Sifat universal

sifat penting yang dipenuhi oleh morfisme universal

Dalam teori kategori, cabang dari matematika, sifat universal adalah sifat penting yang dipenuhi oleh morfisme universal (lihat Definisi Formal). Morfisme universal juga dapat dianggap lebih abstrak sebagai objek awal atau terminal dari kategori koma (lihat Relasi dengan Kategori Koma). Properti universal terjadi hampir di semua tempat dalam matematika, dan karenanya konsep teoretis kategori yang tepat membantu menunjukkan persamaan antara berbagai cabang matematika.

Diagram khas dari definisi morfisme universal.

Sifat universal dapat digunakan di bidang matematika lain secara implisit, tetapi definisi abstrak dan dipelajari dalam teori kategori.

Artikel ini memberikan perawatan umum tentang sifat universal. Untuk memahami konsepnya, ada baiknya mempelajari beberapa contoh terlebih dahulu, yang jumlahnya banyak: semua objek gratis, produk langsung dan jumlah langsung, grup bebas, kisi bebas, grup Grothendieck, komplesi Dedekind–MacNeille, topologi produk, komplikasi Stone–Čech, produk tensor, limit invers dan limit langsung, kernel dan kokernel, kembali, keluar dan ekualiser.

Motivasi

sunting

Sebelum memberikan definisi formal tentang sifat universal, kami menawarkan beberapa motivasi untuk mempelajari konstruksi.

  • Detail konkret dari suatu konstruksi, tetapi jika konstruksinya memenuhi sifat universal, detail tersebut: semua yang perlu diketahui tentang konstruksi sudah terkandung dalam sifat universal. Bukti sering kali menjadi singkat dan elegan jika menggunakan sifat universal daripada detail konkret. Misalnya, aljabar tensor dari sebuah ruang vektor agak sulit untuk dibuat, tetapi menggunakan sifat universal membuatnya lebih mudah untuk ditangani.
  • Properti universal mendefinisikan objek secara hingga isomorfisme.[1] Oleh karena itu, salah satu strategi untuk membuktikan bahwa dua objek isomorfik adalah dengan menunjukkan bahwa sifat universal yang sama.
  • Konstruksi universal bersifat fungsional: jika seseorang dapat melaksanakan konstruksi untuk setiap objek dalam kategori C maka seseorang memperoleh funktor pada C . Lebih lanjut, functor ini adalah adjoin kanan atau kiri ke functor U yang digunakan dalam definisi sifat universal.[2]
  • Sifat universal terjadi di mana-mana dalam matematika. Dengan memahami sifat abstraknya, seseorang memperoleh informasi tentang semua konstruksi ini dan dapat menghindari pengulangan analisis yang sama untuk setiap contoh individu.

Definisi formal

sunting

Untuk memahami definisi konstruksi universal, penting untuk melihat contoh. Konstruksi universal tidak ditentukan begitu saja, tetapi ditentukan setelah matematikawan mulai memperhatikan pola dalam banyak konstruksi matematika (lihat Contoh di bawah). Oleh karena itu, definisi tersebut mungkin tidak masuk akal bagi seseorang pada awalnya, tetapi akan menjadi jelas ketika seseorang menggabungkannya dengan contoh konkret.

Maka   menjadi fungsi antara kategori   dan  . Selanjutnya, misalkan   menjadi objek  , sedangkan   dan   adalah objek  .

Jadi, funktor   memetakan  ,   dan   pada   ke  ,   dan   dalam  .

Morfisme universal dari   hingga   adalah   dengan   yang memiliki sifat berikut, biasanya disebut sebagai sifat universal. Untuk morfisme bentuk   di  , terdapat morfisme   sedemikian rupa sehingga diagram berikut perjalanan:

 
Diagram khas dari definisi morfisme universal.

Kita bisa menggandakan konsep kategoris ini. Sebuah morfisme universal dari   hingga   adalah   yang memenuhi sifat universal berikut. Untuk morfisme bentuk   in  , morfisme   sedemikian rupa sehingga diagram berikut ini berjalan:

 
Panah terpenting di sini adalah   yang menetapkan sifat universal.

Perhatikan bahwa di setiap definisi, panah dibalik. Kedua definisi tersebut diperlukan untuk menjelaskan konstruksi universal yang muncul dalam matematika; tetapi mereka juga muncul karena dualitas inheren yang ada dalam teori kategori. Dalam kedua kasus, bahwa   di atas memenuhi sifat universal.

Sebagai catatan tambahan, beberapa penulis menyajikan diagram kedua sebagai berikut.

 
Representasi diagram alternatif dari definisi kedua dari morfisme universal.

Tentu saja, diagramnya sama; memilih cara menulis adalah soal selera. Mereka hanya berbeda dengan rotasi 180°. Akan tetapi, diagram asli lebih disukai, karena menggambarkan dualitas antara dua definisi, karena jelas bahwa panah invers dalam setiap kasus.

Relasi dengan Kategori Koma

sunting

Morfisme universal dapat dijelaskan lebih ringkas sebagai objek awal dan terminal dalam kategori koma.

Maka   menjadi funktor dan   sebuah objek dari  . Kemudian bahwa kategori koma   adalah kategori dimana

  • Objek adalah pasangan bentuk  , di mana   adalah sebuah objek  
  • Morfisme dari   ke   morfisme   dengan   sehingga diagram:
 
Morfisme dalam kategori koma diberikan oleh morfisme   yang juga membuat diagram.

Sekarang objek   dengan   adalah inisial. Kemudian untuk setiap objek  , morfisme   sehingga diagram berikut ini.

 
Ini menunjukkan hubungan antara diagram universal menjadi objek awal dalam kategori koma.

Perhatikan bahwa persamaan berarti diagramnya sama. Juga perhatikan bahwa diagram di sisi kanan persamaan adalah sama persis dengan yang ditawarkan dalam mendefinisikan morfisme universal dari   ke  . Oleh karena itu, kita melihat bahwa morfisme universal dari   hingga   setara dengan objek awal dalam kategori koma  .

Sebaliknya, bahwa kategori koma   adalah kategori dimana

  • Objek adalah formulir   di mana   adalah sebuah objek  
  • Morfisme dari   ke   morfisme   dalam   sedemikian rupa sehingga diagram bolak-balik:
 
Ini hanya menunjukkan definisi morfisme dalam kategori koma.

Misalkan   adalah objek terminal  . Kemudian untuk setiap objek  , morfisme   sehingga diagram berikut.

 
Ini menunjukkan bahwa objek terminal dalam kategori koma tertentu sesuai dengan morfisme universal.

Diagram di sisi kanan persamaan adalah diagram yang sama yang digambarkan saat mendefinisikan morfisme universal dari   ke  . Oleh karena itu, morfisme universal dari   hingga   sesuai dengan objek terminal dalam kategori koma  .

Contoh

sunting

Di bawah ini adalah beberapa contoh, untuk menyoroti gagasan umum. Pembaca dapat membuat banyak contoh lain dengan membaca artikel yang disebutkan dalam pendahuluan.

Tensor aljabar

sunting

Misalkan   menjadi kategori ruang vektor  -Vekt di atas bidang   dan biarkan   menjadi kategori aljabar  -Alj di atas   (diasumsikan sebagai unital dan asosiatif). Maka

  :  -Alj -Vekt

menjadi funktor fogetful yang menetapkan ruang vektor yang mendasarinya ke setiap aljabar.

Diberikan ruang vektor   di atas   kita bisa membuat tensor algebra  . Aljabar tensor dicirikan oleh fakta:

Peta linear dari   hingga aljabar   dapat secara unik diperluas ke homomorfisme aljabar dari   to  .

Pernyataan ini adalah properti awal aljabar tensor karena menyatakan fakta bahwa  , dimana   adalah peta inklusi, adalah morfisme universal dari ruang vektor   ke funktor  .

Karena konstruksi ini bekerja untuk setiap ruang vektor  , kami menyimpulkan bahwa   adalah funktor dari  -Vect ke  -Alj. Ini berarti   adalah left adjoint ke forgetful functor  .

Sejarah

sunting

Sifat universal dari berbagai konstruksi topologi disajikan oleh Pierre Samuel pada tahun 1948. Mereka kemudian digunakan secara ekstensif oleh Bourbaki. Konsep yang terkait erat dari fungsi adjoint diperkenalkan secara independen oleh Daniel Kan pada tahun 1958.

Lihat pula

sunting

Catatan

sunting
  1. ^ Jacobson (2009), Proposition 1.6, p. 44.
  2. ^ Lihat misalnya, Polcino & Sehgal (2002), p. 133. exercise 1, tentang properti universal grup gelanggang.

Referensi

sunting

Pranala luar

sunting

Templat:Teori kategori