Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 01/9

Suatu potongan pada pizza dapat dinyatakan sebagai 1/8

Pecahan satuan (bahasa Inggris: unit fraction) adalah suatu pecahan bernilai positif yang terdiri atas pembilang bernilai 1, yakni 1/n. Pecahan satuan merupakan invers perkalian dari pembilang pecahan, yang pastinya merupakan bilangan asli positif. Contoh pecahan satuan adalah 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, dan seterusnya. Ketika suatu benda dibagi menjadi bagian yang sama, maka bagian yang sama tersebut merupakan pecahan satuan dari keseluruhan benda tersebut.

Ketika dua pecahan satuan dikalikan, maka dihasilkan pecahan satu yang lain. Akan tetapi, operasi aritmetika lainnya tidak berlaku hal yang serupa. Dalam aritmetika modular, pecahan satuan dapat diubah menjadi bilangan cacah yang sama, sehingga memungkinkan pembagian modular berubah menjadi bentuk perkalian. Setiap bilangan rasional dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari pecahan satuan yang berbeda, dan representasi tersebut dikenal dengan nama pecahan Mesir, yang didasari pada pemakaiannya dalam matematika Mesir kuno. Penjumlahan antara pecahans satuan yang tak berhingga banyaknya sangat berarti dalam matematika.

Dalam geometri, pecahan satuan dapat digunakan untuk mencirikan kelengkungan dari grup segitiga dan penyinggungan lingkaran Ford. Pecahan satuan biasanya digunakan pembagian adil (fair division), dan penerapan umum tersebut digunakan dalam edukasi matematika sebagai langkah awal untuk memahami pecahan lain. Pecahan satuan umumnya ditemukan dalam teori probabilitas karena prinsip indiferensi (principle of indifference). Pecahan satuan juga memiliki penerapannya dalam optimisasi kombinatorial dan dalam menganalisa pola frekuensi dalam rangkaian spektrum hidrogen.

Aritmetika

Pecahan satuan merupakan bilangan rasional yang dapat ditulis sebagai $${\frac {1}{n}},$$ dengan $n$ dapat berupa sebarang bilangan asli positif. Karena itu, pecahan satuan adalah invers perkalian dari bilangan bulat positif. Ketika suatu benda dibagi menjadi $n$ bagian yang sama, maka bagian tersebut adalah $1/n$ dari keseluruhan suatu benda.

Aritmetika dasar

Ketika mengalikan dua pecahan satuan, maka dihasilkan pecahan satuan yang lain: $${\frac {1}{x}}\times {\frac {1}{y}}={\frac {1}{xy}}.$$ Akan tetapi, ketika operasi perhitungan dari dua pecahan dilakukan pada penambahan, pengurangan, atau pembagian, maka dihasilkan pecahan yang bukan pecahan satuan: $${\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {x+y}{xy}}$$

$${\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}={\frac {y-x}{xy}}$$

$${\frac {1}{x}}\div {\frac {1}{y}}={\frac {y}{x}}.$$

Dari ketiga rumus di atas, setiap pecahan dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari dua pecahan satuan.

Aritmetika modular

Dalam aritmetika modular, sebarang pecahan satuan dapat diubah menjadi bilangan cacah yang ekuivalen dengan menggunakan algoritma Euklides diperluas. Pengubahan tersebut dapat digunakan untuk menghitung pembagian modular, yang berarti, dibagi oleh suatu bilangan $x$ dan modulo $y$ dapat dilakukan dengan mengubah pecahan satuan $1/x$ menjadi modulo bilangan cacah yang ekuivalen $y$, dan terus dikalikan oleh bilangan tersebut.

Untuk memahamai lebih lanjut, misalkan $x$ relatif prima dengan $y$ (jika tidak, pembagian oleh $x$ tidak didefinisikan modulo $y$). Algoritma Euklides diperluas untuk faktor persekutuan terbesar dapat digunakan untuk mencari bilangan bulat $a$ dan $b$ sehingga terpenuhilah identitas Bézout: $$\displaystyle ax+by=\gcd(x,y)=1.$$ Dalam aritmetika modulo-$y$ ini, suku $by$ dapat dihilangkan karena suku tersebut sama dengan nol modulo $y$. Ini menyisakan $$\displaystyle ax\equiv 1{\pmod {y}}.$$ Ini berarti, $a$ adalah invers modular $x$, bilangan yang ketika dikalikan oleh $x$ menghasilkan pecahan satuan $1/x$. Ini dapat ditulis juga sebagai, $$a\equiv {\frac {1}{x}}{\pmod {y}}.$$ Dengan demikian, pembagian oleh $x$ (modulo $y$) dapat dilakukan dengan mengalikannya oleh bilangan bulat $a$.

Kombinasi

Beberapa kontruksi dalam matematika melibatkan kombinasi dari kelipatan pecahan satuan, yang seringkali dilakukan dengan menambahkannya.

Penjumlahan terhingga

Lihat pula: Daftar penjumlahan invers perkalian § Suku dengan terhingga banyaknya

Sebarang bilangan rasional positif dapat ditulis sebagai penjumlahan dari pecahan satuan yang berbeda. Hal tersebut dilakukan dengan berbagai cara. Sebagai contoh, $${\frac {4}{5}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{10}}.$$ Penjumlahan yang di atas ini dikenal dengan sebutan pecahan Mesir, karena orang-orang Mesir pada zaman dahulu menggunakannya sebagai notasi untuk bilangan rasional yang lebih umum. Hingga saat ini, masih ada yang tertarik menganalisis metode yang digunakan oleh orang-orang kuno untuk memilih representasi yang mungkin untuk bilangan berupa pecahan, dan menghitung dengan representasi pecahan tersebut. Topik pecahan Mesir bahkan juga menjadi perhatian dalam cabang teori bilangan modern; contohnya konjektur Erdős–Graham dan konjektur Erdős–Straus yang melibatkan penjumlahan dari pecahan satuan, sama seperti untuk definisi bilangan harmonik Ore.

Sebuah pola segitiga sferis dengan simetri refleksi di lintasan sisi segitiga. Pola refleksi sferis tersebut dengan $2x$, $2y$, and $2z$ segitiga di masing-masing titik sudut (disini, $x,y,z=2,3,5$) hanya ada saat ${\tfrac {1}{x}}+{\tfrac {1}{y}}+{\tfrac {1}{z}}>1$.

Dalam teori grup geometrik, grup segitiga digolongkan menjadi kasus Euklides, sferis, dan hiperbolik. Syarat-syarat pada ketiga kasus itu masing-masing berkaitan dengan penjumlahan dari pecahan satuan yang sama dengan satu, lebih besar daripada satu, atau lebih kecil daripada satu.

Deret tak terhingga

Lihat pula: Daftar penjumlahan invers perkalian § Suku dengan tak berhingga banyaknya

Ada banyak deret tak terhingga yang memiliki suku berupa pecahans satuan. Deret-deret tersebut di antaranya adalah:

• Deret harmonik, penjumlahan dari semua pecahan satuan positif. Deret ini menuju ke divergen, dan jumlah parsialnya $${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}$$hampir mendekati ke logaritma alami dari $n$ ditambah konstanta Euler–Mascheroni. Jika setiap operasi penambahan lain diganti dengan operasi pengurangan, maka yang dihasilkan adalah deret harmonik selang-seling, yang hasilnya sama dengan logaritma alami dari 2: $$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots =\ln 2.$$
• Rumus Leibniz untuk π, yang dinyatakan sebagai $$1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}.$$
• Masalah Basel, yang melibatkan penjumlahan dari pecahan satuan yang dikuadratkan: $$1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}.$$ Sama seperti dengan penjumlahan tersebut, konstanta Apéry adalah bilangan irasonal yang dihasilkan dari penjumlahan dari pecahan satuan yang dipangkatkan dengan tiga.
• Deret geometrik biner, yang dinyatakan sebagai $$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =2.$$

Matriks

Matriks Hilbert adalah matriks bujur sangkar, yang di dalamnya semua anggota di antidiagonal ke-$i$ merupakan pecahan satuan $1/i$. Ini berarti, matriks Hilbert memiliki anggota $$B_{i,j}={\frac {1}{i+j-1}}.$$ Sebagai contoh, matriks $${\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\end{bmatrix}}$$ adalah matriks Hilbert. Matriks ini memiliki sifat yang tidak seperti biasa: semua anggota di dalam matriks inversnya bilangan bulat. Hasil yang serupa didapatkan dalam (Richardson 2001), yang mendefinisikan matriks yang anggotanya adalah pecahan satuan dengan penyebutnya adalah bilangan Fibonacci: $$C_{i,j}={\frac {1}{F_{i+j-1}}}.$$ Disini, $F_{i}$ melambangkan bilangan Fibonacci ke-$i$. Richardson menyebutnya "matriks Filbert" dan matriks tersebut memiliki sifat yang sama.

Sifat damping dan lingkaran Ford

Fractions with tangent Ford circles differ by a unit fraction

dua pecahan (yang tidak dapat disederhanakan) $a/b$ dan $c/d$ dikatakan adjacent apabila $$ad-bc=\pm 1.$$ Ini mengimplikasikan bahwa kedua pecahan tersebut berbeda dari satu sama lain melalui pecahan satuan: $$\left|{\frac {1}{a}}-{\frac {1}{b}}\right|={\frac {|ad-bc|}{bd}}={\frac {1}{bd}}.$$ Sebagai contoh, ${\tfrac {1}{2}}$ dan ${\tfrac {3}{5}}$ dikatakan adjacent: $1\cdot 5-2\cdot 3=-1$ dan ${\tfrac {3}{5}}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{10}}$. Akan tetapi, beberapa pasangan pecahan yang selisihnya merupakan pecahan satuan tidak damping. Sebagai contoh, ${\tfrac {1}{3}}$ dan ${\tfrac {2}{3}}$ dikatakan tidak damping, karena $ad-bc=3$.

Penggunaan istilah tersebut berasal dari kajian lingkaran Ford, yang digunakan untuk sistem lingkaran yang bersinggung dengan garis bilangan di sebuah pecahan yang diketahui, dan menguadratkan penyebut pecahan sebagai diameternya. Pecahan $a/b$ dan $c/d$ adalah adjacent jika dan hanya jika lingkaran Ford adalah lingkaran singgung.

Penerapan

Pembagian secara adil dan pendidikan matematika

Dalam pendidikan matematika, pecahan satuan sering kali diperkenalkan lebih awal dibandingkan jenis-jenis pecahan lainnya, karena dapat menjelaskan pemahamannya sebagai bagian dari keseluruhan suatu benda. Contoh penerapan yang sering dipakai untuk mengajarkan pecahan satuan adalah dengan membagi suatu makanan kepada. Pembagian makanan kepada tiap-tiap orang, dan beberapa latihan soal yang melibatkan pembagian secara adil merupakan contoh penerapan pecahan satuan dalam mengajarkan murid-murid di kelas.

Peluang dan statistika

Sebuah dadu bersisi enam memiliki peluang 1/6 saat melemparkannya dan mendarat pada tiap sisinya

Dalam distribusi seragam tentang ruang diskret, semua peluangnya sama dengan pecahan satuan. Karena adanya principle of indifference, probabilitas dari bentnuk tersebut sering kali muncul dalam perhitungan statistik.

Probabilitas tidak sama yang berkaitan dengan pecahan satuan muncul dalam hukum Zipf. Hukum tersebut berbunyi bahwa, untuk banyak fenomena yang diamati melibatkan pemilihan item dari suatu barisan terurut, peluang bahwa item ke-$n$ yang dipilih sebanding dengan pecahan satuan $1/n$.

Combinatorial optimization

In the study of combinatorial optimization problems, bin packing problems involve an input sequence of items with fractional sizes, which must be placed into bins whose capacity (the total size of items placed into each bin) is one. Research into these problems has included the study of restricted bin packing problems where the item sizes are unit fractions.

One motivation for this is as a test case for more general bin packing methods. Another involves a form of pinwheel scheduling, in which a collection of messages of equal length must each be repeatedly broadcast on a limited number of communication channels, with each message having a maximum delay between the start times of its repeated broadcasts. An item whose delay is $k$ times the length of a message must occupy a fraction of at least $1/k$ of the time slots on the channel it is assigned to, so a solution to the scheduling problem can only come from a solution to the unit fraction bin packing problem with the channels as bins and the fractions $1/k$ as item sizes.

Even for bin packing problems with arbitrary item sizes, it can be helpful to round each item size up to the next larger unit fraction, and then apply a bin packing algorithm specialized for unit fraction sizes. In particular, the harmonic bin packing method does exactly this, and then packs each bin using items of only a single rounded unit fraction size.

Fisika

Barisan spektral hidrogen pada spiral logaritmik. Frekuensi dari garis pancaran sebanding dengan selisih antara pasangan dari pecahan satuan.

Menurut rumus Rydberg, tingkat energi foton yang diserap ataupun dipancarkan oleh atom hidrogen sebanding dengan selisih dari dua pecahan satuan. Fenoeman tersebut dapat dijelaskan melalui model Bohr, yang berbunyi bahwa tingkat energi dari orbital elektron di sebuah atom hidrogen secara invers sebanding dengan pecahan satuan yang dikuadratkan, dan energi suatu foton dikuantisasi dengan selisih antara dua tingkat aras.

Arthur Eddington berpendapat bahwa konstanta struktur halus adalah sebuah pecahan satuan. Arthur awalnya menduga bahwa konstantanya adalah 1/136, tetapi teorinya diubahkan menjadi 1/137. Pendapat tersebut tidak dibenarkan, sebab pendekatan konstanta struktur halus saat ini, yang dibulatkan hingga enam digit ke belakang) adalah 1/137.036.

See also

• 17-animal inheritance puzzle, a puzzle involving fair division into unit fractions
• Submultiple, a number that produces a unit fraction when used as the numerator with a given denominator
• Superparticular ratio, one plus a unit fraction, important in musical harmony