Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 01/8

Teorema Euklides–Euler adalah sebuah teorema dalam teori bilangan yang mengaitkan bilangan sempurna dengan bilangan prima Mersenne. Teorema ini mengatakan bahwa bilangan genap dikatakan sempurna jika dan hanya jika bilangan tersebut mempunyai bentuk 2^p−1(2^p − 1), dengan 2^p − 1 adalah bilangan prima. Teorema ini dinamai dari matematikawan bernama Euklides yang membuktikan aspek dari teorema "jika", dan Leonhard Euler yang membuktikan aspek dari teorema "hanya jika".

Teorema ini telah diduga bahwa ada tak berhingga banyaknya bilangan prima Mersenne. Walaupun kebenaran dari konjektur ini masih belum terungkap, tetapi menurut teorema Euklides–Euler, ini menyerupai dengan sebuah konjektur yang katanya ada tak berhingga banyaknya bilangan sempurna genap. Sayangnya, masih dibelum ketahui adakah bilangan sempurna ganjil yang tunggal.

Pernyataan dan contoh

Sebuah billngan sempurna adalah sebuah bilangan asli yang sama dengan jumlah dari pembagi wajarnya, dan bilangan-bilangan tersebut lebih dari kecilnya dan kemudian membaginya sama rata (sampai tidak ada sisa). Sebagai contoh, pembagi wajar dari 6 adalah 1, 2, dan 3, yang hasilnya menjadi 6 saat dijumlahkan. Dengan demikian, 6 adalah bilangan sempurna.

Sebuah bilangan prima Mersenne adalah sebuah bilangan prima yang berbentuk M_p = 2^p − 1, sebuah bilangan yang lebih kecil dari perpangkatan dari dua. Agar bilangan dari bentuk tersebut berupa bilangan prima, maka p sendiri juga harus bilangan prima, tetapi tak semua bilangan prima menghasilkan bilangan prima Mersenne melalui cara ini. Sebagai contoh, 2³ − 1 = 7 adalah bilangan prima Mersenne, sedangkan 2¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89 bukan.

Teorema Eukildes–Euler mengatakan bahwa sebuah bilangan asli genap disebut sempurna jika dan hanya jika bilangan tersebut berbentuk 2^p−1M_p, dengan M_p adalah bilangan prima Mersenne. Sebagai contoh, bilangan sempurna 6 didapatkan ketika memasukkan p = 2 ke 2²⁻¹M₂ = 2 × 3 = 6; dan memasukkan bilangan prima Mersenne 7 ke ekspresi yang serupa memperoleh bilangan sempurna 28.

Sejarah

Euklides membuktikan bahwa 2^p−1(2^p − 1) adalah sebuah bilangna prima genap dengan 2^p − 1 adalah bilangan prima. Bukti tersebut adalah hasil terakhir tentang teori bilangan dalam buku miliknya, Elements; buku terakhir di Elements melibatkan bilangan irasional, geometri padat, dan rasio emas. Eukildes mengemukakan hasilnya dengan mengatakan bahwa jika deret geometrik terhingga dimulai dari 1 dengan rasio 2 mempunyai jumlah bilangan prima q, maka jumlah tersebut yang dikalikan dengan suku terakhir t di deret tersebut dikatakan sempurna. Ketika mengekspresikan bentuk tersebut, jumlah q dari deret terhingga menghasilkan bilangan prima Mersenne 2^p − 1 dan suku terakhir t dalam deret tersebut merupakan perpangkatan dari dua 2^p−1. Euklides kemudian membuktikan bahwa qt dikatakan sempurna dengan mengamati deret geometrik dengan rasio 2 yang diawali dari q, dengan jumlah suku yang sama, sebanding dengan deret asli. Karena deret asli dijumlahkan sampai q = 2t − 1, maka deret kedua dijumlahkan sampai q(2t − 1) = 2qt − q, dan kedua deret tersebut ditambahkan sampai 2qt, dua kali dari bilangan sempurna sebelumnya. Akan tetapi, kedua deret tersebut terlepas dari satu sama lain serta (berdasarkan primalitas dari q) menghabiskan semua pembagi dari qt, sehingga qt mempunyai pembagi yang dijumlahkan sampai 2qt, dan ini diperlihatkan bahwa bilangannya sempurna.

Setelah Euklides membuktikannya selama bertahun-tahun, Alhazen menduga bahwa setiap bilangan sempurna genap merupakan bilangan berbentuk 2^p−1(2^p − 1) dengan 2^p − 1 bilangan prima, tetapi sayangnya ia belum daat membuktikan hasil tersebut. Hingga pada abad ke-18, lebih dari 2000 tahun setelah Euklides, Leonhard Euler membuktikan bahwa rumus 2^p−1(2^p − 1) akan menghasilkan bilangan sempurna genap. Jadi, bukti tersebut mempunyai kaitan antara bilangan sempurna genap dengan bilangan prima Mersenne, yang menyatakan masing-masing bilangan prima Mersenne menghasilkan sebuah bilangan sempurna genap, dan begitupula sebaliknya. Setelah Euler membuktikannya, banyak matematikawan lain telah menerbitkan bukti-bukti yang berbeda, di antaranya bukti Victor-Amédée Lebesgue, Robert Daniel Carmichael, Leonard Eugene Dickson, John Knopfmacher, dan Wayne L. McDaniel. Bukti Dickson khususnya sudah umum dipakai dalam buku cetak.

Teorema ini tercantum dalam sebuah situs yang memuat daftar dari "100 teorema matematika yang terkenal", dating from 1999, which later became used by Freek Wiedijk as a benchmark set to test the power of different proof assistants. Hingga 2021, the proof of the Euclid–Euler theorem had been formalized in 5 of the 10 proof assistants recorded by Wiedijk.

Proof

Euler's proof is short and depends on the fact that the sum of divisors function σ is multiplicative; that is, if a and b are any two relatively prime integers, then σ(ab) = σ(a)σ(b). For this formula to be valid, the sum of divisors of a number must include the number itself, not just the proper divisors. A number is perfect if and only if its sum of divisors is twice its value.

Sufficiency

One direction of the theorem (the part already proved by Euclid) immediately follows from the multiplicative property: every Mersenne prime gives rise to an even perfect number. When 2^p − 1 is prime, $\sigma (2^{p-1}(2^{p}-1))=\sigma (2^{p-1})\sigma (2^{p}-1).$ The divisors of 2^p−1 are 1, 2, 4, 8, ..., 2^p−1. The sum of these divisors is a geometric series whose sum is 2^p − 1. Next, since 2^p − 1 is prime, its only divisors are 1 and itself, so the sum of its divisors is 2^p.

Combining these, $${\begin{aligned}\sigma (2^{p-1}(2^{p}-1))&=\sigma (2^{p-1})\sigma (2^{p}-1)\\&=(2^{p}-1)(2^{p})\\&=2(2^{p-1})(2^{p}-1).\end{aligned}}$$ Therefore, 2^p−1(2^p − 1) is perfect.

Necessity

In the other direction, suppose that an even perfect number has been given, and partially factor it as 2^kx, where x is odd. For 2^kx to be perfect, the sum of its divisors must be twice its value:

$2^{k+1}x=\sigma (2^{k}x)=(2^{k+1}-1)\sigma (x).$

(∗)

The odd factor 2^k+1 − 1 on the right side of (∗) is at least 3, and it must divide x, the only odd factor on the left side, so y = x/(2^k+1 − 1) is a proper divisor of x. Dividing both sides of (∗) by the common factor 2^k+1 − 1 and taking into account the known divisors x and y of x gives

$2^{k+1}y=\sigma (x)=x+y+{}$other divisors${}=2^{k+1}y+{}$other divisors.

For this equality to be true, there can be no other divisors. Therefore, y must be 1, and x must be a prime of the form 2^k+1 − 1.