Identitas Brahmagupta

Dalam aljabar, identitas Brahmagupta menyatakan untuk $n$ yang diberikan, produk dari dua bilangan berbentuk $a^{2}+nb^{2}$ itu sendiri adalah bilangan dari bentuk tersebut. Dengan kata lain, himpunan bilangan tersebut adalah tertutup di bawah perkalian. Secara khusus:

${\begin{aligned}\left(a^{2}+nb^{2}\right)\left(c^{2}+nd^{2}\right)&{}=\left(ac-nbd\right)^{2}+n\left(ad+bc\right)^{2}&&&(1)\\&{}=\left(ac+nbd\right)^{2}+n\left(ad-bc\right)^{2},&&&(2)\end{aligned}}$

Baik (1) dan (2) dapat diverifikasi dengan pengembangan setiap sisi persamaan. Juga, (2) dapat diperoleh dari (1), atau (1) dari (2), dengan mengubah b menjadi −b.

Identitas ini berlaku baik dalam gelanggang bilangan bulat dan gelanggang bilangan rasional, dan khususnya dalam gelanggang komutatif mana pun.

Sejarah

Identitas adalah generalisasi dari apa yang disebut identitas Fibonacci (dimana n=1) yang sebenarnya ditemukan dalam Arithmetica Diophantus' (III, 19). Identitas tersebut ditemukan kembali oleh Brahmagupta (598–668), seorang matematikawan India dan astronom, yang menggeneralisasi dan menggunakannya dalam studinya tentang apa yang saat ini disebut persamaan Pell. Brahmasphutasiddhanta miliknya diterjemahkan dari Sansekerta ke Arab oleh Mohammad al-Fazari, dan kemudian diterjemahkan ke Latin pada tahun 1126. Identitas tersebut kemudian muncul dalam Book of Squares (Fibonacci) pada tahun 1225.

Penerapan persamaan Pell

Dalam konteks aslinya, Brahmagupta menerapkan penemuannya pada solusi dari apa yang kemudian disebut persamaan Pell, yaitu x² − Ny² = 1. Menggunakan identitas dalam formulir

$(x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},$

ia "menyusun" rangkap tiga (x₁, y₁, k₁) dan (x₂, y₂, k₂) itu adalah solusi dari x² − Ny² = k, untuk menghasilkan rangkap tiga baru

$(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2}\,,\,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\,,\,k_{1}k_{2}).$

Ini tidak hanya memberikan cara untuk menghasilkan banyak solusi untuk x² − Ny² = 1 dimulai dengan satu solusi, tetapi juga, dengan membagi komposisi tersebut dengan k₁k₂, solusi bilangan bulat atau "dekat bilangan bulat" sering kali diperoleh. Metode umum untuk menyelesaikan persamaan Pell yang diberikan oleh Bhaskara II pada tahun 1150, yaitu metode chakravala (siklik), juga didasarkan pada identitas ini.

Lihat pula

• Matriks Brahmagupta
• Identitas Brahmagupta–Fibonacci
• Rumus interpolasi Brahmagupta
• matematika India
• Daftar matematikawan India

Pranala luar

• Identitas Brahmagupta di PlanetMath
• Identitas Brahmagupta di MathWorld
• Kumpulan Identitas Aljabar