konvergen ke $E(X)=2$

Bacaan lanjutan

• D. Khattar. The Pearson Guide to Mathematics for the IIT-JEE, 2/e (New Edition) [Panduan Matematika dari Pearson untuk Seleksi Bersama Masuk Institut Teknologi India, 2/e (Edisi Baru)] (dalam bahasa Inggris). Pearson Education India. hlm. 10.8. ISBN 81-317-2876-5. 
• P. Gupta. Comprehensive Mathematics XI [Matematika Komprehensif XI] (dalam bahasa Inggris). Laxmi Publications. hlm. 380. ISBN 81-7008-597-7.