Proyeksi perspektif
Kubus (Kubus 3D) Tesseract (Kubus 4D)

Dalam geometri, Hiperkubus adalah analog dari ruang dimensi n dari sebuah Persegi pada bagian (1=n=2) dan untuk bagian kubus pada (1=n =3). Hal tersebut adalah dari himpunan tertutup dengan ruang kompak, polytope cembung hanya memiliki 1 kerangka terdiri dari kelompok berlawanan dengan parallel segmen garis disejajarkan di setiap dimensi ruang, tegak lurus satu sama lain dan memiliki panjang yang sama. Diagonal terpanjang sebuah hiperkubus dalam dimensi n sama dengan .[1][2]

Konstruksi

sunting
 
Diagram yang menunjukkan cara membuat tesseract dari suatu titik.
 
Animasi yang memperlihatkan cara mengonstruksi tesseract yang dimulai dari sebuah titik.

Hiperkubus dapat didefinisikan dengan menambahkan jumlah dimensi suatu bangun:

0 – Titik merupakan hiperkubus berdimensi nol.
1 – Jika seseorang menggeser titik tersebut pada satuan panjang, maka akan terbentuk suatu ruas garis. Ruas garis tersebut merupakan hiperkubus berdimensi satu.
2 – Jika seseorang menggeser ruas garis tersebut yang arahnya tegak lurus dengannya, maka akan menghasilkan sebuah persegi yang merupakan bangun datar berdimensi dua.
3 – Jika seseorang menggeser persegi pada satuan panjang yang arahnya tegak lurus dengan bidang, maka akan terbentuk sebuah kubus yang merupakan bangun ruang berdimensi tiga.
4 – Jika seseorang menggeser kubus ke satuan panjang ke dimensi keempat, maka akan menghasilkan hiperkubus pada satuan berdimensi 4, yaitu satuan tesseract.

Hal tersebut dapat digeneralisasikan untuk sebarang dimensi. Proses tersebut dapat diformalkan secara matematis sebagai penjumlahan Minkowski: hiperkubus berdimensi d sama dengan jumlah Minkowski dari d ruas garis dengan panjang satuannya yang saling tegak lurus. Penjumlahan tersebut disebut sebagai zonotop (zonotope).

Koordinat titik sudut

sunting

Hiperkubus satuan berdimensi   adalah merupakan selubung cembung (convex hull) dari suatu titik dengan   koordinat Cartesius masing-masing sama dengan   atau  . Karena itu, hiperkubus juga merupakan darab Cartesius   dari   salinan dari interval satuan  . Hiperkubus satuan lainnya, yang berpusat di titik asal dari ruang sekitar, dapat diperoleh dengan menggunakan translasi. Bangun tersebut merupakan selubung cembung dari titik yang vektor koordinat Cartesiusnya adalah Di dalam koordinat tersebut, tanda   mengartikan bahwa tiap-tiap koordinat sama dengan   atau  . Satuan hiperkubus ini juga merupakan darab Cartesius  . Satuan hiperkubus memiliki edge yang panjangnya   dan volume berdimensi-  darinya adalah  .

Elemen

sunting

Setiap dari Kubus pada-n untuk n > 0 terdiri dari elemen atau Kubus pada-n dari dimensi yang lebih rendah, pada bagian n−1-permukaan dimensi pada hiperkubus dari induk. Sisi adalah elemen apa pun dari n−1 dimensi hiperkubus induk. Sebuah hiperkubus dimensi n mempunyai 2n sisi pada (a 1-garis dimensi memiliki 2 titik ujung; bujur sangkar 2 dimensi memiliki 4 sisi atau tepi; kubus 3 dimensi memiliki 6 permukaan 2 dimensi; Tesseract 4 dimensi memiliki 8 sel). Jumlah simpul (titik) dari hiperkubus adalah   (kubus memiliki   simpul, misalnya).

Jumlah dari m-hiperkubus dengan dimensi pada batas sebuah n-kubus adalah:

 ,[3]     darimana   dan n! menunjukkan faktorial dari n.

Identitas tersebut dapat dibuktikan dengan argumen kombinatorial; masing-masing pada   simpul mendefinisikan simpul dalam m-batas dimensi. Ada   cara memilih garis mana ("sisi") yang menentukan subruang di mana batasnya berada. Tapi, setiap sisi dihitung   kali karena memiliki banyak simpul, kita perlu membaginya dengan nomor ini.

Identitas ini juga dapat digunakan untuk menghasilkan rumus n-dimensi luas permukaan kubus. Luas permukaan hiperkubus adalah

 .

Angka-angka tersebut juga dapat dihasilkan oleh relasi pengulangan linier

 ,     with  ,  dan elemen tak terdefinisi (darimana  ,  , atau   )  .

Misalnya, memperluas persegi melalui 4 simpulnya menambahkan satu garis ekstra (sisi) per simpul, dan juga menambahkan kuadrat kedua terakhir, untuk membentuk sebuah kubus, memberikan   = 12 baris secara total.

Elemen Hiperkubus   (barisan A038207 pada OEIS)
m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n Kubus pada-n Nama Schläfli
Coxeter
Puncak
Wajah dari nilai-0
Tepi
Wajah dari nilai-1
Wajah
Wajah dari nilai-2
Sel
Wajah dari nilai-3

Wajah dari nilai-4

Wajah dari nilai-5

Wajah dari nilai-6

Wajah dari nilai-7

Wajah dari nilai-8

Wajah dari nilai-9

Wajah dari nilai-10
0 Kubus pada nilai-0 Point
Monon
( )
 
1
1 Kubus pada nilai-1 Segmen garis
Dion[4]
{}
 
2 1
2 Kubus pada nilai-2 Persegi
Tetragon
{4}
   
4 4 1
3 Kubus pada nilai-3 Kubus
Hexahedron
{4,3}
     
8 12 6 1
4 Kubus pada nilai-4 Tesseract
Octachoron
{4,3,3}
       
16 32 24 8 1
5 Kubus pada nilai-5 Penteract
Deka-5-tope
{4,3,3,3}
         
32 80 80 40 10 1
6 Kubus pada nilai-6 Hexeract
Dodeka-6-tope
{4,3,3,3,3}
           
64 192 240 160 60 12 1
7 Kubus pada nilai-7 Hepteract
Tetradeka-7-tope
{4,3,3,3,3,3}
             
128 448 672 560 280 84 14 1
8 Kubus pada nilai-8 Octeract
Hexadeka-8-tope
{4,3,3,3,3,3,3}
               
256 1024 1792 1792 1120 448 112 16 1
9 Kubus pada nilai-9 Enneract
Oktadeka-9-tope
{4,3,3,3,3,3,3,3}
                 
512 2304 4608 5376 4032 2016 672 144 18 1
10 Kubus pada nilai-10 Dekeract
Ikosa-10-tope
{4,3,3,3,3,3,3,3,3}
                   
1024 5120 11520 15360 13440 8064 3360 960 180 20 1

Grafik

sunting

- Dalam pengembangan -

Keluarga terkait dari polytopes

sunting

- Dalam pengembangan -

Hubungan dengan (n−1)-kesederhanaan

sunting

- Dalam pengembangan -

Generalisasi Hiperkubus

sunting

- Dalam pengembangan -

Lihat pula

sunting

Catatan

sunting
  1. ^ Elte, E. L. (1912). "IV, Polytope semiregular lima dimensi". Polytope Semiregular dari RuangHiper. Belanda: University of Groningen. ISBN 141817968X. 
  2. ^ Coxeter 1973, hlm. 122-123, §7.2 lihat ilustrasi Gambar 7.2C.
  3. ^ Coxeter 1973, hlm. 122, §7·25.
  4. ^ Johnson, Norman W.; Geometri dan Transformasi, Cambridge University Press, 2018, p.224.

Referensi

sunting

Pranala luar

sunting