Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 14

Sebuah operasi $\circ$ dikatakan komutatif jika dan hanya jika $x\circ y=y\circ x$ untuk setiap $x$ dan $y$. Gambar berikut mengilustrasikan sifat komutatif melalui konsep suatu operasi yang disebut sebagai "mesin perhitungan". Urutan argumen yang dimulai dari $x$ menghasilkan nilai keluar $x\circ y$ atau sebaliknya. Tidak masalah bila urutannya tertukar, yang penting hasil nilai keluarannya sama.

Dalam matematika, sebuah operasi biner disebut komutatif jika urutan operan ditukar, maka hasil perhitungannya tidak berubah. Sifat ini merupakan sebuah sifat dasar yang terdapat dalam banyaknya operasi biner, dan sifat ini dipakai dalam banyak bukti-bukti dalam matematika.

Selama bertahun-tahun, ada gagasan yang tidak memandang secara langsung bahwa operasi sederhana seperti perkalian dan penambahan dikatakan komutatif. Jadi, sifat ini tidak dinamai hingga ketika para matematikawan menamainya secara resmi pada abad ke-19.

Sifat komutatif seringkali dijelaskan namanya melalui contoh seperti "3 + 4 = 4 + 3" atau "2 × 5 = 5 × 2", namun sifat komutatif juga dapat dipakai dalam penerapan tingkat lanjut lainnya. Namanya diperlukan karena ada operasi seperti pembagian dan pengurangan yang tidak mempunyai sifat tersebut (sebagai contoh, "3 − 5 ≠ 5 − 3"), sehingga operasi tersebut bukan komutatif, melainkan disebut sebagai operasi nonkomutatif.

Definisi

Misalkan $x$ dan $y$ adalah elemen di himpunan $S$, dan $*$ adalah operasi biner di $S$ pula. Operasi $*$ dikatakan komutatif jika

$$x*y=y*x$$

untuk semua $x$ dan $y$ di $S$.. Operasi disebut komutatif jika setiap pasangan elemen bersifat komutatif. Dengan kata lain, elemen $x$ komutatif dengan $y$ atau $x$ dan $y$ komutatif terhadap operasi $*$ jika $x*y=y*x$. Adapun fungsi simetri merupakan fungsi yang didefinisikan sebagai berikut: fungsi biner $f\colon S\times S\to T$ dikatakan komutatif jika $f(x,y)=f(y,x)$ untuk semua $x$ dan $y$ di $S$.

Sejarah dan etimologi

Istilah commutatives pertama kali dipakai dalam French Journal yang diterbitikan pada tahun 1814.

Sejarah mencatat pemakaian sifat komutatif dimulai dari sejak zaman kuno. Orang-orang Mesir menggunakan sifat komutatif dari perkalian untuk menghitung hasil kali dengan mudah. Euklides telah mengasumsi sifat komutatif dari perkalian dalam karyanya Elemen. Pemakaian sifat komutatif yang formal muncul sejak akhir abad ke-18 dan awal abad ke-19, ketika para matematikawan mulai mengerjakan teori fungsi. Sifat komutatif yang merupakan sifat dasar yang terkenal, dipakai dalam hampir semua cabang matematika saat ini.

Pemakaian istilah komutatif pertama kali tercatat dalam sebuah memoar milik François Servois pada tahun 1814, yang menggunakan kata commutatives saat menjelaskan fungsi yang saat ini dikenal sebagai sifat komutatif. Kata tersebut merupakan gabungan dari kata Perancis, commuter, yang berarti "menukar" dan akhir kata -ative dalam bahasa Inggris, yang berarti "bersifat". Jadi, kata tersebut berarti "bersifat menukar". Kata ini terdapat di dalam artikel berjudul On the real nature of symbolical algebra milik Duncan Gregory, yang diterbitkan pada tahun 1840 di Transactions of the Royal Society of Edinburgh.

Contoh

Penambahan dari vektor bersifat komutatif, karena ${\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}$.

Dalam matematika, sifat komutatif pada operasi biner dapat dijelaskan melalui contoh berikut:

• Operasi penambahan dari bilangan real bersifat komutatif, karena $x+y=y+x$, untuk semua $x$ dan $y$ di himpunan bilangan real. Contohnya seperti, 4 + 5 = 5 + 4 bersifat komutatif karena kedua ekspresi tersebut sama-sama bernilai 9. Hal yang serupa untuk perkalian dari bilangan real bersifat komutatif, karena $x\cdot y=y\cdot x$, untuk semua $x$ dan $y$ di himpunan bilangan real. Contohnya seperti, 3 × 5 = 5 × 3, karena kedua ekspresi tersebut sama-sama bernilai 15.
• Ada beberapa fungsi kebenaran biner juga mempunyai sifat komutatif, karena tabel kebenaran untuk fungsi adalah sama ketika urutan operand diubah. Contohnya seperti fungsi bikondisional logika $p\leftrightarrow q$ yang ekuivalen dengan $q\leftrightarrow p$, atau juga ditulis sebagai p IFF q, p ≡ q, atau Epq.
• Contoh lebih lanjut yang melibatkan operasi biner yang bersifat komutatif adalah operasi penambahan dan perkalian dari bilangan kompleks, penambahan dan perkalian skalar dari vektor, serta irisan dan gabungan dari himpunan.

Operasi biner juga mempunyai sifat yang tidak komutatif. Operasi tersebut di antaranya:

• Operasi pengurangan karena setiap bilangan yang dihitung tidaklah sama, sebagai contoh, 3 − 5 ≠ 5 − 3, karena kedua ekspresi tersebut tidak bernilai sama, Hal yang serupa untuk pembagian dan eksponensiasi.

A	B	A ⇒ B	B ⇒ A
F	F	T	T
F	T	T	F
T	F	F	T
T	T	T	T

• Ada beberapa fungsi tabel yang bersifat takkomutatif, karena tabel kebenaran untuk fungsi tersebut tidak sama ketika urutan operand diubah. Contoh tabel fungsi untuk (A ⇒ B) = (¬A ∨ B) dan (B ⇒ A) = (A ∨ ¬B) dapat dilihat pada tabel.
• Hampir semua komposisi fungsi dari fungsi linear yang dipetakan dari bilangan real ke bilangan real adalah takkomutatif. Sebagai contoh, misalkan $f(x)=2x+1$ dan $g(x)=3x+7$, maka $(f\circ g)(x)=f(g(x))=2(3x+7)+1=6x+15$ dan $(g\circ f)(x)=g(f(x))=3(2x+1)+7=6x+10$. Mirip dengan sebelumnya, linear dan transformasi afin dari ruang vektor ke dirinya sendiri adalah takkomutatif. Contohnya seperti pada perkalian matriks dari matriks persegi berikut:

${\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}$

• Dalam ruang tiga dimensi, hasil kali vektor (atau darab bintik) dari dua vektor didefinisikan sebagai vektor yang tegak lurus dengan bidang dan tanda pada vektor berubah saat ditukar. Karena itu, ia merupakan antikomutatif.

Komutatif dalam berbagai bidang

Logika proposisional

Dalam logika proposisional fungsional kebenaran, komutasi, atau komutatitivitas mengacu pada kaidah penggantian yang valid. Dalam pembuktian logika, kaidah-kaidah tersebut dimungkinkan untuk mentranspos variabel proposisional dalam bentuk ekspresi logika, yang mengatakan $(P\lor Q)\Leftrightarrow (Q\lor P)$ dan$(P\land Q)\Leftrightarrow (Q\land P)$, dengan "$\Leftrightarrow$" adalah simbol metalogika yang menyatakan "sesuatu yang dapat digantikan dalam pembuktian dengan...".

Komutativitas dalam perangkai fungsional kebenaran
Komutativitas dari konjungsi	$(P\land Q)\leftrightarrow (Q\land P)$
Komutativitas dari disjungsi	$(P\lor Q)\leftrightarrow (Q\lor P)$
Komutativitas dari implikasi	$(P\to (Q\to R))\leftrightarrow (Q\to (P\to R))$
Komutativitas dari ekuivalensi	$(P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow (Q\leftrightarrow P)$

Dalam perangkai fungsional kebenaran, komutativitas merupakan sifat yang terdapat pada perangkai logika dari logika proposisional fungsional kebenaran. ekuvalensi logika yang menjelaskan bahwa komutativitas merupakan sifat dari perangkai khusus dapat dilihat pada tabel.

Lain-lain

Dalam grup dan teori himpunan, banyak struktur aljabar disebut komutatif saat operan-operan memenuhi sifat komutatif. Dalam cabang matematika tingkat tinggi seperti analisis dan aljabar linear, komutativitas dari operasi yang terkenal seperti penambahan dan perkalian pada bilangan real dan kompleks seringkali dipakai atau diasumsi secara implisit dalam pembuktian.

Dalam aljabar abstrak, komutativitas dapat ditemukan pada struktur aljabar lain. Contohnya seperti, semigrup gelanggang, struktur matematika yang menjelaskan bahwa himpunan yang mempunyai operasi yang bersifat asosiatif dan komutatif. Monoid komutatif, struktur aljabar monoid yang dikatakan bersifat komutatif jika operasi tambahan mempunyai elemen identitas. Grup Abel (atau grup komutatif) mempunyai operasi grup yang bersifat komutatif. Gelanggang komutatif merupakan gelanggang yang mempunyai operasi penambahan dan perkalian yang bersifat komutatif. Penambahan dan perkalian dalam medan mempunyai sifat komutatif.

Sifat yang berkaitan

Sifat komutatif berkaitan dengan sifat yang lain. Sifat asosiatif adalah salah satu sifat yang sangat terkait erat dengan sifat komutatif, dengan sifat dari ekspresi yang mempunyai dua kejadian atau lebih dari operator yang sama mengatakan bahwa perhitungan pada urutan operasi tidak mengubah hasil akhir, asalkan tidak ada perubahan pada urutan suku. Sifat komutatif mengatakan sebaliknya, bahwa urutan suku tidak mengubah hasil akhir.

Sifat komutatif juga berkaitan dengan sifat distributif, sebuah sifat yang mengalikan suku ke penjumlahan suku yang terdapat di dalam tanda kurung.

Graph showing the symmetry of the addition function

Ada beberapa bentuk yang simetri dapat dikaitkan langsung ke komutativitas. Ketika operasi komutatif ditulis sebagai sebuah fungsi biner $z=f(x,y)$, maka fungsi ini disebut fungsi simetrik, dan grafiknya dalam ruang dimensi tiga simetrik di sekitar bidang $y=x$. Sebagai contoh, jika fungsi $f$ didefinisikan sebagai $f(x,y)=x+y$, maka $f$ adalah fungsi simetrik.

For relations, a symmetric relation is analogous to a commutative operation, in that if a relation R is symmetric, then $aRb\Leftrightarrow bRa$.

Operator yang tidak komutatif dalam mekanika kuantum

Artikel utama: Canonical commutation relation

In quantum mechanics as formulated by Schrödinger, physical variables are represented by linear operators such as $x$ (meaning multiply by $x$), and ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$. These two operators do not commute as may be seen by considering the effect of their compositions ${\textstyle x{\frac {d}{dx}}}$ and ${\textstyle {\frac {d}{dx}}x}$ (also called products of operators) on a one-dimensional wave function $\psi (x)$:

$x\cdot {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\psi =x\cdot \psi '\ \neq \ \psi +x\cdot \psi '={\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\left(x\cdot \psi \right)$

According to the uncertainty principle of Heisenberg, if the two operators representing a pair of variables do not commute, then that pair of variables are mutually complementary, which means they cannot be simultaneously measured or known precisely. For example, the position and the linear momentum in the $x$-direction of a particle are represented by the operators $x$ and $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}$, respectively (where $\hbar$ is the reduced Planck constant). This is the same example except for the constant $-i\hbar$, so again the operators do not commute and the physical meaning is that the position and linear momentum in a given direction are complementary.

Lihat pula

• Anticommutative property

Referensi

• Axler, Sheldon (1997). Linear Algebra Done Right, 2e. Springer. ISBN 0-387-98258-2. 
• Alcock, Lara. How to Study as a Mathematics Major. 
• Baylis, William E. Theoretical Methods in the Physical Sciences. ISBN 978-1-4612-0275-2. 
• Bodirisky, Manuel. Complexity of Infinite-Domain Constraint Satisfaction. 
• Copi, Irving M.; Cohen, Carl (2005). Introduction to Logic (edisi ke-12th). Prentice Hall. ISBN 9780131898349. 
• Gallian, Joseph (2006). Contemporary Abstract Algebra (edisi ke-6e). Houghton Mifflin. ISBN 0-618-51471-6. 
• Hurley, Patrick J.; Watson, Lori (2016). A Concise Introduction to Logic (edisi ke-12th). Cengage Learning. ISBN 978-1-337-51478-1. 
• Goodman, Frederick (2003). Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry (edisi ke-2e). Prentice Hall. ISBN 0-13-067342-0. 
• Pal, Palash B. A Pyhsicists's Introduction to Algebraic Structures. 

Artikel

• Lumpkin, B. (1997). "The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt — A Response To Robert Palter" (PDF) (Unpublished manuscript). Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 13 July 2007. 
• Gay, Robins R.; Shute, Charles C. D. (1987). The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. British Museum. ISBN 0-7141-0944-4. 

Sumber daring

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Commutativity", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Krowne, Aaron, Commutative di PlanetMath., Accessed 8 August 2007.
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Commute". MathWorld. , Accessed 8 August 2007.
• "Yark".  Examples of non-commutative operations di PlanetMath., Accessed 8 August 2007
• O'Conner, J.J.; Robertson, E.F. "History of real numbers". MacTutor. Diakses tanggal 8 August 2007. 
• Cabillón, Julio; Miller, Jeff. "Earliest Known Uses Of Mathematical Terms". Diakses tanggal 22 November 2008. 
• O'Conner, J.J.; Robertson, E.F. "biography of François Servois". MacTutor. Diakses tanggal 8 August 2007. 

  Biography of Francois Servois, who first used the term