Fungsi theta

fungsi khusus dari beberapa variabel kompleks


Dalam matematika, Fungsi theta adalah fungsi khusus dari beberapa variabel kompleks. Mereka penting di banyak bidang, termasuk teori varietas abelian dan ruang moduli, dan bentuk kuadrat. Mereka juga telah diterapkan pada teori soliton. Ketika digeneralisasi menjadi aljabar Grassmann, mereka juga muncul di teori medan kuantum.[1]

Fungsi theta asli Jacobi θ1 dengan u = iπz dan dengan nome q = eiπτ = 0.1e0.1iπ. Konvensi adalah (Mathematica):

Bentuk fungsi theta yang paling umum adalah yang terjadi dalam teori fungsi eliptik. Sehubungan dengan salah satu variabel kompleks (secara konvensional disebut z), fungsi theta memiliki properti yang mengekspresikan perilakunya sehubungan dengan penambahan periode fungsi eliptik terkait, menjadikannya fungsi kuasiperiodik. Dalam teori abstrak ini berasal dari bundel garis kondisi keturunan.

Fungsi theta Jacobi

sunting
 
Jacobi theta 1
 
Jacobi theta 2
 
Jacobi theta 3
 
Jacobi theta 4

Ada beberapa fungsi yang terkait erat yang disebut fungsi jacobi theta, dan banyak sistem notasi yang berbeda dan tidak kompatibel untuk fungsi tersebut. Fungsi theta Jacobi (dinamai Carl Gustav Jacob Jacobi) merupakan fungsi yang ditentukan untuk dua variabel kompleks z dan τ, dimana z dapat berupa bilangan kompleks apa pun dan τ adalah rasio setengah periode, terbatas pada bidang setengah atas, yang berarti ia memiliki bagian imajiner positif. Itu diberikan oleh rumus

 

dimana q = exp(π) adalah nome dan η = exp(2πiz). Ini adalah bentuk Jacobi. Pada τ, ini adalah deret Fourier untuk 1-periodik seluruh fungsi dari z. Karenanya, fungsi theta adalah 1-periodik in z:

 

Ternyata juga menjadi τ kuasiperiodik dalam z, dengan

 

Jadi, secara umum,

 

untuk semua bilangan bulat a dan b.

 
Fungsi theta θ1 dengan nomor berbeda q = eiπτ. Titik hitam di gambar sebelah kanan menunjukkan caranya q berubah dengan τ.
 
Fungsi theta θ1 dengan nomor berbeda q = eiπτ. Titik hitam di gambar sebelah kanan menunjukkan caranya q berubah dengan τ.

Fungsi pembantu

sunting

Fungsi theta Jacobi yang didefinisikan di atas terkadang dipertimbangkan bersama dengan tiga fungsi theta tambahan, dalam hal ini ditulis dengan subskrip 0 ganda:

 

Fungsi bantu (atau setengah periode) ditentukan oleh

 

Notasi ini mengikuti Riemann dan Mumford; Formulasi asli Jacobi adalah dalam istilah nome q = eiπτ daripada τ. Dalam notasi Jacobi θ adalah fungsi tertulis:

 

Definisi di atas dari fungsi Jacobi theta sama sekali tidak unik. Lihat Fungsi jacobi theta (variasi notasi) untuk pembahasan lebih lanjut.

Bila kita mengatur z = 0 dalam fungsi theta di atas, kita mendapatkan empat fungsi dari τ saja, yang ditentukan pada setengah bidang atas (terkadang disebut konstanta teta.) Mak ini dapat digunakan untuk mendefinisikan berbagai bentuk modular, dan untuk mengukur kurva tertentu; khususnya, identitas Jacobi adalah

 

yang merupakan kurva Fermat dari derajat empat.

Identitas Jacobi

sunting

Identitas Jacobi menggambarkan bagaimana fungsi theta berubah di bawah kelompok modular, yang dihasilkan oleh ττ + 1 dan τ ↦ −1τ. Persamaan untuk transformasi pertama mudah ditemukan sejak menambahkan satu ke τ dalam eksponen memiliki efek yang sama seperti penjumlahan 12 ke z (nn2 mod 2). Untuk yang kedua, maka

 

Kemudian

 

Fungsi theta dalam istilah nome

sunting

Alih-alih mengekspresikan fungsi theta dalam istilah z dan τ, kita dapat mengungkapkannya dalam istilah argumen w dan nome q, dimana w = eπiz dan q = eπ. Dalam bentuk ini, fungsinya menjadi

 

Kita melihat bahwa fungsi theta juga bisa didefinisikan dalam istilah w dan q, tanpa referensi langsung ke fungsi eksponensial. Oleh karena itu, rumus-rumus ini dapat digunakan untuk mendefinisikan fungsi Theta di atas bidang lain di mana fungsi eksponensial mungkin tidak dapat didefinisikan di mana-mana, seperti bidang bilangan p-adic.

Wakilan integral

sunting

Fungsi Jacobi theta memiliki wakilan integral berikut:

 

Nilai eksplisit

sunting

Lihat Yi (2004).[2][3]

 

Beberapa identitas deret

sunting

Dua identitas seri berikutnya dibuktikan oleh István Mező:[4]

 

These relations hold for all 0 < q < 1. Specializing the values of q, we have the next parameter free sums

 

Nol dari fungsi theta Jacobi

sunting

Semua angka nol dari fungsi theta Jacobi adalah angka nol sederhana dan diberikan sebagai berikut:

 

dimana m, n adalah bilangan bulat acak.

Kaitannya dengan fungsi zeta Riemann

sunting

Relasi

 

digunakan oleh Riemann untuk membuktikan persamaan fungsional untuk fungsi zeta Riemann, dengan menggunakan transformasi Mellin

 

yang dapat ditampilkan sebagai invarian di bawah substitusi s oleh 1 − s. Integral terkait untuk z ≠ 0 diberikan dalam artikel di Fungsi zeta Hurwitz.

Kaitannya dengan fungsi q-gamma

sunting

Fungsi theta keempat dan dengan demikian yang lainnya juga terhubung erat ke fungsi gamma-q Jackson melalui relasi[5]

 

Hubungan dengan fungsi eta Dedekind

sunting

Maka η(τ) menjadi Dedekind eta function, dan argumen dari fungsi theta sebagai nome q = eπ. Then,

 

dan,

 

Lihat pula Fungsi modular Weber.

Modulus elips

sunting

Modulus eliptik adalah

 

dan modulus eliptik komplementernya adalah

 

Solusi untuk persamaan panas

sunting

Kaitannya dengan kelompok Heisenberg

sunting

Fungsi Jacobi theta tidak berubah di bawah aksi subkelompok diskrit dari kelompok Heisenberg. Pembalikan ini disajikan dalam artikel di representasi theta dari kelompok Heisenberg.


Catatan

sunting
  1. ^ Tyurin, Andrey N. (30 October 2002). "Quantization, Classical and Quantum Field Theory and Theta-Functions". arΧiv:math/0210466v1. 
  2. ^ Yi, Jinhee (2004). "Theta-function identities and the explicit formulas for theta-function and their applications". Journal of Mathematical Analysis and Applications. 292 (2): 381–400. doi:10.1016/j.jmaa.2003.12.009 . 
  3. ^ Proper credit for these results goes to Ramanujan. See Ramanujan's lost notebook and a relevant reference at Euler function. The Ramanujan results quoted at Euler function plus a few elementary operations give the results below, so the results below are either in Ramanujan's lost notebook or follow immediately from it.
  4. ^ Mező, István (2013), "Duplication formulae involving Jacobi theta functions and Gosper's q-trigonometric functions", Proceedings of the American Mathematical Society, 141 (7): 2401–2410, doi:10.1090/s0002-9939-2013-11576-5  
  5. ^ Mező, István (2012). "A q-Raabe formula and an integral of the fourth Jacobi theta function". Journal of Number Theory. 133 (2): 692–704. doi:10.1016/j.jnt.2012.08.025 . 

Referensi

sunting

Bacaan lebih lanjut

sunting

Harry Rauch with Hershel M. Farkas: Theta functions with applications to Riemann Surfaces, Williams and Wilkins, Baltimore MD 1974, ISBN 0-683-07196-3.

Pranala luar

sunting

Templat:PlanetMath attribution