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Halaman ini berisi artikel tentang akar ke-n bilangan real dan kompleks. Untuk kegunaan lain, lihat Akar (disambiguasi) § Matematika.

Dalam matematika, sebuah akar ke-n dari bilangan x adalah bilangan r yang jika dipangkatkan n, menghasilkan x:

$r^{n}=x,$

dimana n adalah bilangan bulat positif, kadang-kadang disebut derajat dari akar. Akar derajat 2 disebut akar kuadrat dan akar derajat 3, sebuah akar pangkat tiga. Akar tingkat yang lebih tinggi dirujuk dengan menggunakan bilangan urut, seperti pada akar keempat, akar kedua puluh, dll. Perhitungan akar ke-n adalah ekstraksi akar.

Misalnya, 3 adalah akar kuadrat dari 9, karena 3² = 9, dan 3 juga merupakan akar kuadrat dari 9, karena (−3)² = 9.

Setiap bilangan bukan nol yang dianggap sebagai bilangan kompleks memiliki n akar ke-n yang berbeda, termasuk real (paling banyak dua). Akar ke-n dari 0 adalah nol untuk semua bilangan bulat positif n, setelah 0ⁿ = 0. Khususnya, jika n genap dan x adalah bilangan real positif, satunya adalah negatif, dan yang lainnya (ketika n > 2) bilangan kompleks non-real; jika n genap dan x adalah bilangan real negatif, tidak ada satupun akar ke-n yang merupakan real. Jika n ganjil dan x real, satu akar n adalah real dan bertanda sama sebagai x, sedangkan akar lainnya (n – 1) bukanlah real. Akhirnya, jika x bukanlah real, maka tidak ada akar ke-n yang merupakan real.

Akar bilangan real biasanya ditulis menggunakan simbol radikal atau radix ${\sqrt {{~^{~}}^{~}\!\!}}$, dengan ${\sqrt {x}}$ menunjukkan akar kuadrat positif dari x jika x adalah positif; untuk akar tinggi, ${\sqrt[{n}]{x}}$ menunjukkan akar ke-n yang sebenarnya jika n adalah ganjil, dan akar ke-n positif jika n adalah genap dan x adalah positif. Dalam kasus lain, simbol tidak umum digunakan sebagai ambigu. Dalam ekspresi ${\sqrt[{n}]{x}}$, bilangan bulat n disebut indeks dan x disebut radikan .

Ketika kompleks akar ke-n dipertimbangkan, seringkali berguna untuk memilih salah satu akar, yang disebut akar utama, sebagai nilai utama. Pilihan umum adalah memilih akar ke-n utama dari x sebagai akar ke-n, dengan bagian real terbesar, dan, jika ada dua (untuk x real dan negatif), yang memiliki bagian imajiner positif. Ini membuat akar ke-n sebagai fungsi real dan positif untuk x real dan positif, dan adalah kontinu diseluruh bidang kompleks, kecuali untuk nilai x real dan negatif.

Kesulitan dengan pilihan ini adalah, untuk bilangan real negatif dan indeks ganjil, akar ke-n utama yang bukan asli. Misalnya, $-8$ memiliki tiga akar pangkat tiga, $-2$, $1+i{\sqrt {3}}$ dan $1-i{\sqrt {3}}.$ Akar pangkat tiga sebenarnya adalah $-2$ dan akar pangkat tiga utama adalah $1+i{\sqrt {3}}.$

Akar yang tidak terselesaikan, terutama yang menggunakan simbol radikal, kadang-kadang disebut sebagai surd atau "radikal". Setiap ekspresi yang mengandung radikal, apakah itu akar kuadrat, akar pangkat tiga, atau akar yang lebih tinggi, disebut ekspresi radikal, dan jika tidak mengandung fungsi transendental atau bilangan transendental disebut ekspresi aljabar.

Akar juga didefinisikan sebagai kasus khusus dari eksponensial, dimana eksponen adalah pecahan:

${\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}.$

Akar digunakan untuk menentukan radius konvergensi dari deret pangkat dengan uji akar. Akar ke-n dari 1 disebut akar satuan dan memainkan peran mendasar dalam berbagai bidang matematika, seperti teori bilangan, teori persamaan, dan transformasi Fourier.

History

Artikel utama: Square root § History, dan Cube root § History

Вавилонская табличка (около 1800—1600 г. до н. э.) с вычислением ${\sqrt {2}}\approx 1+24/60+51/60^{2}+10/60^{3}$
$=1{,}41421296\dots$

Первые задачи, связанные с извлечением квадратного корня, обнаружены в трудах вавилонских математиков (о достижениях древнего Египта в этом отношении ничего не известно). Среди таких задач:

• Применение теоремы Пифагора для нахождения стороны прямоугольного треугольника по известным двум другим сторонам.
• Нахождение стороны квадрата, площадь которого задана.
• Решение квадратных уравнений.

Вавилонские математики (II тысячелетие до н. э.) разработали для извлечения квадратного корня особый численный метод. Начальное приближение для ${\sqrt {a}}$ рассчитывалось исходя из ближайшего к корню (в меньшую сторону) натурального числа $n$. Представив подкоренное выражение в виде: $a=n^{2}+r$, получаем: $x_{0}=n+{\frac {r}{2n}}$, затем применялся итеративный процесс уточнения, соответствующий методу Ньютона:

$x_{n+1}={\frac {1}{2}}~\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)\$

Итерации в этом методе очень быстро сходятся. Для ${\sqrt {5}}$, например, $a=5;\;n=2;\;r=1;\ x_{0}={\frac {9}{4}}=2{,}25,$ и мы получаем последовательность приближений:

$x_{1}={\frac {161}{72}}=2{,}23611;\;x_{2}={\frac {51841}{23184}}=2{,}2360679779$

В заключительном значении верны все цифры, кроме последней.

Аналогичные задачи и методы встречаются в древнекитайской «Математике в девяти книгах». Древние греки сделали важное открытие: ${\sqrt {2}}$ — иррациональное число. Детальное исследование, выполненное Теэтетом Афинским (IV век до н. э.), показало, что если корень из натурального числа не извлекается нацело, то его значение иррационально.

Греки сформулировали проблему удвоения куба, которая сводилась к построению кубического корня с помощью циркуля и линейки. Проблема оказалась неразрешимой. Численные алгоритмы извлечения кубического корня опубликовали Герон (в трактате «Метрика», I век н. э.) и индийский математик Ариабхата I (V век).

Алгоритмы извлечения корней любой степени из целого числа, разработанные индийскими и исламскими математиками, были усовершенствованы в средневековой Европе. Николай Орем (XIV век) впервые истолковал корень $n$-й степени как возведение в степень ${\frac {1}{n}}$.

После появления формулы Кардано (XVI век) началось применение в математике мнимых чисел, понимаемых как квадратные корни из отрицательных чисел. Основы техники работы с комплексными числами разработал в XVI веке Рафаэль Бомбелли, который также предложил оригинальный метод вычисления корней (с помощью цепных дробей). Открытие формулы Муавра (1707) показало, что извлечение корня любой степени из комплексного числа всегда возможно и не приводит к новому типу чисел.

Комплексные корни произвольной степени в начале XIX века глубоко исследовал Гаусс, хотя первые результаты принадлежат Эйлеру. Чрезвычайно важным открытием (Галуа) стало доказательство того факта, что не все алгебраические числа (корни многочленов) могут быть получены из натуральных с помощью четырёх действий арифметики и извлечения корня.

Definition and notation

The four 4th roots of −1,
none of which are real

The three 3rd roots of −1,
one of which is a negative real

An nth root of a number x, where n is a positive integer, is any of the n real or complex numbers r whose nth power is x:

$r^{n}=x.$

Every positive real number x has a single positive nth root, called the principal nth root, which is written ${\sqrt[{n}]{x}}$. For n equal to 2 this is called the principal square root and the n is omitted. The nth root can also be represented using exponentiation as x^1/n.

For even values of n, positive numbers also have a negative nth root, while negative numbers do not have a real nth root. For odd values of n, every negative number x has a real negative nth root. For example, −2 has a real 5th root, ${\sqrt[{5}]{-2}}=-1.148698354\ldots$ but −2 does not have any real 6th roots.

Every non-zero number x, real or complex, has n different complex number nth roots. (In the case x is real, this count includes any real nth roots.) The only complex root of 0 is 0.

The nth roots of almost all numbers (all integers except the nth powers, and all rationals except the quotients of two nth powers) are irrational. For example,

${\sqrt {2}}=1.414213562\ldots$

All nth roots of integers are algebraic numbers.

The term surd traces back to al-Khwārizmī (c. 825), who referred to rational and irrational numbers as audible and inaudible, respectively. This later led to the Arabic word "أصم" (asamm, meaning "deaf" or "dumb") for irrational number being translated into Latin as "surdus" (meaning "deaf" or "mute"). Gerard of Cremona (c. 1150), Fibonacci (1202), and then Robert Recorde (1551) all used the term to refer to unresolved irrational roots, that is, expressions of the form ${\sqrt[{n}]{i}},$ in which $n$ and $i$ are integer numerals and the whole expression denotes an irrational number. Quadratic irrational numbers, that is, irrational numbers of the form ${\sqrt {i}},$ are also known as "quadratic surds".

Square roots

The graph $y=\pm {\sqrt {x}}$.

Artikel utama: Square root

A square root of a number x is a number r which, when squared, becomes x:

$r^{2}=x.$

Every positive real number has two square roots, one positive and one negative. For example, the two square roots of 25 are 5 and −5. The positive square root is also known as the principal square root, and is denoted with a radical sign:

${\sqrt {25}}=5.$

Since the square of every real number is nonnegative, negative numbers do not have real square roots. However, for every negative real number there are two imaginary square roots. For example, the square roots of −25 are 5i and −5i, where i represents a number whose square is −1.

Cube roots

The graph $y={\sqrt[{3}]{x}}$.

Artikel utama: Cube root

A cube root of a number x is a number r whose cube is x:

$r^{3}=x.$

Every real number x has exactly one real cube root, written ${\sqrt[{3}]{x}}$. For example,

${\sqrt[{3}]{8}}=2$ and ${\sqrt[{3}]{-8}}=-2.$

Every real number has two additional complex cube roots.

Mathematische Grundlagen

Die folgende Beschreibung des Radizierens als einer rechtseindeutigen Wurzelfunktion bezieht sich auf den angeordneten Körper $\mathbb {R}$ der reellen Zahlen, also gewissermaßen auf die Schulmathematik. Ein allgemeinerer Wurzelbegriff, der den hier beschriebenen umfasst, wird im Artikel Adjunktion (Algebra) behandelt.

Zusammenhang mit Potenzen

Das Radizieren mit dem Wurzelexponenten $n$ und das Potenzieren mit dem Exponenten $n$ heben sich gegenseitig auf. Gemäß obenstehender Definition der Wurzel gilt für alle reellen Zahlen $a\geq 0$ und für alle natürlichen Zahlen $n\geq 1$:

$\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{n}=a$

Das Radizieren mit dem Wurzelexponenten $n$ wirkt wie das Potenzieren mit dem Exponenten ${\tfrac {1}{n}}$. Nach den Rechenregeln für Potenzen gilt nämlich:

$\left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{n}=a^{\frac {n}{n}}=a^{1}=a$

Daher kann das Radizieren mit dem Wurzelexponenten n auch als Potenzieren mit dem Exponenten 1/n interpretiert werden:

${\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}$

Eindeutigkeit von Wurzeln aus positiven Zahlen

Obwohl die eingangs genannte Fragestellung bei geradzahligen Wurzelexponenten und positiven Radikanden zwei Lösungen mit unterschiedlichen Vorzeichen besitzt, steht die Schreibweise mit dem Wurzelzeichen ${\sqrt[{}]{\color {White}1}}$ grundsätzlich für die positive Lösung. Beispielsweise hat die Gleichung $x^{2}=4$ die beiden Lösungen $x=+2$ und $x=-2$. Der Term ${\sqrt[{2}]{4}}$ hat jedoch den Wert +2 und nicht den Wert −2. Allgemein gilt daher für geradzahlige Wurzelexponenten

${\sqrt[{2n}]{x^{2n}}}=|x|\,.$

Wurzeln aus negativen Zahlen

Die Behandlung von Wurzeln aus negativen Zahlen ist nicht einheitlich. Es gilt beispielsweise

$(-2)^{3}=-8\,,$

und $-2$ ist die einzige reelle Zahl, deren dritte Potenz $-8$ ist. Allgemein ergeben sich für ungerade Potenzen negativer Zahlen wieder negative Zahlen.

Bezüglich der ungeraden Wurzeln aus negativen Zahlen werden folgende Positionen vertreten:

• Wurzeln aus negativen Zahlen sind generell nicht definiert. Beispielsweise ist ${\sqrt[{3}]{-8}}$ also undefiniert. Die Lösung der Gleichung $x^{3}=-8$ wird geschrieben als $x=-{\sqrt[{3}]{8}}$.
• Wurzeln aus negativen Zahlen sind definiert, wenn der Wurzelexponent eine ungerade Zahl ist (3, 5, 7, …). Für ungerade Zahlen $2n+1$ gilt generell

${\sqrt[{2n+1}]{-a}}=-{\sqrt[{2n+1}]{a}}$.

Diese Festlegung ist mit manchen Eigenschaften der Wurzeln, die für positive Radikanden gelten, nicht vereinbar. Beispielsweise ist

$-2={\sqrt[{3}]{-8}}\neq {\sqrt[{6}]{(-8)^{2}}}={\sqrt[{6}]{64}}=+2.$

Auch funktioniert diese Festlegung nicht mit der Gleichung ${\sqrt[{k}]{a}}=a^{\frac {1}{k}}=\exp \left({\tfrac {1}{k}}\ln(a)\right)$, da der (natürliche) Logarithmus von negativen Zahlen nicht definiert ist ($a$ darf also nicht negativ sein).

Wurzeln zu geraden Exponenten aus negativen Zahlen können keine reellen Zahlen sein, weil gerade Potenzen reeller Zahlen nie negativ sind. Es gibt keine reelle Zahl $x$, sodass $x^{2}=-1$, somit kann man auch keine Wurzel $x={\sqrt[{2}]{-1}}$ finden, die in den reellen Zahlen liegt. Der Bedarf für Wurzeln aus negativen Zahlen führte zur Einführung der komplexen Zahlen; allerdings gibt es beim Wurzelbegriff im Bereich der komplexen Zahlen gewisse Schwierigkeiten mit der eindeutigen Auszeichnung einer der Wurzeln, siehe unten.

Irrationale Wurzeln aus ganzen Zahlen

Ist $n$ eine nichtnegative ganze Zahl und $k$ eine positive ganze Zahl, so ist ${\sqrt[{k}]{n}}$ entweder eine ganze oder eine irrationale Zahl. Das beweist man durch Anwendung der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung:

Ist $n\leqq 1$, so ist ${\sqrt[{k}]{n}}=n$, also eine ganze Zahl. Sonst gibt es eine bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutige Primfaktorzerlegung $n=p_{1}^{e_{1}}\dotsm p_{r}^{e_{r}}$ mit paarweise verschiedenen Primzahlen $p_{1},\dotsc ,p_{r}$ und positiven ganzen Exponenten $e_{1},\dotsc ,e_{r}$. Sind alle $e_{j}$ für $1\leqq j\leqq r$ durch $k$ teilbar, so ist ${\sqrt[{k}]{n}}=p_{1}^{e_{1}/k}\dotsm p_{r}^{e_{r}/k}$, also eine ganze Zahl.

Zu zeigen ist jetzt noch: Gibt es mindestens ein $j$ mit $1\leqq j\leqq r$, so dass $e_{j}$ nicht durch $k$ teilbar ist, so ist ${\sqrt[{k}]{n}}$ irrational. Der Beweis für die Irrationalität erfolgt indirekt, also durch Widerlegen der gegenteiligen Annahme wie beim Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2 bei Euklid, der im Wesentlichen der Spezialfall $n=k=2$ dieses Beweises ist.

Angenommen, ${\sqrt[{k}]{n}}$ wäre rational. Dann könnte man die Zahl als Bruch zweier natürlicher Zahlen $a$ und $b$ schreiben:

${\sqrt[{k}]{n}}={\frac {a}{b}}$.

Durch Potenzieren der Gleichung erhält man

$n={\frac {a^{k}}{b^{k}}}$

und daraus folgt

$nb^{k}=a^{k}$.

Der Primfaktor $p_{j}$ kommt in $a^{k}$ bzw. $b^{k}$ jeweils $k$-mal so oft vor wie in $a$ bzw. $b$, jedenfalls in einer durch $k$ teilbaren Vielfachheit, wobei natürlich auch das 0-malige Auftreten zugelassen ist. In $n$ kommt er voraussetzungsgemäß in der nicht durch $k$ teilbaren Vielfachheit $e_{j}$ vor. Also kommt er auf der linken Seite dieser Gleichung nicht in einer durch $k$ teilbaren Vielfachheit vor, auf der rechten hingegen schon, und wir erhalten einen Widerspruch zur Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung. Daher ist ${\sqrt[{k}]{n}}$ irrational.

Die Wurzelgesetze

Die Rechenregeln für Wurzeln ergeben sich aus jenen für Potenzen.

Für positive Zahlen $a$ und $b$ und $n,m,k\in \mathbb {N}$ gelten die folgenden Rechengesetze:

• Produktregel: ${\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{a\cdot b}}$
• Quotientenregel: ${\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}={\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}$
• "Verschachtelungsregel" oder Iterationsregel: ${\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{a}}}={\sqrt[{m\cdot n}]{a}}$
• Definition für gebrochenen Exponenten: $a^{\frac {k}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{k}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{k}$
• Definition für negativen Exponenten: $a^{-{\frac {k}{n}}}={\frac {1}{a^{\frac {k}{n}}}}$
• Bei gleichem Radikand gilt: ${\sqrt[{m}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{a}}=a^{{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}}={\sqrt[{mn}]{a^{m+n}}}$

Bei negativen Zahlen $a$ und $b$ dürfen diese Rechengesetze nur angewendet werden, wenn $m$ und $n$ ungerade Zahlen sind. Bei komplexen Zahlen sind sie gänzlich zu vermeiden, bzw. gilt die Gleichheit nur bei geeigneter Wahl der Nebenwerte. Anders gesagt: werden in einem Beispiel auf der linken Seite irgendwelche Wurzeln (bspw. nur Hauptwerte) ausgewählt, so gibt es für die rechte Seite geeignete Nebenwerte, die die Gleichheit erfüllen – linke und rechte Seite unterscheiden sich um eine Einheitswurzel.

Grenzwerte

Es gelten die folgenden Grenzwerte:

• $\lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{a}}=1$ für $a>0$
• $\lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=1$

Dies folgt aus der Ungleichung $n<\left(1+{\sqrt[{2}]{\tfrac {2}{n}}}\right)^{n}$, die man mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes zeigen kann.

• $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n^{k}}}=1$, wobei $k$ eine beliebige, aber feste natürliche Zahl ist.
• $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\ln(n)}{n}}=0$,

wie aus der Exponentialdarstellung von ${\sqrt[{n}]{n}}$ hervorgeht.

Wurzelfunktionen

Funktionen der Form

$f\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R} _{0}^{+},x\mapsto {\sqrt[{n}]{x}}$ oder allgemeiner $x\mapsto {\sqrt[{n}]{x^{m}}}$

heißen Wurzelfunktionen. Sie sind Potenzfunktionen, es gilt ${\sqrt[{n}]{x^{m}}}=x^{\frac {m}{n}}$.

Identities and properties

Expressing the degree of an nth root in its exponent form, as in $x^{1/n}$, makes it easier to manipulate powers and roots. If $a$ is a non-negative real number,

${\sqrt[{n}]{a^{m}}}=(a^{m})^{1/n}=a^{m/n}=(a^{1/n})^{m}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}.$

Every non-negative number has exactly one non-negative real nth root, and so the rules for operations with surds involving non-negative radicands $a$ and $b$ are straightforward within the real numbers:

${\begin{aligned}{\sqrt[{n}]{ab}}&={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\\{\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}&={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\end{aligned}}$

Subtleties can occur when taking the nth roots of negative or complex numbers. For instance:

${\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}\neq {\sqrt {-1\times -1}}=1,\quad$ but, rather, $\quad {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}=i\times i=i^{2}=-1.$

Since the rule ${\sqrt[{n}]{a}}\times {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{ab}}$ strictly holds for non-negative real radicands only, its application leads to the inequality in the first step above.

Simplified form of a radical expression

A non-nested radical expression is said to be in simplified form if

1. There is no factor of the radicand that can be written as a power greater than or equal to the index.
2. There are no fractions under the radical sign.
3. There are no radicals in the denominator.

For example, to write the radical expression ${\sqrt {\tfrac {32}{5}}}$ in simplified form, we can proceed as follows. First, look for a perfect square under the square root sign and remove it:

${\sqrt {\tfrac {32}{5}}}={\sqrt {\tfrac {16\times 2}{5}}}=4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}$

Next, there is a fraction under the radical sign, which we change as follows:

$4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}$

Finally, we remove the radical from the denominator as follows:

${\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}={\frac {4}{5}}{\sqrt {10}}$

When there is a denominator involving surds it is always possible to find a factor to multiply both numerator and denominator by to simplify the expression. For instance using the factorization of the sum of two cubes:

${\frac {1}{{\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{\left({\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}\right)\left({\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}\right)}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{a+b}}.$

Simplifying radical expressions involving nested radicals can be quite difficult. It is not obvious for instance that:

${\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}$

The above can be derived through:

${\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}={\sqrt {1+2{\sqrt {2}}+2}}={\sqrt {1^{2}+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}^{2}}}={\sqrt {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2}}}=1+{\sqrt {2}}$

Let $r=p/q$, with p and q coprime and positive integers. Then ${\sqrt[{n}]{r}}={\sqrt[{n}]{p}}/{\sqrt[{n}]{q}}$ is rational if and only if both ${\sqrt[{n}]{p}}$ and ${\sqrt[{n}]{q}}$ are integers, which means that both p and q are nth powers of some integer.

Infinite series

The radical or root may be represented by the infinite series:

$(1+x)^{\frac {s}{t}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{n-1}(s-kt)}{n!t^{n}}}x^{n}$

with $|x|<1$. This expression can be derived from the binomial series.

Computing principal roots

Using Newton's method

The nth root of a number A can be computed with Newton's method. Start with an initial guess x₀ and then iterate using the recurrence relation

$x_{k+1}={\frac {n-1}{n}}x_{k}+{\frac {A}{nx_{k}^{n-1}}}$

until the desired precision is reached. For example, to find the fifth root of 34, we plug in n = 5, A = 34 and x₀ = 2 (initial guess). The first 5 iterations are, approximately:
x₀ = 2
x₁ = 2.025
x₂ = 2.024397817
x₃ = 2.024397458
x₄ = 2.024397458
The approximation x₄ is accurate to 25 decimal places.

Newton's method can be modified to produce various generalized continued fraction for the nth root. For example,

${\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{x^{n}+y}}=x+{\cfrac {y}{nx^{n-1}+{\cfrac {(n-1)y}{2x+{\cfrac {(n+1)y}{3nx^{n-1}+{\cfrac {(2n-1)y}{2x+{\cfrac {(2n+1)y}{5nx^{n-1}+{\cfrac {(3n-1)y}{2x+\ddots }}}}}}}}}}}}.$

Digit-by-digit calculation of principal roots of decimal (base 10) numbers

Pascal's Triangle showing $P(4,1)=4$.

Building on the digit-by-digit calculation of a square root, it can be seen that the formula used there, $x(20p+x)\leq c$, or $x^{2}+20xp\leq c$, follows a pattern involving Pascal's triangle. For the nth root of a number $P(n,i)$ is defined as the value of element $i$ in row $n$ of Pascal's Triangle such that $P(4,1)=4$, we can rewrite the expression as $\sum _{i=0}^{n-1}10^{i}P(n,i)p^{i}x^{n-i}$. For convenience, call the result of this expression $y$. Using this more general expression, any positive principal root can be computed, digit-by-digit, as follows.

Write the original number in decimal form. The numbers are written similar to the long division algorithm, and, as in long division, the root will be written on the line above. Now separate the digits into groups of digits equating to the root being taken, starting from the decimal point and going both left and right. The decimal point of the root will be above the decimal point of the radicand. One digit of the root will appear above each group of digits of the original number.

Beginning with the left-most group of digits, do the following procedure for each group:

1. Starting on the left, bring down the most significant (leftmost) group of digits not yet used (if all the digits have been used, write "0" the number of times required to make a group) and write them to the right of the remainder from the previous step (on the first step, there will be no remainder). In other words, multiply the remainder by $10^{n}$ and add the digits from the next group. This will be the current value c.
2. Find p and x, as follows:
   • Let $p$ be the part of the root found so far, ignoring any decimal point. (For the first step, $p=0$).
   • Determine the greatest digit $x$ such that $y\leq c$.
   • Place the digit $x$ as the next digit of the root, i.e., above the group of digits you just brought down. Thus the next p will be the old p times 10 plus x.
3. Subtract $y$ from $c$ to form a new remainder.
4. If the remainder is zero and there are no more digits to bring down, then the algorithm has terminated. Otherwise go back to step 1 for another iteration.

Examples

Find the square root of 152.2756.

          1  2. 3  4 
       /
     \/  01 52.27 56

         01                   100·1·00·12 + 101·2·01·11     ≤      1   <   100·1·00·22   + 101·2·01·21         x = 1
         01                      y = 100·1·00·12   + 101·2·01·12   =  1 +    0   =     1
         00 52                100·1·10·22 + 101·2·11·21     ≤     52   <   100·1·10·32   + 101·2·11·31         x = 2
         00 44                   y = 100·1·10·22   + 101·2·11·21   =  4 +   40   =    44
            08 27             100·1·120·32 + 101·2·121·31   ≤    827   <   100·1·120·42  + 101·2·121·41        x = 3
            07 29                y = 100·1·120·32  + 101·2·121·31  =  9 +  720   =   729
               98 56          100·1·1230·42 + 101·2·1231·41 ≤   9856   <   100·1·1230·52 + 101·2·1231·51       x = 4
               98 56             y = 100·1·1230·42 + 101·2·1231·41 = 16 + 9840   =  9856
               00 00          Algorithm terminates: Answer is 12.34

Find the cube root of 4192 to the nearest hundredth.

        1   6.  1   2   4
 3  /
  \/  004 192.000 000 000

      004                      100·1·00·13    +  101·3·01·12   + 102·3·02·11    ≤          4  <  100·1·00·23     + 101·3·01·22    + 102·3·02·21     x = 1
      001                         y = 100·1·00·13   + 101·3·01·12   + 102·3·02·11   =   1 +      0 +          0   =          1
      003 192                  100·1·10·63    +  101·3·11·62   + 102·3·12·61    ≤       3192  <  100·1·10·73     + 101·3·11·72    + 102·3·12·71     x = 6
      003 096                     y = 100·1·10·63   + 101·3·11·62   + 102·3·12·61   = 216 +  1,080 +      1,800   =      3,096
          096 000              100·1·160·13   + 101·3·161·12   + 102·3·162·11   ≤      96000  <  100·1·160·23   + 101·3·161·22   + 102·3·162·21    x = 1
          077 281                 y = 100·1·160·13  + 101·3·161·12  + 102·3·162·11  =   1 +    480 +     76,800   =     77,281
          018 719 000          100·1·1610·23  + 101·3·1611·22  + 102·3·1612·21  ≤   18719000  <  100·1·1610·33  + 101·3·1611·32  + 102·3·1612·31   x = 2
              015 571 928         y = 100·1·1610·23 + 101·3·1611·22 + 102·3·1612·21 =   8 + 19,320 + 15,552,600   = 15,571,928
              003 147 072 000  100·1·16120·43 + 101·3·16121·42 + 102·3·16122·41 ≤ 3147072000  <  100·1·16120·53 + 101·3·16121·52 + 102·3·16122·51  x = 4
                               The desired precision is achieved:
                               The cube root of 4192 is about 16.12

Logarithmic calculation

The principal nth root of a positive number can be computed using logarithms. Starting from the equation that defines r as an nth root of x, namely $r^{n}=x,$ with x positive and therefore its principal root r also positive, one takes logarithms of both sides (any base of the logarithm will do) to obtain

$n\log _{b}r=\log _{b}x\quad \quad {\text{hence}}\quad \quad \log _{b}r={\frac {\log _{b}x}{n}}.$

The root r is recovered from this by taking the antilog:

$r=b^{{\frac {1}{n}}\log _{b}x}.$

(Note: That formula shows b raised to the power of the result of the division, not b multiplied by the result of the division.)

For the case in which x is negative and n is odd, there is one real root r which is also negative. This can be found by first multiplying both sides of the defining equation by −1 to obtain $|r|^{n}=|x|,$ then proceeding as before to find |r|, and using r = −|r|.

Geometric constructibility

The ancient Greek mathematicians knew how to use compass and straightedge to construct a length equal to the square root of a given length, when an auxiliary line of unit length is given. In 1837 Pierre Wantzel proved that an nth root of a given length cannot be constructed if n is not a power of 2.

Complex roots

Every complex number other than 0 has n different nth roots.

Square roots

The square roots of i

The two square roots of a complex number are always negatives of each other. For example, the square roots of −4 are 2i and −2i, and the square roots of i are

${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i)\quad {\text{and}}\quad -{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i).$

If we express a complex number in polar form, then the square root can be obtained by taking the square root of the radius and halving the angle:

${\sqrt {re^{i\theta }}}=\pm {\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2}.$

A principal root of a complex number may be chosen in various ways, for example

${\sqrt {re^{i\theta }}}={\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2}$

which introduces a branch cut in the complex plane along the positive real axis with the condition 0 ≤ θ < 2π, or along the negative real axis with −π < θ ≤ π.

Using the first(last) branch cut the principal square root $\scriptstyle {\sqrt {z}}$ maps $\scriptstyle z$ to the half plane with non-negative imaginary(real) part. The last branch cut is presupposed in mathematical software like Matlab or Scilab.

Roots of unity

The three 3rd roots of 1

Artikel utama: Root of unity

The number 1 has n different nth roots in the complex plane, namely

$1,\;\omega ,\;\omega ^{2},\;\ldots ,\;\omega ^{n-1},$

where

$\omega =e^{\frac {2\pi i}{n}}=\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)$

These roots are evenly spaced around the unit circle in the complex plane, at angles which are multiples of $2\pi /n$. For example, the square roots of unity are 1 and −1, and the fourth roots of unity are 1, $i$, −1, and $-i$.

nth roots

Wakilan geometris dari akar ke-2 hingga ke-6 bilangan kompleks z, dalam bentuk polar re^iφ  dimana r = |z | dan φ = arg z. If z adalah real, φ = 0 atau π. Akar utama ditampilkan dalam warna hitam.

Every complex number has n different nth roots in the complex plane. These are

$\eta ,\;\eta \omega ,\;\eta \omega ^{2},\;\ldots ,\;\eta \omega ^{n-1},$

where η is a single nth root, and 1, ω, ω², ... ωⁿ⁻¹ are the nth roots of unity. For example, the four different fourth roots of 2 are

${\sqrt[{4}]{2}},\quad i{\sqrt[{4}]{2}},\quad -{\sqrt[{4}]{2}},\quad {\text{and}}\quad -i{\sqrt[{4}]{2}}.$

In polar form, a single nth root may be found by the formula

${\sqrt[{n}]{re^{i\theta }}}={\sqrt[{n}]{r}}\cdot e^{i\theta /n}.$

Here r is the magnitude (the modulus, also called the absolute value) of the number whose root is to be taken; if the number can be written as a+bi then $r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$. Also, $\theta$ is the angle formed as one pivots on the origin counterclockwise from the positive horizontal axis to a ray going from the origin to the number; it has the properties that $\cos \theta =a/r,$ $\sin \theta =b/r,$ and $\tan \theta =b/a.$

Thus finding nth roots in the complex plane can be segmented into two steps. First, the magnitude of all the nth roots is the nth root of the magnitude of the original number. Second, the angle between the positive horizontal axis and a ray from the origin to one of the nth roots is $\theta /n$, where $\theta$ is the angle defined in the same way for the number whose root is being taken. Furthermore, all n of the nth roots are at equally spaced angles from each other.

If n is even, a complex number's nth roots, of which there are an even number, come in additive inverse pairs, so that if a number r₁ is one of the nth roots then r₂ = –r₁ is another. This is because raising the latter's coefficient –1 to the nth power for even n yields 1: that is, (–r₁)ⁿ = (–1)ⁿ × r₁ⁿ = r₁ⁿ.

As with square roots, the formula above does not define a continuous function over the entire complex plane, but instead has a branch cut at points where θ / n is discontinuous.

Solving polynomials

Lihat pula: Root-finding algorithm

It was once conjectured that all polynomial equations could be solved algebraically (that is, that all roots of a polynomial could be expressed in terms of a finite number of radicals and elementary operations). However, while this is true for third degree polynomials (cubics) and fourth degree polynomials (quartics), the Abel–Ruffini theorem (1824) shows that this is not true in general when the degree is 5 or greater. For example, the solutions of the equation

$x^{5}=x+1$

cannot be expressed in terms of radicals. (cf. quintic equation)

Proof of irrationality for non-perfect nth power x

Assume that ${\sqrt[{n}]{x}}$ is rational. That is, it can be reduced to a fraction ${\frac {a}{b}}$, where a and b are integers without a common factor.

This means that $x={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$.

Since x is an integer, $a^{n}$and $b^{n}$must share a common factor if $b\neq 1$. This means that if $b\neq 1$, ${\frac {a^{n}}{b^{n}}}$ is not in simplest form. Thus b should equal 1.

Since $1^{n}=1$ and ${\frac {n}{1}}=n$, ${\frac {a^{n}}{b^{n}}}=a^{n}$.

This means that $x=a^{n}$ and thus, ${\sqrt[{n}]{x}}=a$. This implies that ${\sqrt[{n}]{x}}$ is an integer. Since x is not a perfect nth power, this is impossible. Thus ${\sqrt[{n}]{x}}$ is irrational.

See also

• Nth root algorithm
• Shifting nth root algorithm
• Radical symbol
• Algebraic number
• Nested radical
• Twelfth root of two
• Super-root