Perpangkatan bilangan dua

Perpangkatan bilangan dua, (atau perpangkatan angka dua, perpangkatan nilai dua) adalah bilangan dengan basis adalah 2 dan adalah bilangan bulat.

Ilustrasi perpangkatan bilangan dua, dimulai dari sampai dengan .

Ketika adalah bilangan bulat taknegatif[1] ― dengan kata lain, bilangan cacah ― maka perpangkatan bilangan dua merupakan bilangan basis 2 yang dikali sebanyak kali.

.

Tabel nilai

sunting

Tabel berikut merupakan nilai-nilai perpangkatan bilangan dua, untuk   adalah bilangan bulat taknegatif, dimulai dari 0 sampai dengan 22.

Tabel perpangkatan bilangan dua[OEIS 1]
                                               
   [nb 1]                                            

Tabel berikut juga merupakan nilai-nilai bilangan dua yang pangkatnya adalah perpangkatan bilangan dua, untuk   adalah bilangan bulat taknegatif, dimulai dari 0 sampai dengan 8.

Tabel bilangan dua yang pangkatnya adalah perpangkatan bilangan dua[OEIS 2]
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

Dalam aljabar

sunting
 
Diagram segitiga Pascal

Segitiga Pascal

sunting

Perpangkatan bilangan dua berkaitan dengan segitiga Pascal. Pada barisan pertama, jumlah bilangannya adalah   yang sama saja dengan  . Lalu dilanjutkan pada barisan kedua, jumlah bilangannya adalah  . Ini terus berlanjut hingga memperoleh pola untuk  , yaitu:

 .[2]

Dalam teori bilangan

sunting

Sistem bilangan biner

sunting

Perpangkatan bilangan dua dapat dipakai dalam sistem bilangan biner[3], yakni sistem bilangan yang terdiri dari digit "0" dan "1". Contoh hubungan sistem bilangan biner dengan Perpangkatan bilangan dua dapat dilihat di tabel bawah ini.

                         
                         
Bilangan biner                        

Seperti yang dilihat, jumlah digit dalam bilangan biner bergantung pada nilai  . Contohnya,   dikonversikan menjadi   dalam bilangan biner, dengan jumlah digit 0 adalah 1.   dikonversikan menjadi  , dengan jumlah digit 0 adalah 2. Hal ini terus berlanjut untuk   bilangan bulat taknegatif.

Bilangan Mersenne

sunting

Perpangkatan bilangan dua dapat diterapkan pada bilangan Mersenne, dengan bentuk  .[4] Jika   (dimana   bilangan prima), maka bilangan tersebut merupakan bilangan prima Mersenne, yakni  .

Bilangan prima terbesar yang diketahui

sunting

Saat ini, bilangan prima terbesar yang diketahui ditemukan oleh Great Internet Mersenne Prime Search (atau diabreviasikan sebagai GIMPS) merupakan bilangan prima yang terdiri dari 24.862.048 digit[5], yakni  .[6] Bilangan prima tersebut ditemukan pada September 2021.

Dalam teori himpunan

sunting
 
Pada gambar, terdapat tiga himpunan dengan anggota 1, 2, dan 3. Himpunan kuasanya adalah  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  , yang berjumlahkan delapan anggota. Ini dtuliskan sebagai  .

Himpunan kuasa

sunting

Perpangkatan bilangan dua berkaitan dengan himpunan kuasa   (dinotasikan  ), yaitu himpunan yang anggotanya merupakan subhimpunan   dengan banyak anggota himpunan kuasa   sama dengan dua dipangkatkan dengan jumlah anggota  .[7] Ini dituliskan secara matematis:

 .

Hipotesis kontinum

sunting

Dalam teori himpunan, hipotesis kontinum merupakan hipotesis yang dinyatakan dalam sebuah persamaan bilangan alef.

 .[8]

Kaitan dengan masalah yang belum terpecahkan

sunting
Misalkan  
   
   
   
   
   
   

Barisan keirasionalan

sunting

Perpangkatan bilangan dua juga berkaitan dengan masalah yang belum terpecahkan. Contohnya, bilangan  membentuk barisan keirasionalan, lihat tabel bilangan dua yang pangkatnya adalah perpangkatan bilangan dua. Maka, untuk setiap barisan bilangan bulat positif  , deret

 

konvergen menuju bilangan irasional. Karena   merupakan barisan dengan pertumbuhan tercepat, deret tersebut merupakan barisan keirasionalan dengan pertumbuhan terlambat yang diketahui.[9]

Lihat pula

sunting

Catatan kaki dan rujukan

sunting

Catatan kaki

sunting
  1. ^ Sudah pasti jelas bahwa suatu bilangan yang dipangkatkan 0 bernilai 1. Terkecuali untuk  . Lihat Eksponensiasi#Eksponen nol

Rujukan

sunting
  1. ^ Lipschutz, Seymour (1982). Schaum's Outline of Theory and Problems of Essential Computer Mathematics. New York: McGraw-Hill. hlm. 3. ISBN 0-07-037990-4. 
  2. ^ "Content - Pascal's triangle – the observations". amsi.org.au. Diakses tanggal 2021-12-25. 
  3. ^ "Open Textbooks | Siyavula". intl.siyavula.com. Diakses tanggal 2021-12-25. 
  4. ^ Weisstein, Eric W. "Mersenne Number". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-12-24. 
  5. ^ "Mersenne Prime Discovery - 2^82589933-1 is Prime!". www.mersenne.org. Diakses tanggal 2021-12-25. 
  6. ^ "51st Known Mersenne Prime Discovered". www.mersenne.org. Diakses tanggal 2021-12-25. 
  7. ^ "Himpunan Kuasa". maths.id. Diakses tanggal 25 Desember 2021. 
  8. ^ "Hipotesis kontinum | matematika". Hipotesis kontinum | matematika. 2020-10-12. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-12-25. Diakses tanggal 2021-12-25. 
  9. ^ Guy, Richard (2004-07-13). Unsolved Problems in Number Theory (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-20860-2. 
  1. ^ (barisan A000079 pada OEIS)
  2. ^ (barisan A001146 pada OEIS)