Fungsi theta asli Jacobi θ1 dengan u = iπz dan dengan nome q = eiπτ = 0.1e0.1iπ. Konvensi adalah (Mathematica):
Bentuk fungsi theta yang paling umum adalah yang terjadi dalam teori fungsi eliptik. Sehubungan dengan salah satu variabel kompleks (secara konvensional disebut z), fungsi theta memiliki properti yang mengekspresikan perilakunya sehubungan dengan penambahan periode fungsi eliptik terkait, menjadikannya fungsi kuasiperiodik. Dalam teori abstrak ini berasal dari bundel garis kondisi keturunan.
Ada beberapa fungsi yang terkait erat yang disebut fungsi jacobi theta, dan banyak sistem notasi yang berbeda dan tidak kompatibel untuk fungsi tersebut. Fungsi theta Jacobi (dinamai Carl Gustav Jacob Jacobi) merupakan fungsi yang ditentukan untuk dua variabel kompleks z dan τ, dimana z dapat berupa bilangan kompleks apa pun dan τ adalah rasio setengah periode, terbatas pada bidang setengah atas, yang berarti ia memiliki bagian imajiner positif. Itu diberikan oleh rumus
dimana q = exp(πiτ) adalah nome dan η = exp(2πiz). Ini adalah bentuk Jacobi. Pada τ, ini adalah deret Fourier untuk 1-periodik seluruh fungsi dari z. Karenanya, fungsi theta adalah 1-periodik in z:
Ternyata juga menjadi τ kuasiperiodik dalam z, dengan
Jadi, secara umum,
untuk semua bilangan bulat a dan b.
Fungsi theta θ1 dengan nomor berbeda q = eiπτ. Titik hitam di gambar sebelah kanan menunjukkan caranya q berubah dengan τ.Fungsi theta θ1 dengan nomor berbeda q = eiπτ. Titik hitam di gambar sebelah kanan menunjukkan caranya q berubah dengan τ.
Fungsi theta Jacobi yang didefinisikan di atas terkadang dipertimbangkan bersama dengan tiga fungsi theta tambahan, dalam hal ini ditulis dengan subskrip 0 ganda:
Fungsi bantu (atau setengah periode) ditentukan oleh
Notasi ini mengikuti Riemann dan Mumford; Formulasi asli Jacobi adalah dalam istilah nomeq = eiπτ daripada τ. Dalam notasi Jacobi θ adalah fungsi tertulis:
Bila kita mengatur z = 0 dalam fungsi theta di atas, kita mendapatkan empat fungsi dari τ saja, yang ditentukan pada setengah bidang atas (terkadang disebut konstanta teta.) Mak ini dapat digunakan untuk mendefinisikan berbagai bentuk modular, dan untuk mengukur kurva tertentu; khususnya, identitas Jacobi adalah
Identitas Jacobi menggambarkan bagaimana fungsi theta berubah di bawah kelompok modular, yang dihasilkan oleh τ ↦ τ + 1 dan τ ↦ −1τ. Persamaan untuk transformasi pertama mudah ditemukan sejak menambahkan satu ke τ dalam eksponen memiliki efek yang sama seperti penjumlahan 12 ke z (n ≡ n2mod 2). Untuk yang kedua, maka
Alih-alih mengekspresikan fungsi theta dalam istilah z dan τ, kita dapat mengungkapkannya dalam istilah argumen w dan nomeq, dimana w = eπiz dan q = eπiτ. Dalam bentuk ini, fungsinya menjadi
Kita melihat bahwa fungsi theta juga bisa didefinisikan dalam istilah w dan q, tanpa referensi langsung ke fungsi eksponensial. Oleh karena itu, rumus-rumus ini dapat digunakan untuk mendefinisikan fungsi Theta di atas bidang lain di mana fungsi eksponensial mungkin tidak dapat didefinisikan di mana-mana, seperti bidang bilangan p-adic.
Fungsi Jacobi theta tidak berubah di bawah aksi subkelompok diskrit dari kelompok Heisenberg. Pembalikan ini disajikan dalam artikel di representasi theta dari kelompok Heisenberg.
^Tyurin, Andrey N. (30 October 2002). "Quantization, Classical and Quantum Field Theory and Theta-Functions". arΧiv:math/0210466v1.
^Yi, Jinhee (2004). "Theta-function identities and the explicit formulas for theta-function and their applications". Journal of Mathematical Analysis and Applications. 292 (2): 381–400. doi:10.1016/j.jmaa.2003.12.009.
^Proper credit for these results goes to Ramanujan. See Ramanujan's lost notebook and a relevant reference at Euler function. The Ramanujan results quoted at Euler function plus a few elementary operations give the results below, so the results below are either in Ramanujan's lost notebook or follow immediately from it.
^Mező, István (2013), "Duplication formulae involving Jacobi theta functions and Gosper's q-trigonometric functions", Proceedings of the American Mathematical Society, 141 (7): 2401–2410, doi:10.1090/s0002-9939-2013-11576-5
^Mező, István (2012). "A q-Raabe formula and an integral of the fourth Jacobi theta function". Journal of Number Theory. 133 (2): 692–704. doi:10.1016/j.jnt.2012.08.025.
Akhiezer, Naum Illyich (1990) [1970]. Elements of the Theory of Elliptic Functions. AMS Translations of Mathematical Monographs. 79. Providence, RI: AMS. ISBN978-0-8218-4532-5.
Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1927). A Course in Modern Analysis (edisi ke-4th). Cambridge: Cambridge University Press. ch. 21.(history of Jacobi's θ functions)