Grup terbangkit terbatas

Dalam matematika, grup disebut terbangkit terbatas jika dapat dinyatakan sebagai hasil kali terhingga dari subgrup siklik. Sifat terbangkit terbatas juga terkait erat dengan masalah subgrup kongruensi (lihat Lubotzky & Segal 2003).

Definisi

Grup G disebut terbangkit terbatas jika terdapat bilangan bagian terhingga S dari G dan bilangan bulat positif m sehingga setiap elemen g dari G bisa ditunjukkan sebagai hasil kali dari paling banyak m pangkat dari elemen S:

$g=s_{1}^{k_{1}}\cdots s_{m}^{k_{m}},$ dengan $s_{i}\in S$ dan $k_{i}$ adalah bilangan bulat.

Himpunan hingga S menghasilkan G, jadi grup terbangkit terbatas adalah terbangkit terhingga.

Definisi yang mirip dengan sebelumnya dapat dinyatakan dalam bentuk subgrup siklik. Grup G disebut terbangkit terbatas jika ada keluarga terhingga C₁, …, C_M dari subgrup siklik yang belum tentu berbeda sehingga G = C₁…C_M sebagai suatu himpunan.

Sifat

• Bertingkat secara terbatas tidak terpengaruh dengan meneruskan ke subgrup indeks hingga: jika H adalah subgrup indeks berhingga dari G maka G adalah bertingkat secara hingga jika dan hanya jika H adalah terbangkit terbatas.
• Bertingkat terbatas masuk ke dalam ekstensi: jika grup G memiliki subgrup normal N sedemikian rupa sehingga N dan G/N adalah terbangkit terbatas, maka G itu sendiri.
• Setiap grup hasil bagi dari grup terbangkit terbatas juga merupakan terbangkit terbatas.
• Grup torsi terbangkit terbatas tetap berhingga jika itu merupakan terbangkit terbatas; secara ekuivalen, grup torsi terbangkit terbatas-tak hingga bukan merupakan terbangkit terbatas.

Sebuah karakter semu pada grup diskrit G didefinisikan sebagai fungsi bernilai real f pada G sehingga

f(gh) − f(g) − f(h) adalah terbatas seragam dan f(gⁿ) = n·f(g).

• Ruang vektor karakter semu dari grup G terbangkit terbatas adalah dimensi-hingga.

Contoh

• Jika n ≥ 3, maka grup SL_n(Z) yang merupakan terbangkit terbatas dengan subgrup dasarnya, dibentuk oleh matriks yang berbeda dari matriks identitas hanya dalam satu entri off-diagonal. Pada tahun 1984, Carter dan Keller memberikan bukti dasar dari hasil tersebut, yang termotivasi oleh pertanyaan dalam aljabar teori-K.
• Grup bebas pada setidaknya dua pembangkit bukan merupakan terbangkit terbatas (lihat di bawah).
• Grup SL₂(Z) bukan merupakan terbangkit terbatas, karena berisi subgrup bebas dengan dua generator indeks 12.
• Grup hiperbolik Gromov merupakan terbangkit terbatas jika dan hanya jika siklik virtual (atau elementer), yaitu berisi subgrup siklik dari indeks hingga.

Grup bebas yang bukan merupakan terbangkit secara terbatas

Dalam literatur matematika, beberapa penulis telah menyatakan dengan jelas bahwa grup bebas bangkit terhingga bukan merupakan terbangkit terhingga. Bagian ini berisi berbagai cara yang jelas dan kurang jelas untuk membuktikan hal ini. Beberapa metode yang melibatkan kohomologi terbatas penting karena lebih geometris dibandingkan aljabar, sehingga dapat diterapkan pada kelas grup yang lebih luas, misalnya grup hiperbolik Gromov.

Karena untuk setiap n ≥ 2, grup bebas pada 2 generator F₂ berisi sebagai grup bebas pada pembangkit n yaitu F_n yang dikenal sebagai subgrup indeks hingga (yang sebenarnya adalah n − 1), sekali satu grup bebas non-siklik pada banyak generator diketahui yang bukan terbangkit secara terbatas, ini akan berlaku untuk semuanya. Demikian pula, karena SL₂(Z) berisi F₂ sebagai subgrup indeks 12 yang cukup untuk mempertimbangkan SL₂(Z). Dengan kata lain, untuk menunjukkan bahwa tidak ada F_n dengan n ≥ 2 memiliki generasi terbatas, cukup untuk membuktikan ini untuk salah satu dari mereka atau bahkan hanya untuk SL₂(Z) .

Kontracontoh Burnside

Karena generasi terbatas dipertahankan di bawah pengambilan gambar homomorfik, jika satu grup yang terbangkit hingga dengan setidaknya dua generator diketahui bukan terbangkit secara terbatas, ini akan berlaku untuk grup bebas pada jumlah generator yang sama, dan karenanya untuk semua grup bebas. Untuk menunjukkan bahwa tidak ada gugus bebas (non-siklik) yang memiliki terbangkit terbatas, maka cukup untuk menghasilkan satu contoh dari grup terbangkit hingga yang bukan terbangkit secara terbatas, dan grup torsi tak hingga yang terbangkit secara terbatas akan berfungsi. Keberadaan grup tersebut merupakan solusi negatif Golod dan Shafarevich dari masalah Burnside umum pada tahun 1964; kemudian, contoh eksplisit lain dari grup torsi terbangkit hingga secara tak hingga dikembangkan oleh Aleshin, Olshanskii, dan Grigorchuk yang menggunakan automata. Akibatnya, grup bebas peringkat setidaknya dua bukan termasuk terbangkit secara terbatas.

Grup simetris

Grup simetris S_n dapat dihasilkan oleh dua elemen yaitu siklus 2 dan siklus n, sehingga merupakan grup hasil bagi F₂. Di sisi lain, mudah untuk menunjukkan bahwa orde maksimal M(n) dari sebuah elemen dalam S_n memenuhi

log M(n) ≤ n/e

dengan e adalah bilangan Euler (Edmund Landau membuktikan perkiraan asimtotik yang lebih tepat log M(n) ~ (n log n)^1/2). Faktanya jika siklus dalam dekomposisi siklus dari permutasi memiliki panjang N₁, ..., N_k dengan N₁ + ··· + N_k = n, maka urutan permutasi membagi hasil kali N₁ ··· N_k, yang pada gilirannya dibatasi oleh (n/k)^k, menggunakan ketaksamaan purata aritmetika dan geometrik. Sebaliknya, (n/x)^x dimaksimalkan ketika x = e. Jika F₂ dapat ditulis sebagai produk dari subgrup siklik m, maka n! harus kurang dari atau sama dengan M(n)^m untuk semua n yang bertentangan dengan rumus asimtotik Stirling.

Geometri hiperbolik

Ada juga bukti geometris sederhana bahwa G = SL₂(Z) tidak dihasilkan secara terbatas. Hal ini bertindak dengan transformasi Möbius pada medan setengah atas H, dengan metrik Poincaré. Semua penyangga kompak bentuk-1 α pada ranah fundamental dari G meluas secara unik ke invarian-G bentuk-1 pada H. Jika z adalah H dan γ adalah geodesik dari z ke g(z), fungsi didefinisikan oleh

$F(g)\equiv F_{\alpha ,z}(g)=\int _{\gamma }\,\alpha$

memenuhi kondisi pertama untuk karakter semu karena teorema Stokes

$F(gh)-F(g)-F(h)=\int _{\Delta }\,d\alpha ,$

dimana Δ adalah segitiga geodesik dengan simpul z, g(z) dan h⁻¹(z), dan segitiga geodesik memiliki luas terbatas oleh π. Fungsi yang dihomogenkan

$f_{\alpha }(g)=\lim _{n\rightarrow \infty }F_{\alpha ,z}(g^{n})/n$

mendefinisikan karakter semu, hanya bergantung pada α. Sebagaimana diketahui dari teori sistem dinamik, orbit apapun (g^k(z)) dari elemen hiperbolik g memiliki himpunan batas yang terdiri dari dua titik tetap pada sumbu real diperluas; maka segmen geodesik dari z ke g(z) memotong hanya sedikit translasi domain fundamental. Oleh karena itu mudah untuk memilih α sehingga f_α sama dengan satu pada elemen hiperbolik tertentu dan menghilang pada himpunan berhingga elemen hiperbolik lain dengan titik tetap yang berbeda. Karena G memiliki ruang dimensi tak hingga dari karakter semu, ia tidak dapat dibangkitkan secara terbatas.

Sifat dinamis elemen hiperbolik juga dapat digunakan untuk membuktikan bahwa setiap grup hiperbolik Gromov non-dasar tidak dihasilkan secara terbatas.

Karakter semu Brooks

Robert Brooks memberikan skema kombinatorial untuk menghasilkan karakter semu dari grup bebas apa pun F_n; skema ini kemudian terbukti menghasilkan keluarga pseudokarakter berdimensi tak hingga (lihat Grigorchuk 1994). Epstein dan Fujiwara kemudian memperluas hasil ini ke semua kelompok hiperbolik Gromov non-dasar.

Batas Gromov

Pembuktian cerita rakyat sederhana ini menggunakan sifat dinamis dari aksi elemen hiperbolik pada batas Gromov dari grup Gromov-hiperbolik. Untuk kasus khusus grup bebas F_n, batas (atau ruang ujung) dapat diidentikkan dengan ruang X dari kata reduksi semi-ketakhinggaan

g₁ g₂ ···

dalam generator dan kebalikannya. Ini memberikan pemadatan alami dari pohon yang diberikan oleh grafik Cayley sehubungan dengan generator. Urutan kata semi-ketakhinggaan konvergen ke kata lain yang serupa asalkan segmen awal sependapat setelah tahap tertentu, sehingga X salah satu kompak (dan termetrikkan). Grup bebas bertindak dengan perkalian kiri pada kata-kata semi-ketakhinggaan. Selain itu, setiap elemen g pada F_n memiliki tepat dua titik tetap g^±∞, yaitu kata-kata ketakhinggaan tereduksi yang diberikan oleh batas gⁿ sebagai n cenderung ±∞. Selain itu, gⁿ·w cenderung g^±∞ karena n cenderung ±∞ untuk kata semi-ketakhinggaan w; dan lebih umum jika w_n cenderung w ≠ g^±∞, lalu gⁿ·w_n cenderung g^+∞ sebagai n cenderung ∞.

Jika F_n terbangkit secara hingga dapat ditulis sebagai produk dari grup siklik C_i dihasilkan oleh elemen h_i. Misalkan X₀ menjadi himpunan bagian yang dapat dihitung yang diberikan oleh banyak orbit F_n berhingga dari titik tetap h_i ^±∞, titik tetap dari h_i dan semua konjugatnya. Karena X tidak terhitung, disitulah adalah elemen g dengan titik tetap di luar X₀ dan titik w di luar X₀ berbeda dari titik tetap ini. Kemudian untuk beberapa suburutan (g_m) dari (gⁿ)

g_m = h₁^n(m,1) ··· h_k^n(m,k), dengan masing-masing n(m,i ) konstan atau monoton sempurna.

Di satu sisi, dengan penggunaan aturan yang berurutan untuk menghitung batas bentuk hⁿ·w_n, batas sisi kanan yang diterapkan ke x tentu saja merupakan titik tetap dari salah satu konjugat-konjugat h_i. Di sisi lain, batas ini juga harus g^+∞ yang bukan salah satu dari poin ini, yaitu kontradiksi.

Referensi

• Carter, David; Keller, Gordon (1984). "Elementary expressions for unimodular matrices". Communications in Algebra. 12 (4): 379–389. doi:10.1080/00927878408823008. 

• Epstein, David; Fujiwara, Koji (1997). "The second bounded cohomology of word-hyperbolic groups". Topology. 36 (6): 1275–1289. doi:10.1016/S0040-9383(96)00046-8 . 

• Ghys, Etienne; Barge, Jean (1988). "Surfaces et cohomologie bornée". Inventiones Mathematicae. 92 (3): 509–526. Bibcode:1988InMat..92..509B. doi:10.1007/BF01393745. 

• Grigorchuk, R.I. (1980). "On Burnside's problem on periodic groups". Functional Anal. Appl. 14: 41–43. doi:10.1007/BF01078416. 

• Grigorchuk, R.I. (1994). "Some results in bounded cohomology". London Mathematical Society Lecture Note Series. 224: 111–163. ISBN 0-521-46595-8. 

• Landau, Edmund (1974). Handbuch der Lehrer von der Verteilung der Primzahlen, Vol. I. Chelsea. ISBN 0-8284-0096-2.  (see pages 222-229, also available on the Cornell archive)

• Lubotzky, Alexander; Segal, Dan (2003). Subgroup growth. Progress in Mathematics. Birkhäuser. ISBN 3-7643-6989-2. .

• Polterovich, Leonid; Rudnick, Zeev (2004). "Stable mixing for cat maps and quasi-morphisms of the modular group". Erg. Th. & Dynam. Syst. 24 (2): 609–619. arXiv:math/0009143 . doi:10.1017/S0143385703000531.