Rumus Vieta untuk Pi

Dalam matematika, rumus Vieta untuk pi adalah perkalian takhingga akar kuadrat tersarang yang sama dengan dua kali invers (kebalikan) konstanta $π$ : ${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots$ Untuk memudahkan, ungkapan di atas dapat dinyatakan sebagai ${\frac {2}{\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {\pi }{2^{n+1}}}.$ Nama rumus tersebut diambil dari François Viète yang memperkenalkannya pada tahun 1593.^[1] Dalam sejarah matematika Eropa, rumus tersebut merupakan yang pertama menggunakan konsep takhingga.^[2] Oleh karena itu, rumus tersebut dapat secara ketat dinyatakan sebagai limit suatu ungkapan.^[3] Selain itu, penggunaan konsep takhingga pada rumus tersebut menandai awal berdirinya analisis matematika. Rumus tersebut memiliki laju konvergensi linier dalam menghitung konstanta $π$ .^[4] Di samping rumus tersebut, ada banyak rumus sebelum dan sesudahnya dengan keakuratan lebih baik dalam menghitung konstanta tersebut. Selain digunakan untuk menghitung konstanta tersebut, rumus tersebut juga digunakan dalam perhitungan sifat pegas dan massa.^[5] Lebih lanjut, rumus tersebut merupakan contoh tersirat pertama tentang konsep keindependenan statistik.

Rumus tersebut dapat diperoleh sebagai perkalian takhingga yang berteleskop menuju luas atau keliling poligon pada sebuah lingkaran. Di samping itu, generalisasi rumus tersebut dapat diperoleh dengan menyubtitusi secara berulang rumus setengah rangkap trigonometri, penemuan Leonhard Euler, yang salah satu bentuknya merupakan rumus Vieta. Di samping rumus Vieta, ada banyak rumus lain yang menggunakan akar kuadrat tersarang.

Referensi

^ Beckmann, Petr (1971). A History of $π$ (dalam bahasa Inggris) (edisi ke-2). Boulder, Colorado: The Golem Press. hlm. 94–95. ISBN 978-0-88029-418-8. MR 0449960.
^ Maor, Eli (2011). Trigonometric Delights (dalam bahasa Inggris). Princeton, New Jersey: Princeton University Press. hlm. 50, 140. ISBN 978-1-4008-4282-7.
^ Eymard, Pierre; Lafon, Jean Pierre (2004). "2.1 Viète's infinite product". The Number pi (dalam bahasa Inggris). Diterjemahkan oleh Wilson, Stephen S. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. hlm. 44–46. ISBN 978-0-8218-3246-2. MR 2036595.
^ Kreminski, Rick (2008). " $π$ to thousands of digits from Vieta's formula". Mathematics Magazine (dalam bahasa Inggris). 81 (3): 201–207. doi:10.1080/0025570X.2008.11953549. JSTOR 27643107.
^ Cullerne, J. P.; Goekjian, M. C. Dunn (December 2011). "Teaching wave propagation and the emergence of Viète's formula". Physics Education (dalam bahasa Inggris). 47 (1): 87–91. doi:10.1088/0031-9120/47/1/87.

[beckmann-1] Beckmann, Petr (1971). A History of $π$ (dalam bahasa Inggris) (edisi ke-2). Boulder, Colorado: The Golem Press. hlm. 94–95. ISBN 978-0-88029-418-8. MR 0449960.

[maor-2] Maor, Eli (2011). Trigonometric Delights (dalam bahasa Inggris). Princeton, New Jersey: Princeton University Press. hlm. 50, 140. ISBN 978-1-4008-4282-7.

[eymlaf-3] Eymard, Pierre; Lafon, Jean Pierre (2004). "2.1 Viète's infinite product". The Number pi (dalam bahasa Inggris). Diterjemahkan oleh Wilson, Stephen S. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. hlm. 44–46. ISBN 978-0-8218-3246-2. MR 2036595.

[kreminski-4] Kreminski, Rick (2008). " $π$ to thousands of digits from Vieta's formula". Mathematics Magazine (dalam bahasa Inggris). 81 (3): 201–207. doi:10.1080/0025570X.2008.11953549. JSTOR 27643107.

[cullerne-5] Cullerne, J. P.; Goekjian, M. C. Dunn (December 2011). "Teaching wave propagation and the emergence of Viète's formula". Physics Education (dalam bahasa Inggris). 47 (1): 87–91. doi:10.1088/0031-9120/47/1/87.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]