Lentera Schwarz

Dalam matematika, Lentera Schwarz atau dikenal juga sebagai Bot Schwarz, setelah matematikawan Hermann Schwarz) adalah contoh patologis dari kesulitan menentukan luas bidang (lengkung) permukaan sebagai batas luas polihedra. Permukaan lengkung yang dimaksud adalah bagian dari tabung lingkar kanan. Pendekatan polihedral deskret dianggap memiliki $2n$ sebagai "irisan" aksial. $2m$ simpul ditempatkan secara radial di sepanjang setiap irisan pada jarak melingkar pada $\pi /m$ dari satu orang ke orang lainnya. Yang penting, simpul ditempatkan sehingga bergeser secara bertahap $\pi /2m$ with each slice.

Lentera Schwarz dengan nilai $2n=6$ sebagai irisan aksial dan $2m=10$ simpul radial.

Hermann Schwarz menunjukkan hasil penemuan pada tahun 1880 bahwa peningkatan tersebut tidak cukup $m$ dan $n$ bila kita ingin luas permukaan dari polihedron menyatu dengan luas permukaan dari permukaan lengkung. Tergantung pada hubungan $m$ dan $n$ luas lentera dapat menyatu dengan luas tabung, hingga batas sewenang-wenang lebih besar dari luas tabung, hingga tak terbatas atau dengan kata lain menyimpang. Jadi, lentera Schwarz menunjukkan bahwa hanya menghubungkan simpul tertulis tidak cukup untuk memastikan konvergensi luas permukaan.

Animation of Schwarz lantern convergence (or lack thereof) for various refinement strategies.

Permukaan polihedral memiliki kemiripan dengan lentera kertas pada tabung.

Jumlah sudut di setiap titik sama dengan dua sudut datar ($2\pi$ radian). Konsekuensinya, lentera Schwarz dapat dilipat dari selembar kertas datar.

Hubungan dengan panjang busur dan luas permukaan

Dalam karya Archimedes sudah tampak bahwa panjang lingkaran dapat diperkirakan dengan panjang polihedra biasa yang tertulis atau dibatasi dalam lingkaran. Secara umum, untuk kehalusan atau kurva yang dapat diperbaiki panjangnya dapat didefinisikan sebagai supremum dari panjang kurva poligonal yang tertulis di dalamnya. Lentera Schwarz menunjukkan bahwa luas permukaan tidak dapat didefinisikan sebagai supremum permukaan polihedral tertulis.

Sejarah

Schwarz merancang konstruksinya sebagai contoh berlawanan dengan definisi yang keliru pada J. A. Serret pada buku berjudul Cours de calcul differentiel et integral, jilid kedua, halaman 296 edisi pertama atau halaman 298 edisi kedua, yang berbunyi:

Soit une portion de surface courbe terminee par un contour $C$; nous nommerons aire de cette surface la limite $S$ vers laquelle tend l'aire d'une surface polyedrale inscrite formee de faces triangulaires et terminee par un contour polygonal $\Gamma$ ayant pour limite le contour $C$.

Il faut demontrer que la limite $S$ existe et qu'elle est independante de la loi suivant laquelle decroissent les faces de la surface polyedrale inscrite'.

Dalam Bahasa Indonesia

Biarkan sebagian permukaan lengkung berakhir dengan sebuah kontur $C$; kami akan menyebut luas permukaan ini sebagai batas $S$ ke arah mana luas permukaan polihedron tertulis membentuk wajah segitiga dan diakhiri dengan kontur poligonal $\Gamma$ yang batasnya adalah kontur $C$.

Harus ditunjukkan bahwa batas $S$ ada dan tidak tergantung pada hukum yang menurutnya mengurangi permukaan polihedral yang tertulis.

Terlepas dari Schwarz, Giuseppe Peano menemukan counterexample yang sama ketika seorang murid gurunya Angelo Genocchi, yang sudah mengetahui tentang kesulitan dalam menentukan luas permukaan. Genocchi menginformasikan Charles Hermite, yang telah menggunakan definisi yang salah Serret dalam kursusnya. Setelah meminta rincian kepada Schwarz, Hermite merevisi kursusnya dan menerbitkan contoh tersebut di edisi kedua catatan kuliahnya (1883). Catatan asli dari Schwarz tidak diterbitkan sampai edisi kedua dari koleksi karyanya pada tahun 1890.

Batas luas

Jari-jari tabung melingkar lurus $r$ dan tinggi $t$ dapat diparameterisasi dalam sistem koordinat kartesius menggunakan persamaan

$x=r\cos(u)$

$y=r\sin(u)$

$z=v$

untuk $0\leq u\leq 2\pi$ dan $0\leq v\leq h$. Lentera Schwarz adalah polihedron dengan nilai $4mn$ pada wajah segitiga tertulis di tabung.

Simpul polihedron sesuai dalam parametrization ke titik

$u={\frac {2\mu \pi }{m}}$

$v={\frac {\nu h}{n}}$

and the points

$u={\frac {(2\mu +1)\pi }{m}}$

$v={\frac {(2\nu +1)h}{2n}}$

with $\mu =0,1,2,\ldots ,m-1$ dan $\nu =0,1,2,\ldots ,n-1$. Semua wajah adalah isosceles segitiga kongruen satu sama lain. Alas dan tinggi masing-masing segitiga ini memiliki panjang

$2r\sin \left({\frac {\pi }{m}}\right){\text{ dan }}{\sqrt {r^{2}\left[1-\cos \left({\frac {\pi }{m}}\right)\right]^{2}+\left({\frac {h}{2n}}\right)^{2}}}$

masing-masing. Maka ini memberikan total luas permukaan lentera Schwarz

$S(m,n)=4mnr\sin \left({\frac {\pi }{m}}\right){\sqrt {4r^{2}\sin ^{4}\left({\frac {\pi }{2m}}\right)+\left({\frac {h}{2n}}\right)^{2}}}$.

Menyederhanakan sinus saat $m\to \infty$

$S(m,n)\simeq 4\pi nr{\sqrt {\left({\frac {\pi ^{2}r}{2m^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {h}{2n}}\right)^{2}}}=2\pi r{\sqrt {\left(\pi ^{2}r{\frac {n}{m^{2}}}\right)^{2}+h^{2}}}$.

Dari rumus ini dapat disimpulkan bahwa:

1. Bila $n=am$ untuk beberapa hal yang konstan $a$, maka $S(m,am)\to 2\pi rh$ ketika $m\to \infty$. Batas ini adalah luas permukaan silinder tempat lentera Schwarz diukir.

Referensi

• Schwarz, H. A. (1890). Gesammelte Mathematische Abhandlungen von H. A. Schwarz. Verlag von Julius Springer. hlm. 309–311. 
• Dubrovsky, Vladimir (1991). "In search of a definition of surface area". Quantum. hlm. 6–9 and 64. 

Pranala luar

• https://www.cut-the-knot.org/Outline/Calculus/SchwarzLantern.shtml
• Article in Schwarz collected works
• V. Dubrovsky's article.
• Frieda Zames' article.