Dalam matematika, khususnya teori homotopi, pemetaan kontinu

di mana dan adalah ruang topologi, kofibrasi adalah kelas homotopi peta diperluas ke kelas peta homotopi peta diperluas ke peta di mana , karena kelas homotopi yang terkait adalah .

Jenis struktur dikodekan dengan kondisi teknis yang memiliki sifat ekstensi homotopi dari ruang . Definisi ganda dengan fibrasi, yang diperlukan untuk mengunakan sifat pengangkatan homotopi dengan semua ruang. Dualitas ini secara informal disebut sebagai dualitas Eckmann-Hilton. Karena sifat umum dinyatakan, maka digunakan dalam kategori model.

Definisi

sunting

Teori homotopi

sunting

Peta   ruang topologi disebut kofibrasi[1]hal 51 jika untuk peta   sedemikian rupa sehingga ekstensi ke  , maka peta   adalah  , dengan memperluas homotopi peta   ke homotopi peta  , dimana

 

Dengan mencari kondisi dalam diagram komutatif berikut

 

di mana   adalah ruang jalur  .

Objek kofibrant

sunting

Untuk kategori model  , untuk ruang topologi runcing, sebuah objek   disebut cofibrant jika peta   adalah kofibrasi. Perhatikan bahwa dalam kategori ruang topologi runcing, pengertian kofibrasi bertepatan dengan definisi sebelumnya dengan asumsi peta adalah peta runcing dari ruang topologi.

Contoh

sunting

Dalam topologi

sunting

Kofibrasi adalah kelas peta yang canggung dari perspektif komputasi karena lebih mudah dilihat sebagai alat teknis formal yang memungkinkan seseorang untuk "melakukan" konstruksi teori homotopi dengan ruang topologi. Maka

 

dari ruang topologi, kofibrasi terkait ruang   disebut peta tabung (di mana   adalah retraksi deformasi, maka homotopi setara dengannya) yang memiliki kofibrasi terinduksi yang disebut mengganti peta dengan kofibrasi

 

dan peta   dengan   faktor melalui, artinya diagram komutatif

di mana   adalah ekuivalen homotopi.

Selain kelas contoh, maka

  • Fakta yang sering digunakan adalah bahwa inklusi seluler adalah kofibrasi (jadi, misalnya, jika   adalah kompleks CW   adalah kofibrasi). Fakta sebelumnya maka   adalah kofibrasi untuk setiap  , dan pushout adalah peta perekatan ke  .
  • Kofibrasi dipertahankan di bawah tekanan dan komposisi, yang dinyatakan persis di bawah ini.

Dalam kompleks rantai

sunting

Jika   menjadi kategori kompleks rantai yang   dalam derajat  , kemudian ada struktur kategori model [2]hal 1.2 di mana ekuivalen lemahnya adalah Isomorfisme semu, jadi peta kompleks rantai yang isomorfisme setelah mengambil kohomologi, fibrasi yaitu epimorfisme, dan kofibrasi diberikan oleh peta

 

bersifat injektif dan kompleks kokernel   adalah kompleks objek proyektif di   . Selain itu, objek kofibrant adalah kompleks objeknya adalah objek proyektif  .

Himpunan semi-sederhana

sunting

Untuk kategori   dari himpunan semi-sederhana [2]hal 1.3 (tidak menggunakan peta degenerasi naik dalam derajat), terdapat struktur kategori model dengan fibrasi yang diberikan oleh fibrasi, peta injeksi kofibrasi, dan ekuivalen lemah diberikan realisasi geometris.

  • Untuk ruang Hausdorff, setiap kofibrasi adalah inklusi tertutup (injektif dengan gambar tertutup); hasilnya juga menggeneralisasi ruang Hausdorff lemah.
  • Pushout dari suatu kofibrasi adalah kofibrasi. Artinya, jika   adalah peta (kontinu) apa pun (antara ruang yang dibuat secara kompak), dan   adalah kofibrasi, lalu peta yang diinduksi   adalah kofibrasi.
  • Peta tabung dapat dipahami sebagai dorongan dari   dan embedding (di salah satu ujung interval unit)   . Artinya, silinder pemetaan dapat didefinisikan sebagai  . Dengan sifat universal pushout,   adalah kofibrasi tepat ketika peta pemetaan dapat dibangun untuk setiap ruang X.
  • Setiap peta dapat diganti dengan kofibrasi melalui konstruksi peta tabung. Artinya, diberikan peta yang berubah-ubah (berkelanjutan)   (antara ruang yang dihasilkan secara kompak), seseorang mendefinisikan tabung pemetaan
  .
Satu kemudian dikomposisi   dalam komposit kofibrasi dan ekuivalen homotopi.   ditulis sebagai peta
 
dengan  , kapan   adalah inklusi, dan   di   dan   di   .
  • Kofibrasi (A, X), jika dan hanya jika retraksi dari   untuk  , karena ini adalah pushout dan dengan demikian menginduksi peta ke setiap ruang yang masuk akal dalam diagram.
  • Persamaan yang serupa dapat dinyatakan untuk pasangan deformasi-retraksi, dan untuk pasangan deformasi-retraksi lingkungan.

Konstruksi dengan kofibrasi

sunting

Pengganti Kofibrant

sunting

Perhatikan bahwa dalam kategori model   jika   bukan kofibrasi, maka silinder pemetaan   membentuk pengganti kofibrant . Faktanya, jika kita bekerja hanya dalam kategori ruang topologi, penggantian kofibran untuk peta apa pun dari titik ke ruang membentuk pengganti kofibran.

Kofiber

sunting

Untuk kofibrasi   mendefinisikan kofiber ruang hasil bagi diinduksi  . Secara umum, untuk  , cofiber [1]hal 59 didefinisikan sebagai ruang hasil bagi

 

yang merupakan kerucut pemetaan   . Secara homotopis, serat karbon bertindak sebagai coklat homotopi peta   . Faktanya, untuk ruang topologi runcing, kolom homotopi dari

 

Faktanya, urutan peta   dilengkapi dengan urutan kofiber dengan segitiga distiguisi dalam kategori triangulasi.

Lihat pula

sunting

Referensi

sunting
  1. ^ a b May, J. Peter. (1999). A concise course in algebraic topology. Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-51182-0. OCLC 41266205. 
  2. ^ a b Quillen, Daniel G. (1967). Homotopical algebra. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-03914-3. OCLC 294862881. 
  • Peter May, "A Concise Course in Algebraic Topology" : bab 6 mendefinisikan dan mendiskusikan kofibrasi, dan digunakan di seluruh
  • Ronald Brown, "Topologi dan Groupoids" ; Bab 7 berjudul "Kofibrasi", dan memiliki banyak hasil yang tidak ditemukan di tempat lain.