Titik akumulasi

"Titik limit" beralih ke halaman ini. Untuk penggunaan dimana kata "titik" bersifat opsional, lihat Limit (matematika) dan Limit § Matematika.

Dalam matematika, titik limit, titik akumulasi, atau titik gugus dari suatu himpunan $H$ pada ruang topologis $X$ adalah suatu titik $x$ yang dapat "didekati" dengan titik-titik pada $H$, dalam artian bahwa setiap persekitaran dari $x$ memuat titik dari $H$ selain $x$ itu sendiri. Titik limit dari himpunan $H$ tidak harus termuat pada himpunan $H$.

Terdapat konsep yang berkaitan erat untuk barisan. Titik gugus atau titik akumulasi dari suatu barisan $\langle x_{n}\rangle$ pada ruang topologis $X$ adalah suatu titik $x$ sedemikian sehingga, untuk setiap persekitaran $S$ dari $x$, terdapat takhingga banyaknya bilangan asli $n$ yang memenuhi $x_{n}\in S$. Definisi titik gugus atau titik akumulasi dari suatu barisan ini dapat diperumum untuk jaring dan filter.

Konsep bernama serupa mengenai titik limit dari suatu barisan (berturut-turut, titik limit dari suatu filter, titik limit dari suatu jaring) berdasarkan definisi, mengacu kepada suatu titik sedemikian sehingga barisannya konvergen (berturut-turut, filternya konvergen, jaringnya konvergen) ke titik tersebut. Walaupun "titik limit dari suatu himpunan" bersinonim dengan "titik gugus/akumulasi dari suatu himpunan", hal ini tidaklah berlaku untuk barisan (maupun jaring ataupun filter). Dengan kata lain, "titik limit dari suatu barisan" bukanlah sinonim dari "titik gugus/akumulasi dari suatu barisan".

Titik limit jangan dikelirukan dengan titik adheren (yang dikenal juga sebagai titik penutup), yaitu suatu titik $x$ yang setiap persekitarannya memuat suatu titik dari himpunan $H$. Berbeda dengan titik limit, titik adheren $x$ pada $H$ mungkin saja memiliki suatu persekitaran yang tidak memuat titik selain $x$ itu sendiri. Titik limit dapat dikarakterkan sebagai titik adheren yang bukan merupakan titik terisolasi.

Titik limit juga jangan dikelirukan dengan titik batas. Sebagai contoh, $0$ merupakan titik batas (namun bukan merupakan titik limit) dari singleton $\left\{0\right\}$ pada $\mathbb {R}$ dengan topologi baku. Di sisi lain, ${\tfrac {1}{2}}$ merupakan titik limit (namun bukan merupakan titik batas) dari selang $\left[0,\,1\right]$ pada $\mathbb {R}$ dengan topologi baku. Untuk contoh titik limit yang tidak terlalu trivial, lihat takarir pertama.

Konsep ini memperumum gagasan limit, dan menunjang pengertian konsep-konsep seperti himpunan tertutup dan penutup himpunan. Suatu himpunan dikatakan tertutup jika dan hanya jika himpunan tersebut memuat semua titik limitnya, dan operasi penutup topologis dapat diartikan sebagai operasi yang memperkaya suatu himpunan dengan menggabungkan himpunan tersebut dengan titik-titik limitnya.

Definisi

Titik akumulasi dari himpunan

Terhadap topologi Euklides, barisan bilangan rasional $x_{n}=\left(-1\right)^{n}{\dfrac {n}{n+1}}$ tidak memiliki limit (dengan kata lain, barisannya tidak konvergen), namun memiliki dua titik akumulasi (yang dianggap sebagai titik limit disini), yaitu $-1$ dan $1$. Akibatnya, dengan memandang suku barisannya sebagai suatu himpunan, kedua titik ini merupakan titik limit dari himpunan $H=\left\{\left.\left(-1\right)^{n}{\dfrac {n}{n+1}}\;\right|\,n\in \mathbb {N} \right\}$.

Misalkan $H$ adalah himpunan bagian dari ruang topologis $X$. Suatu titik $x\in X$ disebut sebagai titik limit atau titik gugus atau titik akumulasi dari himpunan $H$ jika setiap persekitaran dari $x$ memuat setidaknya satu titik pada $H$ selain $x$ itu sendiri.

Perhatikan bahwa tidak ada perbedaan jika persyaratan ini dibatasi hanya untuk persekitaran terbuka. Seringkali lebih mudah untuk menggunakan definisi versi "persekitaran terbuka" untuk menunjukkan bahwa suatu titik merupakan titik limit, dan kemudian menggunakan definisi versi "persekitaran secara umum" untuk mencari fakta/sifat dari titik limit tersebut.

Sebuah barisan yang mencacah semua bilangan rasional positif. Setiap bilangan riil merupakan titik gugus.

Jika $X$ merupakan ruang $T_{1}$ (seperti ruang metrik), maka $x\in X$ merupakan titik limit dari $H$ jika dan hanya jika setiap persekitaran dari $x$ memuat takhingga banyaknya titik pada $H$. Faktanya, ruang $T_{1}$ dikarakterkan oleh sifat ini.

Jika $X$ merupakan ruang metrik atau ruang pertama-terhitung (atau secara umum, ruang Fréchet–Urysohn), maka $x\in X$ merupakan titik limit dari $H$ jika dan hanya jika terdapat suatu barisan titik-titik pada $H\setminus \left\{x\right\}$ yang limitnya ialah $x$. Faktanya, ruang Fréchet–Urysohn dikarakterkan oleh sifat ini.

Himpunan seluruh titik limit dari $H$ disebut himpunan turunan dari $H$.

Titik akumulasi dapat dibedakan menjadi beberapa jenis, diantaranya:

1. Jika setiap persekitaran dari titik $x$ memuat takhingga banyaknya titik pada $H$, maka $x$ merupakan titik limit berjenis khusus yang disebut titik akumulasi ω dari $H$.
2. Jika setiap persekitaran dari titik $x$ memuat takterhitung banyaknya titik pada $H$, maka $x$ merupakan titik limit berjenis khusus yang disebut titik kondensasi dari $H$.
3. Jika irisan dari himpunan $H$ dengan setiap persekitaran dari titik $x$ memiliki kardinalitas yang sama dengan kardinalitas $H$, maka $x$ merupakan titik limit berjenis khusus yang disebut titik akumulasi lengkap dari $H$.

Titik akumulasi dari barisan dan jaring

Lihat pula: Jaring (matematika) § Titik gugus dari jaring; dan Filter (topologi) § Kekonvergenan, limit, dan titik gugus

Dalam ruang topologis $X$, titik $x\in X$ disebut sebagai titik gugus atau titik akumulasi dari suatu barisan $\langle x_{n}\rangle$ jika untuk setiap persekitaran $S$ dari $x$, terdapat takhingga banyaknya $n\in \mathbb {N}$ sedemikian sehingga $x_{n}\in S$. Hal ini setara dengan mengatakan bahwa untuk setiap persekitaran $S$ dari $x$ dan untuk setiap $k\in \mathbb {N}$, terdapat suatu $n\geq k$ sedemikian sehingga $x_{n}\in S$. Jika $X$ merupakan ruang metrik atau ruang pertama-terhitung (atau secara umum, ruang Fréchet–Urysohn), maka $x$ merupakan titik gugus dari $\langle x_{n}\rangle$ jika dan hanya jika $x$ merupakan limit dari suatu subbarisan dari $\langle x_{n}\rangle$. Himpunan semuaa titik-titik gugus dari suatu barisan dikenal sebagai himpunan limit.

Perhatikan bahwa sudah terdapat gagasan mengenai limit barisan, yaitu suatu titik $x$ dimana barisan tersebut konvergen (yaitu, setiap persekitaran dari $x$ memuat seluruh kecuali berhingga banyaknya elemen barisannya). Itulah mengapa istilah titik limit dari suatu barisan bukanlah sinonim dari titik akumulasi dari barisan.

Konsep jaring memperumum konsep barisan. Jaring merupakan suatu fungsi $j:\left(P,\,\leq \right)\to \left(X,\,T\right)$ dengan $\left(P,\,\leq \right)$ merupakan himpunan berarah dan $\left(X,\,T\right)$ merupakan ruang topologis. Suatu titik $x\in X$ disebut sebagai titik gugus atau titik akumulasi dari suatu jaring $j$ jika, untuk setiap persekitaran $S$ dari titik $x$ dan untuk setiap $p\in P$, terdapat suatu $q\geq p$ sedemikian sehingga $j\!\left(q\right)\in S$, atau secara ekuivalen, jika $j$ memiliki subjaringan yang konvergen ke $x$. Titik gugus pada jaring mencakup gagasan mengenai titik kondensasi dan titik akumulasi ω. Penggugusan dan titik limit juga dapat didefinisikan untuk filter.

Sifat-sifat

Setiap limit dari barisan tak konstan merupakan titik akumulasi dari barisan tersebut, dan berdasarkan definisi, setiap titik limit merupakan titik adheren.

Penutup dari himpunan $H$ (yang ditulis sebagai ${\overline {H}}$) merupakan gabungan lepas dari himpunan titik-titik limitnya beserta himpunan titik-titik terisolasinya. Secara matematis, maka $${\overline {H}}=L\!\left(H\right)\cup I\!\left(H\right)\qquad {\text{dan}}\qquad L\!\left(H\right)\cap I\!\left(H\right)=\varnothing$$

Sifat 1 — Suatu titik $x\in X$ merupakan titik limit dari $H\subseteq X$ jika dan hanya jika $x$ termuat pada penutup dari $H\setminus \left\{x\right\}$.

Bukti —

Diambil sembarang $H\subseteq X$ dan sembarang titik $x\in X$. Akan digunakan definisi penutup suatu himpunan berdasarkan persekitaran: suatu titik $x\in X$ adalah anggota dari ${\overline {H}}$ jika dan hanya jika setiap persekitaran dari $x$ memuat titik pada $H$, yang secara matematis dapat ditulis sebagai $${\overline {H}}=H\cup \partial H$$ dengan $\partial H$ menyatakan batas dari himpunan $H$.

Bagian 1. Jika $x$ merupakan titik limit dari $H$, maka berdasarkan definisi dari titik limit, setiap persekitaran dari $x$ memuat titik pada $H$ selain $x$ itu sendiri. Dengan kata lain, setiap persekitaran dari $x$ memuat titik pada $H\setminus \left\{x\right\}$. Berdasarkan definisi dari penutup himpunan, maka terbukti bahwa $x$ termuat pada penutup dari $H\setminus \left\{x\right\}$.

Bagian 2. Jika $x$ termuat pada penutup dari $H\setminus \left\{x\right\}$, maka berdasarkan definisi penutup himpunan, setiap persekitaran dari $x$ memuat titik pada $H\setminus \left\{x\right\}$. Dengan kata lain, setiap persekitaran dari $x$ memuat titik pada $H$ selain $x$ itu sendiri. Berdasarkan definisi dari titik limit, maka terbukti bahwa $x$ merupakan titik limit dari $H$.

Jika $L\!\left(H\right)$ menyatakan himpunan titik-titik limit dari $H$, maka diperoleh karakterisasi lain dari penutup $H$. Karakterisasi ini terkadang digunakan sebagai definisi dari operator penutup himpunan.

Sifat 2 — Penutup dari $H$ merupakan gabungan dari $H$ dan $L\!\left(H\right)$. Secara simbolis, maka $${\overline {H}}=H\cup L\!\left(H\right)$$

Bukti —

Bagian 1. Diambil sembarang $H\subseteq X$ dan $x\in {\overline {H}}$. Akan dibuktikan bahwa ${\overline {H}}\subseteq H\cup L\!\left(H\right)$.

1. Jika $x\in H$, maka pembuktiannya selesai.
2. Jika $x\not \in H$, maka setiap persekitaran dari $x$ memuat suatu titik pada $H$, dan titik ini bukanlah $x$. Dengan kata lain, $x$ merupakan titik limit $H$, sehingga $x\in L\!\left(H\right)$.

Akibatnya, terbukti bahwa ${\overline {H}}\subseteq H\cup L\!\left(H\right)$.

Bagian 2. Diambil sembarang $H\subseteq X$ dan $x\in H\cup L\!\left(H\right)$. Akan dibuktikan bahwa $H\cup L\!\left(H\right)\subseteq {\overline {H}}$.

1. Jika $x\in H$, maka jelas bahwa setiap persekitaran dari $x$ memuat suatu titik dari $H$. Berdasarkan definisi dari penutup himpunan, maka $x\in {\overline {H}}$.
2. Jika $x\in L\!\left(H\right)$, maka berdasarkan definisi dari titik limit, setiap persekitaran dari $x$ memuat suatu titik dari $H$ selain dari $x$ itu sendiri. Berdasarkan definisi dari penutup himpunan, maka $x\in {\overline {H}}$.

Pada kedua kasus di atas, maka terbukti bahwa $H\cup L\!\left(H\right)\subseteq {\overline {H}}$.

Akibat dari hasil di atas ialah karakterisasi lain dari himpunan tertutup, yang dinyatakan sebagai berikut

Sifat 3 — Suatu himpunan $H\subseteq X$ merupakan himpunan tertutup jika dan hanya jika $H$ memuat seluruh titik-titik limitnya.

Bukti —

Diambil sembarang himpunan $H\subseteq X$. Akan digunakan definisi himpunan tertutup menggunakan penutup himpunan: suatu himpunan $H$ merupakan himpunan tertutup jika dan hanya jika $H={\overline {H}}$

Bagian 1. Jika himpunan $H$ merupakan himpunan tertutup, maka $${\begin{aligned}H&={\overline {H}}\\&=H\cup L\!\left(H\right)\end{aligned}}$$ Akibatnya, $L\!\left(H\right)\subseteq H$, yang berarti himpunan $H$ memuat seluruh titik-titik limitnya.

Bagian 2. Jika himpunan $H$ memuat seluruh titik-titik limitnya, maka $L\!\left(H\right)\subseteq H$. Akibatnya, $${\begin{aligned}H\cup L\!\left(H\right)&=H\\{\overline {H}}&=H\end{aligned}}$$ sehingga himpunan $H$ merupakan himpunan tertutup.

Sifat 4 — titik terisolasi bukanlah titik limit dari himpunan manapun.

Bukti —

Definisi dari titik terisolasi merupakan negasi dari definisi titik limit.

Untuk setiap himpunan $H\subseteq X$ dan sembarang titik $x\in H$, pernyataan "terdapat suatu persekitaran dari titik $x$ yang tidak memuat titik lain pada $H$" merupakan negasi dari "setiap persekitaran dari titik $x$ memuat titik lain pada $H$". Secara simbolis, maka $$\underbrace {\left(\exists S_{x}\right)\left(S_{x}\cap H=\left\{x\right\}\right)} _{\text{definisi titik terisolasi}}=\neg \;\underbrace {\left(\left(\forall S_{x}\right)\left(S_{x}\cap H\neq \left\{x\right\}\right)\right)} _{\text{definisi titik limit}}$$

Sifat 5 — Suatu ruang $X$ merupakan ruang diskret jika dan hanya jika tidak ada himpunan bagian dari $X$ yang memiliki titik limit.

Bukti —

Bagian 1. Jika $X$ merupakan ruang diskret, maka berdasarkan definisi, setiap singleton merupakan himpunan terbuka. Berdasarkan definisi dari titik terisolasi, suatu titik $x$ dikatakan sebagai titik terisolasi pada himpunan $H\subseteq X$ jika terdapat suatu himpunan terbuka $B$ sedemikian sehingga $B\cap H=\left\{x\right\}$. Dengan memilih $B=\left\{x\right\}$ dan $H=X$, maka setiap titik $x\in X$ merupakan titik terisolasi. Akibatnya, $x$ bukanlah titik limit dari himpunan manapun.

Bagian 2. Jika $X$ bukan merupakan ruang diskret, maka maka berdasarkan definisi, terdapat suatu singleton $\left\{x\right\}$ yang tidak terbuka. Misalkan $S$ adalah persekitaran terbuka dari $\left\{x\right\}$. Andaikan $S$ tidak memuat titik lain selain $x$, maka $$S=\left\{x\right\}$$ Akan tetapi, himpunan $S$ merupakan himpunan terbuka, sedangkan diketahui bahwa singleton $\left\{x\right\}$ tidak terbuka. Akibatnya, setiap persekitaran terbuka dari $\left\{x\right\}$ memuat suatu titik $p\neq x$. Berdasarkan definisi dari titik limit, maka $x$ merupakan titik limit pada $X$.

Lihat juga

• Titik adheren
• Titik kondensasi
• Filter (topologi)
• Himpunan turunan (matematika)
• Titik terisolasi
• Limit fungsi
• Limit barisan
• Limit subbarisan

Referensi

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Limit point of a set", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 

Pranala luar

• limit point, PlanetMath.org.