Lapangan terurut

bidang bersama dengan urutan total elemennya yang kompatibel dengan operasi bidang


Dalam matematika, lapangan terurut atau medan terurut, adalah lapangan dengan urutan total pada elemen-elemennya dan sesuai dengan operasi-operasi pada lapangan tersebut. Contoh sederhana dari lapangan terurut adalah lapangan bilangan rasional dan bilangan real, masin-masing dengan pengurutan standar mereka.

Setiap sublapangan dari sebarang lapangan terurut juga merupakan suatu lapangan terurut dengan urutan yang sama. Setiap lapangan terurut mengandung suatu sublapangan terurut yang isomorfik ke (sistem) bilangan rasional. Setiap lapangan terurut lengkap-Dedekind isomorfik ke bilangan real. Kuadrat harus bernilai non-negatif dalam sebarang lapangan terurut. Hal ini mengartikan bilangan kompleks tidak dapat diurutkan, karena kuadrat dari unit imajiner adalah (yang bersifat negatif dalam sebarang lapangan terurut). Lapangan hingga tidak dapat diurutkan.

Dari aspek sejarah, aksiomatisasi lapangan terurut adalah proses abstraksi yang perlahan dari sistem bilangan real, oleh para matematikawan yang meliputi David Hilbert, Otto Hölder, dan Hans Hahn. Upaya ini akhirnya berkembang menjadi teorema Artin–Schreier untuk lapangan terurut dan lapangan real yang formal (formally real field).

Definisi

sunting

Ada dua definisi umum yang saling setara untuk lapangan terurut. Definisi menggunakan urutan total muncul pertama kali dalam sejarah, dan merupakan aksiomatisasi tingkat-pertama dari urutan   sebagai predikat biner. Artin dan Schereier memberikan definisi menggunakan kerucut positif di tahun 1926, yang mengaksiomatisasi subkoleksi dari elemen-elemen non-negatif.

Urutan total

sunting

Sebarang lapangan   dengan suatu urutan total   pada   disebut sebagai lapangan terurut jika pengurutan yang digunakan memenuhi sifat-sifat berikut untuk sebarang  

  • Jika   maka   dan
  • Jika   dan   maka  

Seperti biasa, notasi   digunakan untuk merujuk   dan  . Notasi   dan   masing-masing mengartikan   dan  . Elemen-elemen   dengan   disebut positif.

Kerucut positif

sunting

Kerucut prepositif atau pra-pengurutan dari sebarang lapangan   adalah suatu subset   yang memenuhi sifat-sifat berikut:[1]

  • Untuk   dan   di   elemen   dan   berada di  
  • Jika   maka   Secara khusus,   dan  
  • Elemen   tidak ada di  

Suatu lapangan pra-terurut adalah lapangan yang dilengkapi dengan suatu pra-pengurutan   Elemen-elemen tak-nol   membentuk suatu subgrup dari grup multiplikatif dari   Jika, sebagai tambahan, himpunan   adalah gabungan dari   dan   subset   disebut sebagai suatu kerucut positif dari   Elemen-elemen tak-nol di   disebut elemen positif dari   Lapangan terurut adalah lapangan   yang dilengkapi kerucut positif  

Pra-pengurutan pada   adalah irisan dari kerucut-kerucut positif pada   Kerucut positif adalah maksimal dari pra-pengurutan.[1]

Kesetaraan kedua definisi

sunting

Misalkan   merupakan lapangan. Terdapat suatu bijeksi antara pengurutan lapangan dari   dengan kerucut-kerucut positif dari  

Dari definisi pertama,   memiliki pengurutan  , dan himpunan semua elemen   membentuk suatu kerucut positif dari   Kebalikannya, dari definisi kedua,   memiliki kerucut positif  , dan suatu pengurutan total   pada   dapat disusun dengan menetapkan   untuk mengartikan   Hal ini mengartikan   memenuhi sifat-sifat dari definisi pertama.  

Contoh

sunting

Beberapa contoh lapangan terurut antara lain:

  • Lapangan bilangan rasional   dengan pengurutan standarnya (yang juga merupakan satu-satunya pengurutan yang dimilikinya).
  • Lapangan bilangan real   dengan pengurutan standarnya (yang juga merupakan satu-satunya pengurutan yang dimilikinya).
  • Sebarang sublapangan dari lapangan terurut; seperti bilangan aljabar dan bilangan terhitung real, merupakan lapangan terurut dengan membatasi pengurutan ke sublapangan tersebut.
  • Lapangan fungsi rasional real   dengan   dan   berupa polinomial dengan koefisien rasional dan  , dapat dibuat menjadi lapangan terurut dengan menetapkan suatu bilangan transenden   dan mendefinisikan   jika dan hanya jika   Cara tersebut setara dengan menyisipkan   ke   lewat   dan membatasi pengurutan dari   ke suatu pengurutan dari bayangan dari  . Dalam gaya ini, kita dapat mendapatkan banyak pengurutan dari  .
  • Lapangan   dari fungsi rasional  , dengan   dan   berupa polinomal dengan koefisien real dan  , dapat dibuat menjadi lapangan terurut dengan mendefinisikan   untuk mengartikan  , dengan   dan   masing-masing adalah koefisien terdepan dari polinomial   dan  . Cara lain yang setara: untuk setiap fungsi rasional   kita memiliki   jika dan hanya jika   untuk semua   yang cukup besar. Dalam lapangan terurut ini, polinomial   lebih besar dari sebarang polinomial konstan, mengakibatkan lapangan terurut tidak bersifat Archimedes.
  • Lapangan   dari deret Laurent formal dengan koefisien real dan   dianggap infitesimal dan positif.
 
Untuk sebarang   dan  , akan berlaku  
 
Untuk sebarang   akan berlaku  

Untuk sebarang lapangan terurut   dan sebarang   di  , sifat-sifat ini berlaku untuk  :

  • Antara   atau  
  • Pertidaksamaan dapat "dijumlahkan": jika   dan  , maka  .
  • Pertidaksamaan dapat "dikalikan dengan elemen positif": jika   dan  , maka  .
  • "Mengalikan dengan elemen negatif akan membalik pertidaksamaan": jika   dan  , maka  .
  • Transitivitas dari pertidaksamaan: jika   dan  , maka  .
  • Jika   dan  , maka  .
  • Penguadratan selalu non-negatif:  . Secara khusus, karena   kita dapatkan   Tapi   sehingga kita simpulkan  
  • Medan terurut memiliki karakteristik 0. (Karena  , maka   dan   dst., sehingga tidak ada jumlah terhingga dari   yang dapat bernilai  ). Secara khusus, ini mengartikan lapangan hingga tidak dapat diurutkan.
  • Setiap jumlah tak-trivial dari penguadratan bernilai tak-nol. Secara matematis,  [2][3]

Semua sublapangan dari sebarang lapangan terurut   juga merupakan lapangan terurut (mewarisi pengurutan yang digunakan  ). Sublapangan terkecil dari   isomorfik ke rasional (sama seperti semua lapangan dengan karakteristik 0 lainnya), dan urutan pada sublapangan rasional ini akan sama dengan urutan pada bilangan rasional. Lapangan terurut   isomorfik ke lapangan bilangan real   jika dan hanya jika, setiap subset tak-kosong dari   dengan batas atas di   memiliki batas atas terkecil di  .

Jika setiap elemen dari suatu lapangan terurut selalu terletak diantara dua elemen dari sublapangan rasionalnya, maka lapangan tersebut dikatakan bersifat Archimedes. Tapi jika tidak, lapangan bersifat non-Archimedes dan mengandung infinitesimal. Sebagai contoh, bilangan real membentuk suatu lapangan Archimedes, namun bilangan hiperreal tidak, karena sistem bilangan ini memperluas bilangan real dengan elemen-elemen yang lebih besar daripada semua bilangan asli standar.[4]

Ruang vektor atas lapangan terurut

sunting

Ruang vektor (khususnya ruang koordinat) atas suatu lapangan terurut memiliki beberapa sifat penting dan memiliki struktur yang khusus, yakni: orientasi, kecembungan, dan hasil-kali dalam yang definit-positif.

Keterurutan lapangan

sunting

Semua lapangan terurut merupakan lapangan real yang formal (formally real field), artinya, elemen 0 tidak dapat dituliskan sebagai jumlah dari kuadrat-kuadrat elemen tak-nol.[2][3] Kebalikannya, semua lapangan real yang formal dapat dilengkapi dengan suatu urutan total (yang sesuai), yang mengubahnya menjadi lapangan terurut. Bukti hubungan ini memerlukan lema Zorn.[5]

Lapangan hingga dan secara umum lapangan dengan karakteristik positif, tidak dapat diubah menjadi lapangan terurut. Bilangan kompleks juga tidak dapat diubah menjadi lapangan terurut, karena   adalah kuadrat dari unit imajiner  . Selain itu, bilangan p-adik tidak dapat diurutkan karena berdasarkan lema Hensel,   mengandung akar kuadrat dari   sehingga   dan   dengan   mengandung akar kuadrat dari   sehingga  

Lihat pula

sunting

Catatan kaki

sunting
  1. ^ a b Lam (2005) p. 289
  2. ^ a b Lam (2005) hlm. 41
  3. ^ a b Lam (2005) hlm. 232
  4. ^ Bair, Jaques; Henry, Valérie. "Implicit differentiation with microscopes" (PDF). University of Liège. Diakses tanggal 2013-05-04. 
  5. ^ Lam (2005) p. 236

Pustaka

sunting