Teorema isomorfisme

teorema yang menjelaskan hubungan antara hasil bagi, homomorfisme, dan subobjek

Dalam matematika, khususnya aljabar abstrak, isomorphism theorems (juga dikenal sebagai Teorema isomorfisme noether) adalah teorema yang menjelaskan hubungan antara hasil bagi, homomorfisme, dan subobjek. Versi teorema ada untuk grup, gelanggang, ruang vektor, modul, aljabar Lie, dan berbagai struktur aljabar lainnya. Dalam aljabar universal, teorema isomorfisme dapat digeneralisasikan untuk konteks aljabar dan kesesuaian.

Teori grup

sunting

Teorema isomorfisme pertama

sunting

Misalkan   menjadi sebuah grup,   menjadi subgrup normal pada   dan   menjadi subgrup oleh  . Kemudian produk kompleks   subgrup  ,   adalah subgrup normal di   dan grup   adalah pembagi normal di  . Hal berikut ini berlaku:

 

  menunjukkan isomorfisme grup.

Isomorfisme yang biasanya dimaksudkan disebut sebagai isomorfisme kanonik. Menurut Teorema Homomorfisme, ini diturunkan dari pemetaan dugaan

 

diinduksi, karena jelas berlaku

 .

Dari teorema isomorfisme pertama, sebagai kasus khusus, seseorang menerima pernyataan yang jelas bahwa seseorang dapat "memperluas" dengan   jika dan hanya jika  .

Teorema isomorfisme kedua

sunting

Misalkan   menjadi sebuah grup,   menjadi subgrup normal di   dan   menjadi subgrup  , yang merupakan pembagi normal dalam  . Kemudian:

  •  

Dalam hal ini, isomorfisme kanonik dapat diberikan di kedua arah, diinduksi oleh di satu sisi

 

di sisi lain

 

Secara jelas, teorema isomorfisme kedua mengatakan bahwa   dapat "dipersingkat".

Gelanggang

sunting

Teorema isomorfisme juga berlaku untuk gelanggang dalam bentuk yang disesuaikan:

Teorema isomorfisme pertama

sunting

Biarkan   menjadi sebuah gelanggang,   ideal dari   dan   subgelanggang dari  . Maka jumlahnya   cincin dengan   dan potongan   ideal dari  . Hal berikut ini berlaku:

 

  menunjukkan isomorfisme gelanggang.

Teorema isomorfisme kedua

sunting

Biarkan   menjadi sebuah gelanggang,   dua rumus dengan  . Kemudian   rumusnya  . Hal berikut ini berlaku:

 

Ruang vektor, grup Abelian, atau objek dari kategori Abelian apa pun

sunting

Maka  

Sepuh Lalu:

  •  
  •  

Di sini, juga, simbol   adalah singkatan dari isomorfisme dari struktur aljabar yang sesuai atau objek dalam kategori terkait.

Isomorfisme kanonik ditentukan dengan jelas oleh fakta bahwa mereka kompatibel dengan dua panah kanonik   dan  .

Sebuah generalisasi luas dari teorema isomorfisme disediakan oleh Schlangenlemma.

Referensi

sunting
  • Emmy Noether, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, Mathematische Annalen 96 (1927) pp. 26–61
  • Colin McLarty, "Emmy Noether's 'Set Theoretic' Topology: From Dedekind to the rise of functors". The Architecture of Modern Mathematics: Essays in history and philosophy (edited by Jeremy Gray and José Ferreirós), Oxford University Press (2006) pp. 211–35.
  • Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 1 (edisi ke-2nd), Dover, ISBN 9780486471891 
  • Paul M. Cohn, Universal algebra, Chapter II.3 p. 57
  • Milne, James S. (2013), Group Theory, 3.13 
  • van der Waerden, B. I. (1994), Algebra, 1 (edisi ke-9), Springer-Verlag 
  • Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract algebra. Hoboken, NJ: Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7. 
  • Burris, Stanley; Sankappanavar, H. P. (2012). A Course in Universal Algebra (PDF). ISBN 978-0-9880552-0-9. 
  • W. R. Scott (1964), Group Theory, Prentice Hall 
  • John R. Durbin (2009). Modern Algebra: An Introduction (edisi ke-6). Wiley. ISBN 978-0-470-38443-5. 
  • Anthony W. Knapp (2016), Basic Algebra (edisi ke-Digital second) 
  • Pierre Antoine Grillet (2007), Abstract Algebra (edisi ke-2), Springer 
  • Joseph J. Rotman (2003), Advanced Modern Algebra (edisi ke-2), Prentice Hall, ISBN 0130878685