Uji kekonvergenan

Uji kekonvergenan (bahasa Inggris: convergence tests) dalam matematika adalah kumpulan metode untuk melakukan uji yang berkenaan dengan deret konvergen, kekonvergenan bersyarat, kekonvergenan mutlak, kekonvergenan selang atau divergensi suatu deret tak terhingga.

Daftar uji kekonvergenan

• Limit dari jinumlah: Jika limit dari jinumlah (atau limit dari yang dijumlahkan) tidak dapat didefinisikan atau bukan nol, yaitu $\lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0$, maka deret tersebut pasti divergen. Dalam hal ini, jumlah parsial merupakan barisan Cauchy hanya jika limit ini ada dan sama dengan nol. Uji ini tidak mempunyai kesimpulan jika limit jumlah semua elemen sama dengan nol.
• Uji rasio: Uji ini juga dikenal sebagai kriteria d'Alembert (d'Alembert's criterion). Uji ini mengatakan: Misalkan terdapat $r$ sedemikian rupa sehingga$$\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.$$Jika $r<1$, maka deret tersebut konvergen. Jika $r>1$, maka deret tersebut divergen. Jika $r=1$, maka uji rasio tidak meyakinkan, dan deret itu bisa saja konvergen atau divergen.
• Uji akar: Uji ini juga dikenal sebagai "Uji akar ke-n" (n-th root test)atau kriteria Cauchy (Cauchy's criterion). Misalkan$$r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},$$dengan $\lim \sup$ melambangkan limit atas (kemungkinannya ∞; jika ada limit, maka itulah nilainya). Jika $r<1$, maka deret tersebut konvergen. Jika $r>1$, maka deret tersebut divergen. Jika $r=1$, maka uji akarnya tidak meyakinkan, dan deret itu bisa saja konvergen atau divergen.
• Uji integral: Suatu deret dapat dibandingkan dengan suatu integral untuk menguji apakah deret tersebut konvergen atau divergen. Misalkan $f:[1,\infty )\to \mathbb {R} _{+}$ adalah suatu fungsi positif dan menurun secara monoton sedemikian rupa sehingga $f(n)=a_{n}$. Jika$$\int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,$$maka deret tersebut konvergen. Akan tetapi, jika integralnya divergen, maka deret tersebut juga divergen. Dengan kata lain, deret ${a_{n}}$ konvergen jika dan hanya jika integralnya konvergen.
  • Korolari dari uji integral yang umum dipakai adalah uji deret-p: Misalkan $k>0$, maka ${\textstyle \sum _{n=k}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}}$ konvergen jika $p>1$. Kasus $p=1,k=1$ untuk uji ini akan menghasilkan deret harmonik yang hasilnya divergen. Kasus $p=2,k=1$ adalah masalah Basel dan deret tersebut konvergen menuju ${\textstyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}}$. Secara umum, untuk $p>1,k=1$, maka deret tersebut sama dengan fungsi zeta Riemann dari $p$, yaitu $\zeta (p)$.
• Uji perbandingan langsung: Jika deret ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ merupakan suatu deret konvergen mutlak dan $|a_{n}|\leq |b_{n}|$ untuk $n$ yang cukup besar, maka deret ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ konvergen mutlak.
• Uji perbandingan limit: Jika $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}>0$, dan limit ${\textstyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$ ada, merupakan terhingga dan bukan nol, maka ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ konvergen jika dan hanya jika ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ konvergen.
• Uji kondensasi Cauchy: Misalkan $\left\{a_{n}\right\}$ adalah barisan positif yang tidak menaik, maka jumlah ${\textstyle A=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ adalah konvergen jika dan hanya jika jumlah ${\textstyle A^{*}=\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}}$ konvergen. Terlebih lagi, jika jumlah tersebut konvergen, maka berlaku pertidaksamaan $A\leq A^{*}\leq 2A$.
• Uji Abel: Misalnya pernyataan-pernyataan berikut ini benar: ${\textstyle \sum a_{n}}$ adalah suatu deret konvergen; $\{b_{n}\}$ adalah suatu urutan monoton; dan $\{b_{n}\}$ mempunyai batasan (bounded). Maka ${\textstyle \sum a_{n}b_{n}}$ juga konvergen.
• Uji Dirichlet: Jika $\{a_{n}\}$ adalah barisan bilangan real dan $\{b_{n}\}$ adalah barisan bilangan kompleks yang memenuhi syarat bahwa: $a_{n}\geq a_{n+1}$, ${\textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0}$, dan ${\textstyle \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M}$ untuk setiap bilangan bulat positif $N$ dengan menyatakan suatu konstan, maka deret ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$ konvergen.
• Uji kekonvergenan Cauchy: Suatu deret ${\textstyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$ adalah konvergen jika dan hanya jika untuk setiap $\varepsilon >0$, terdapat suatu bilangan asli $N$ sehingga$$|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon$$ berlaku untuk semua $n>N$ dan untuk semua $p\geq 1$.
• Teorema Stolz–Cesàro: Misalkan $(a_{n})_{n\geq 1}$ dan $(b_{n})_{n\geq 1}$ adalah dua barisan bilangan real. Asumsi bahwa $(b_{n})_{n\geq 1}$ adalah barisan yang monoton sempurna dan divergen, serta mempunyai nilai limit berikut:$$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l.\$$Maka, limit$$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.\$$
• Uji-M Weierstrass: Misalkan $(f_{n})$ adalah suatu barisan dari fungsi bilangan real atau kompleks yang terdefinisi pada suatu himpunan $A$, dan misalkan terdapat barisan bilangan non-negatif $(M_{n})$ yang memenuhi syarat-syarat: $|f_{n}(x)|\leq M_{n}$ untuk semua $n\geq 1$ dan semua $x\in A$, serta ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}}$ konvergen. Maka deret ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)}$ konvergen mutlak dan seragam di $A$.
• Uji Raabe–Duhamel: Misalkan $\{a_{n}\}$ adalah barisan bilangan positif. Misalkan terdapat barisan yang didefinisikan dengan $$b_{n}=n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right).$$Jika $L=\lim _{n\to \infty }b_{n}$ ada, maka akan ada tiga kemungkinan: Jika $L>1$, maka deret itu konvergen; jika $L<1$, maka deret itu divergen; dan jika $L=1$, maka uji tersebut tidak dapat disimpulkan. Perumusan uji lainnya adalah sebagai berikut: Misalkan $\{a_{n}\}$ adalah suatu deret bilangan real. Jika terdapat $b>1$ dan $K$ (adalah suatu bilangan asli) sehingga$$\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq 1-{\frac {b}{n}}$$untuk semua $n>K$, maka deret $\{a_{n}\}$ konvergen.

Catatan

• Untuk sejumlah jenis deret tertentu ada tes konvergensi yang lebih khusus, misalnya untuk deret Fourier digunakan uji Dini

Contoh

Misalkan, diberikan suatu deret

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}.$

(i)

Uji kondensasi Cauchy menyiratkan bahwa deret di (i) adalah konvergen terhingga jika

$\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }$

(ii)

konvergen terhingga. Karena$$\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{n-n\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{(1-\alpha )n},$$maka deret di (ii) adalah deret geometri dengan rasio $2^{(1-\alpha )}$. Deret di (ii) adalah konvergen terhingga jika rasionya lebih kecil dari 1, ditulis $\alpha >1$. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa deret di (i) adalah konvergen terhingga jika dan hanya jika $\alpha >1$.

Kekonvergenan hasil kali

Walaupun kebanyakan uji-uji tersebut berkenaan dengan kekonvergenan dari deret tak terhingga, uji-uji tersebut juga dapat dipakai untuk memperlihatkan kekonvergenan atau kedivergenan dari hasil kali tak terhingga. Hal ini dapat diperoleh dengan menggunakan teorema berikut:

Misalkan $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ adalah barisan bilangan positif, maka hasil kali tak terhingga ${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})}$ konvergen jika dan hanya jika deret ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ konvergen. Dengan cara yang serupa, jika berlaku pertidaksamaan $0<a_{n}<1$, maka ${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1-a_{n})}$ mendekati suatu limit tak nol jika dan hanya jika deret ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ konvergen.

Teorema tersebut dapat dibuktikan dengan mengambil logaritma dari hasil kali dan menggunakan uji perbandingan limit.

Lihat pula

• Kaidah L'Hôpital
• Kaidah geser

Pranala luar

• Flowchart for choosing convergence test Diarsipkan 2010-08-08 di Wayback Machine.