Geometri diskrit

Geometri diskret dan geometri kombinatorial sama-sama merupakan cabang geometri yang mempelajari sifat-sifat kombinatorial dan metode konstruktif dari objek geometris diskrit. Banyak masalah-masalah dalam cabang ini melibatkan himpunan terhingga atau himpunan diskrit dari objek-objek geometri dasar, seperti titik, garis, bidang, lingkaran, bola, poligon, dan lain sebagainya. Cabang ini mempelajari sifat-sifat kombinatorial dari objek-objek geometri tersebut, seperti menanyakan bagaimana objek-objek dasar tersebut teriris satu sama lain, atau bagaimana objek-objek tersebut dapat disusun menutupi objek yang lebih besar.

Geometri diskrit memiliki banyak kesamaan dengan geometri cembung dan geometri komputasi. Selain itu, geometri diskrit memiliki kaitan erat dengan cabang-cabang lain seperti geometri hingga, optimasi kombinatorial, geometri digital, geometri diferensial diskrit, teori graf geometri, geometri torus, dan topologi kombinatorial.

Sejarah

Meskipun polihedron dan pengubinan (tesellation) telah dipelajari selama bertahun-tahun oleh tokoh-tokoh seperti Kepler dan Cauchy, geometri diskrit modern berawal pada akhir abad ke-19. Topik-topik yang sudah dipelajari sebelumnya adalah kepadatan pengepakan lingkaran oleh Thue, konfigurasi proyektif oleh Reye dan Steinitz, geometri bilangan oleh Minkowski, dan pewarnaan peta oleh Tait, Heawood, dan Hadwiger.

Geometri diskrit dikembangkan oleh László Fejes Tóth, H.S.M. Coxeter dan Paul Erdős.^[1]^[2]^[3]

Topik

Polihedronn dan politop

Secara umum, politop adalah benda geometris dengan sisi datar, yang terdapat di dalam sebarang dimensi umum. Karena itu, poligon adalah politop dalam ruang berdimensi dua, sementara polihedron adalah politop dalam ruang berdimensi tiga, dan seterusnya dalam dimensi yang lebih tinggi (seperti politop berdimensi empat). Beberapa teori lebih lanjut memperumum gagasan tersebut, yang bertujuan untuk menyertakan objek-objek seperti politop yang tidak memiliki batas (apeirotop dan pengubinan), dan politop abstrak.

Berikut di bawah adalah beberapa aspek politop yang dipelajari dalam geometri diskrit:

Pengepakan, peliputan dan pengubinan

Pengepakan (packings), peliputan (coverings), dan pengubinan (tesellations) adalah cara-cara untuk menyusun objek yang berseragam (biasanya lingkaran, bola, atau ubin) secara teratur pada suatu permukaan atau manifold.

Pengepakan bola (sphere packings) adalah susunan bola yang tidak tumpang tindih dalam ruang yang ditampung. Semua bola-bola tersebut biasanya dianggap memiliki ukuran yang identik, dan memiliki ruang yang merupakan ruang Euklides berdimensi tiga. Meskipun demikian, masalah pengepakan dapat diperumum ke bola-bola yang dianggap tidak memiliki ukuran yang sama, ruang Euklides berdimensi- $n$ (dengan masalah ini menjadi pengepakan lingkaran dalam dua dimensi, atau pengepakan hiperbola dalam dimensi yang lebih tinggi), atau ruang non-Euklides seperti ruang hiperbolik.

Pengubinan atau teselasi (tesellations) dari suatu permukaan datar merupakan pengubinan dari suatu bidang yang menggunakan satu buah bentuk geometris atau lebih; bentuk- tersebut dinamakan ubin (tiles). Pengubinan dari suatu bidang tersebut tidak ada tumpang tindih dan tidak memiliki celah. Pengubinan dalam matematika dapat diperumum ke dimensi yang lebih tinggi.

Topik khusus di bidang ini meliputi:

Kekakuan dan fleksibilitas struktural

Pada gambar, graf dianggap sebagai batang yang terhubung dengan engsel yang berputar. Graf siklus (cycle graph)

C_{4}

digambarkan sebagai suatu persegi yang dapat dimiringkan oleh dorongan (yang ditandai dengan panah berwarna biru) menjadi jajar genjang; sehingga dapat dikatakan bahwa graf tersebut adalah fleksibel.

K_{3}

, graf yang digambarkan sebagai suatu segitiga, tidak dapat diubah oleh dorongan manapun; karena itu, graf tersebut dikatakan kaku.

Kekakuan struktural (structural rigidity) adalah teori kombinatorial untuk memprediksi fleksibilitas dari kumpulan yang dibentuk oleh benda tegar dihubungkan oleh linkage atau engsel yang fleksibel.

Topik pada cabang ini meliputi:

Struktur insidensi

Tujuh buah titik pada gambar merupakan anggota dari tujuh ruas garis di bidang Fano. Struktur ini merupakan contoh dari struktur insidensi.

Struktur insidensi (incidence structure) memperumum bidang-bidang (seperti bidang afin, bidang proyektif, dan bidang Möbius) seperti yang dapat dilihat dari definisi aksiomatiknya. Struktur insiden juga memperumum ke struktur yang berdimensi lebih tinggi, dan struktur terhingga terkadang disebut geometri terhingga.

Secara formal, struktur insidensi adalah tripel $C=(P,L,I),\,$ dengan $P$ adalah himpunan "titik" (points), $L$ adalah himpunan "garis" (lines), dan $I\subseteq P\times L$ adalah relasi insidensi. Anggota dari $I$ disebut flag. Jika $(p,l)\in I,$ maka dapat dikatakan bahwa titik $p$ "terletak di" garis $l$ .

Topik pada cabang ini meliputi:

Matroid terorientasi

Matroid terorientasi (oriented matroid) adalah struktur matematika yang mengabstraksi sifat-sifat dari graf berarah dan susunan vektor dalam ruang vektor atas lapangan terurut (terutama untuk ruang vektor terurut parsial).^[4] Sebagai perbandingan, matroid biasa (yaitu, matroid tak terorientasi) mengabstraksi sifat-sifat ketergantungan yang umum untuk graf, yang tidak harus terarah. Selain itu, matroid biasa juga mengabstrasikan sifat-sifat tersebut untuk susunan vektor atas lapangan, yang tidak semestinya terurut.^[5]^[6]

Kombinatorik topologis

Cabang kombinatorial topologis adalah cabang yang menggunakan konsep kombinatorial dalam topologi. Pada awal abad ke-20, cabang ini berubah menjadi topologi aljabar. Topik pada cabang ini meliputi:

Referensi

^ Pach, János; et al. (2008), Intuitive Geometry, in Memoriam László Fejes Tóth, Alfréd Rényi Institute of Mathematics, diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-04-21, diakses tanggal 2020-10-08
^ Katona, G. O. H. (2005), "Laszlo Fejes Toth – Obituary", Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica, 42 (2): 113
^ Bárány, Imre (2010), "Discrete and convex geometry", dalam Horváth, János, A Panorama of Hungarian Mathematics in the Twentieth Century, I, New York: Springer, hlm. 431–441, ISBN 9783540307211
^ Rockafellar 1969. Björner et alia, Chapters 1-3. Bokowski, Chapter 1. Ziegler, Chapter 7.
^ Björner et alia, Chapters 1-3. Bokowski, Chapters 1-4.
^ Karena matroid dan matroid terorientasi merupakan abstraksi dari abstraksi matematika lainnya, hampir semua buku yang relevan ditulis untuk ilmuwan matematika daripada untuk masyarakat umum. Untuk mempelajari tentang matroid terorientasi, persiapan yang baik adalah dengan mempelajari buku teks tentang optimasasi linear oleh Nering dan Tucker, yang dicantumkan dengan gagasan-gagasan mengenai matroid terorientasi, dan kemudian berlanjut ke kuliah Ziegler tentang polytopes.

[Intuitive-1] Pach, János; et al. (2008), Intuitive Geometry, in Memoriam László Fejes Tóth, Alfréd Rényi Institute of Mathematics, diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-04-21, diakses tanggal 2020-10-08

[2] Katona, G. O. H. (2005), "Laszlo Fejes Toth – Obituary", Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica, 42 (2): 113

[DiscreteGeom1-3] Bárány, Imre (2010), "Discrete and convex geometry", dalam Horváth, János, A Panorama of Hungarian Mathematics in the Twentieth Century, I, New York: Springer, hlm. 431–441, ISBN 9783540307211

[4] Rockafellar 1969. Björner et alia, Chapters 1-3. Bokowski, Chapter 1. Ziegler, Chapter 7.

[5] Björner et alia, Chapters 1-3. Bokowski, Chapters 1-4.

[6] Karena matroid dan matroid terorientasi merupakan abstraksi dari abstraksi matematika lainnya, hampir semua buku yang relevan ditulis untuk ilmuwan matematika daripada untuk masyarakat umum. Untuk mempelajari tentang matroid terorientasi, persiapan yang baik adalah dengan mempelajari buku teks tentang optimasasi linear oleh Nering dan Tucker, yang dicantumkan dengan gagasan-gagasan mengenai matroid terorientasi, dan kemudian berlanjut ke kuliah Ziegler tentang polytopes.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]