Simetri ikosahedral

ikosahedron reguler memiliki 60 simetri rotasi (atau pelestari orientasi), dan urutan simetri sebanyak 120 termasuk transformasi yang menggabungkan refleksi dan rotasi
Grup titik dalam tiga dimensi

Simetri involusi
Cs, (*)
[ ] =

Simetri siklik
Cnv, (*nn)
[n] =

Simetri dihedral
Dnh, (*n22)
[n,2] =
Grup polihedral, [n,3], (*n32)

Simetri tetrahedral
Td, (*332)
[3,3] =

Simetri oktahedral
Oh, (*432)
[4,3] =

Simetri ikosahedral
Ih, (*532)
[5,3] =

Sebuah ikosahedron reguler memiliki 60 simetri rotasi (atau pelestari orientasi), dan urutan simetri sebanyak 120 termasuk transformasi yang menggabungkan refleksi dan rotasi. Sebuah dodecahedron beraturan memiliki himpunan simetri yang sama, karena merupakan ganda dari ikosahedron.

Domain dasar simetri ikosahedral
Sebuah sepak bola, contoh umum dari bola ikosahedron potongan, memiliki simetri ikosahedral penuh.

Grup simetri penuh (termasuk refleksi) dikenal juga sebagai grup Coxeter H3, dan diwakili oleh notasi Coxeter [5,3] dan diagram Coxeter . Himpunan simetri orientasi-kekal dalam bentuk subgrup isomorfik pada grup A5 (grup selang-seling pada 5 huruf).

Sebagai titik grup

sunting

Terlepas dari dua deret tak hingga dari simetri prismatik dan antiprismatik, simetri ikosahedral rotasi atau simetri ikosahedral kiral dari objek kiral dan simetri ikosahedral penuh atau simetri ikosahedral akiral adalah simetri titik diskret (atau ekuivalen, simetri pada bola) dengan grup simetri terbesar.

Simetri ikosahedral tidak kompatibel dengan simetri translasi, jadi tidak ada grup titik kristalografi atau grup ruang terkait.

Schö. Coxeter Orb. Struktur
abstrak
Orde
I [5,3]+       532 A5 60
Ih [5,3]       *532 A5×2 120

Presentasi yang sesuai dengan di atas adalah:

 
 

Ini sesuai dengan grup ikosahedral (rotasi dan penuh) sebagai (2,3,5) grup segitiga.

Presentasi pertama diberikan oleh William Rowan Hamilton pada tahun 1856, dalam makalahnya tentang kalkulus ikosian.[1]

Perhatikan bahwa presentasi lain dimungkinkan, misalnya sebagai grup selang-seling (untuk I).

Visualisasi

sunting
Schoe.
(Orb.)
Notasi
Coxeter
Elemen Diagram cermin
Ortogonal Proyeksi stereografis
Ih
(*532)
     
     
[5,3]
Garis
cermin:
15  
       
I
(532)
     
 
[5,3]+
Titik
girasi:
125 
203 
302 
   
 
 
 
 
 

Struktur grup

sunting
   
Tepi sebuah bola gabungan lima oktahedra mewakili 15 bidang cermin sebagai lingkaran besar berwarna. Setiap oktahedron/segi delapan mewakili 3 bidang cermin ortogonal pada tepinya.
   
Simetri piritohedron adalah subgrup indeks 5 simetri ikosahedral, dengan 3 garis refleksi hijau ortogonal dan 8 titik girasi urutan-3 merah. Ada 5 orientasi yang berbeda dari simetri piritohedron.

Grup rotasi ikosahedral I adalah urutan 60. Grup I adalah isomorfik hingga A5, grup selang-seling dari permutasi genap lima objek. Isomorfisme ini diwujudkan dengan "I" pada berbagai senyawa, terutama majemuk lima kubus (yang tertulis di dodecahedron), gabungan lima oktahedra, atau salah satu dari dua senyawa lima tetrahedra (yaitu enantiomorf, dan tertulis di dodecahedron).

Grup berisi 5 versi Th dengan 20 versi D3 (10 sumbu, 2 per sumbu), dan 6 versi D5.

Grup ikosahedral penuh Ih memiliki urutan 120. Memiliki I sebagai subgrup normal dari indeks 2. Grup Ih isomorfik dengan I × Z2, atau A5 × Z2, dengan inversi di tengah sesuai dengan elemen (identitas,-1), dimana Z2 ditulis secara perkalian.

Ih pada gabungan lima kubus dan gabungan lima oktahedra, namun 1 bertindak sebagai identitas (karena kubus dan oktahedra simetris terpusat). Ia bekerja pada gabungan sepuluh tetrahedra: I pada dua bagian kiral (gabungan dari lima tetrahedra), dan 1 menukar dua bagian. Khususnya, "tidak" bertindak sebagai S5, dan grup ini tidak isomorfik; lihat di bawah untuk detailnya.

Grup ini berisi 10 versi D3d dan 6 versi D5d (simetri seperti antiprisma).

I adalah isomorfik pada PSL2(5), namun Ih tidak isomorfik terhadap SL2(5).

Isomorfisme I dengan A5

sunting

Hal ini berguna untuk menggambarkan secara eksplisit seperti apa isomorfisme antara I dan A5. Pada tabel berikut, permutasi Pi dan Qi masing-masing bekerja pada 5 dan 12 elemen, sedangkan matriks rotasi Mi adalah elemen dari I. Jika Pk adalah hasil kali dari permutasi Pi dan menerapkan Pj padanya, maka untuk nilai yang sama dari i, j dan k, juga benar bahwa Qk adalah hasil kali dari pengambilan Qi dan menerapkan Qj, dan juga mengalikan sebuah vektor dengan Mk sama dengan mengalikan vektor tersebut dengan Mi dan kemudian mengalikan hasilnya dengan Mj, yaitu Mk = Mj × Mi. Karena permutasi Pi adalah semua 60 permutasi genap dari 12345, korespondensi satu-ke-satu dibuat eksplisit, oleh karena itu isomorfismenya juga.

Matriks rotasi Permutasi 5
pada 1 2 3 4 5
Permutasi 12
pada 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
    = ()   = ()
    = (3 4 5)   = (1 11 8)(2 9 6)(3 5 12)(4 7 10)
    = (3 5 4)   = (1 8 11)(2 6 9)(3 12 5)(4 10 7)
    = (2 3)(4 5)   = (1 12)(2 8)(3 6)(4 9)(5 10)(7 11)
    = (2 3 4)   = (1 2 3)(4 5 6)(7 9 8)(10 11 12)
    = (2 3 5)   = (1 7 5)(2 4 11)(3 10 9)(6 8 12)
    = (2 4 3)   = (1 3 2)(4 6 5)(7 8 9)(10 12 11)
    = (2 4 5)   = (1 10 6)(2 7 12)(3 4 8)(5 11 9)
    = (2 4)(3 5)   = (1 9)(2 5)(3 11)(4 12)(6 7)(8 10)
    = (2 5 3)   = (1 5 7)(2 11 4)(3 9 10)(6 12 8)
    = (2 5 4)   = (1 6 10)(2 12 7)(3 8 4)(5 9 11)
    = (2 5)(3 4)   = (1 4)(2 10)(3 7)(5 8)(6 11)(9 12)
    = (1 2)(4 5)   = (1 3)(2 4)(5 8)(6 7)(9 10)(11 12)
    = (1 2)(3 4)   = (1 5)(2 7)(3 11)(4 9)(6 10)(8 12)
    = (1 2)(3 5)   = (1 12)(2 10)(3 8)(4 6)(5 11)(7 9)
    = (1 2 3)   = (1 11 6)(2 5 9)(3 7 12)(4 10 8)
    = (1 2 3 4 5)   = (1 6 5 3 9)(4 12 7 8 11)
    = (1 2 3 5 4)   = (1 4 8 6 2)(5 7 10 12 9)
    = (1 2 4 5 3)   = (1 8 7 3 10)(2 12 5 6 11)
    = (1 2 4)   = (1 7 4)(2 11 8)(3 5 10)(6 9 12)
    = (1 2 4 3 5)   = (1 2 9 11 7)(3 6 12 10 4)
    = (1 2 5 4 3)   = (2 3 4 7 5)(6 8 10 11 9)
    = (1 2 5)   = (1 9 8)(2 6 3)(4 5 12)(7 11 10)
    = (1 2 5 3 4)   = (1 10 5 4 11)(2 8 9 3 12)
    = (1 3 2)   = (1 6 11)(2 9 5)(3 12 7)(4 8 10)
    = (1 3 4 5 2)   = (2 5 7 4 3)(6 9 11 10 8)
    = (1 3 5 4 2)   = (1 10 3 7 8)(2 11 6 5 12)
    = (1 3)(4 5)   = (1 7)(2 10)(3 11)(4 5)(6 12)(8 9)
    = (1 3 4)   = (1 9 10)(2 12 4)(3 6 8)(5 11 7)
    = (1 3 5)   = (1 3 4)(2 8 7)(5 6 10)(9 12 11)
    = (1 3)(2 4)   = (1 12)(2 6)(3 9)(4 11)(5 8)(7 10)
    = (1 3 2 4 5)   = (1 4 10 11 5)(2 3 8 12 9)
    = (1 3 5 2 4)   = (1 5 9 6 3)(4 7 11 12 8)
    = (1 3)(2 5)   = (1 2)(3 5)(4 9)(6 7)(8 11)(10 12)
    = (1 3 2 5 4)   = (1 11 2 7 9)(3 10 6 4 12)
    = (1 3 4 2 5)   = (1 8 2 4 6)(5 10 9 7 12)
    = (1 4 5 3 2)   = (1 2 6 8 4)(5 9 12 10 7)
    = (1 4 2)   = (1 4 7)(2 8 11)(3 10 5)(6 12 9)
    = (1 4 3 5 2)   = (1 11 4 5 10)(2 12 3 9 8)
    = (1 4 3)   = (1 10 9)(2 4 12)(3 8 6)(5 7 11)
    = (1 4 5)   = (1 5 2)(3 7 9)(4 11 6)(8 10 12)
    = (1 4)(3 5)   = (1 6)(2 3)(4 9)(5 8)(7 12)(10 11)
    = (1 4 5 2 3)   = (1 9 7 2 11)(3 12 4 6 10)
    = (1 4)(2 3)   = (1 8)(2 10)(3 4)(5 12)(6 7)(9 11)
    = (1 4 2 3 5)   = (2 7 3 5 4)(6 11 8 9 10)
    = (1 4 2 5 3)   = (1 3 6 9 5)(4 8 12 11 7)
    = (1 4 3 2 5)   = (1 7 10 8 3)(2 5 11 12 6)
    = (1 4)(2 5)   = (1 12)(2 9)(3 11)(4 10)(5 6)(7 8)
    = (1 5 4 3 2)   = (1 9 3 5 6)(4 11 8 7 12)
    = (1 5 2)   = (1 8 9)(2 3 6)(4 12 5)(7 10 11)
    = (1 5 3 4 2)   = (1 7 11 9 2)(3 4 10 12 6)
    = (1 5 3)   = (1 4 3)(2 7 8)(5 10 6)(9 11 12)
    = (1 5 4)   = (1 2 5)(3 9 7)(4 6 11)(8 12 10)
    = (1 5)(3 4)   = (1 12)(2 11)(3 10)(4 8)(5 9)(6 7)
    = (1 5 4 2 3)   = (1 5 11 10 4)(2 9 12 8 3)
    = (1 5)(2 3)   = (1 10)(2 12)(3 11)(4 7)(5 8)(6 9)
    = (1 5 2 3 4)   = (1 3 8 10 7)(2 6 12 11 5)
    = (1 5 2 4 3)   = (1 6 4 2 8)(5 12 7 9 10)
    = (1 5 3 2 4)   = (2 4 5 3 7)(6 10 9 8 11)
    = (1 5)(2 4)   = (1 11)(2 10)(3 12)(4 9)(5 7)(6 8)

Grup biasa limbung

sunting

Semua grup berikut memiliki urutan 120, tetapi tidak isomorfik:

Ia sesuai dengan urutan tepat pendek berikut (yang terakhir tidak terpecah) dan produk

 
 
 

In words,

  •   adalah subgrup normal dari  
  •   adalah faktor dari  , yang merupakan produk langsung
  •   adalah grup hasil bagi dari  

Perhatikan bahwa   memiliki biasa 3 dimensi representasi yang tidak direduksi (sebagai grup rotasi ikosahedral), namun   tidak memiliki representasi 3 dimensi yang tidak dapat direduksi, sesuai dengan grup ikosahedral penuh tidak sebagai grup simetris.

Ini juga dikaitkan dengan grup linear atas Medan hingga dengan lima elemen, yang menunjukkan subgrup dan grup penutup secara langsung; tidak satupun dari ini adalah grup ikosahedral penuh:

Kelas konjugasi

sunting

120 simetri terbagi dalam 10 kelas konjugasi.

Kelas konjugasi
I Kelas penjumlahan Ih
  • identitas, urutan 1
  • 12 × rotasi sebesar ±72°, urutan 5, mengelilingi 6 sumbu melalui pusat muka dodecahedron
  • 12 × rotasi sebesar ±144°, urutan 5, mengelilingi 6 sumbu melalui pusat muka dodecahedron
  • 20 × rotasi dengan ±120°, urutan 3, sekitar 10 sumbu melalui simpul dari dodecahedron
  • 15 × rotasi 180°, urutan 2, sekitar 15 sumbu melalui titik tengah tepi dodecahedron
  • inversi pusat, urutan 2
  • 12 × rotorefleksi sebesar ±36°, urutan 10, di sekitar 6 sumbu melalui pusat muka dodecahedron
  • 12 × rotorefleksi sebesar ±108°, urutan 10, di sekitar 6 sumbu melalui pusat muka dodecahedron
  • 20 × rotorefleksi sebesar ±60°, orde 6, di sekitar 10 sumbu melalui simpul dodecahedron
  • 15 × refleksi, urutan 2, pada 15 bidang melalui tepi dodecahedron

Subgrup dari grup simetri ikosahedral penuh

sunting
 
Relasi subgrup
 
Relasi subgrup kiral

Setiap baris dalam tabel berikut mewakili satu kelas subgrup konjugat (yaitu, ekuivalen secara geometris). Kolom "Banyak." (multiplisitas) memberikan jumlah subgrup yang berbeda di kelas konjugasi. Penjelasan warna: hijau = grup yang dihasilkan oleh refleksi, merah = grup kiral (pelestarian orientasi), yang hanya berisi rotasi.

Grup tersebut digambarkan secara geometris dalam bentuk dodecahedron. Singkatan "s.p.m.t.(tepi)" berarti "setengah putaran menukar tepi ini dengan tepi berlawanan", dan juga untuk "wajah" dan "simpul".

Schön. Coxeter Orb. H-M Struktur Siklus. Urutan|Indeks Mult. Deskripsi
Ih [5,3]       *532 532/m A5×Z2 120 1 1 grup penuh
D2h [2,2]       *222 mmm Dih2×Dih1=Dih13   8 15 5 memperbaiki dua sisi berlawanan, dengan menukarnya
C5v [5]     *55 5m Dih5 25px]] 10 12 6 memperbaiki wajah
C3v [3]     *33 3m Dih3=S3   6 20 10 memperbaiki simpul
C2v [2]     *22 2mm Dih2=Dih12   4 30 15 memperbaiki tepi
Cs [ ]   * 2 atau m Dih1   2 60 15 refleksi menukar dua titik akhir dari sebuah tepi
Th [3+,4]       3*2 m3 A4×Z2   24 5 5 grup piritohedral
D5d [2+,10]       2*5 10m2 Dih10=Z2×Dih5   20 6 6 memperbaiki dua wajah berlawanan, dengan menukarnya
D3d [2+,6]       2*3 3m Dih6=Z2×Dih3   12 10 10 memperbaiki dua simpul berlawanan, dengan menukarnya
D1d = C2h [2+,2]       2* 2/m Dih2=Z2×Dih1   4 30 15 setengah putaran di sekitar titik tengah tepi, ditambah inversi pusat
S10 [2+,10+]       5 Z10=Z2×Z5   10 12 6 rotasi wajah, ditambah inversi pusat
S6 [2+,6+]       3 Z6=Z2×Z3   6 20 10 rotasi tentang simpul, ditambah inversi pusat
S2 [2+,2+]       × 1 Z2   2 60 1 inversi pusat
I [5,3]+       532 532 A5 60 2 1 semua rotasi
T [3,3]+       332 332 A4   12 10 5 rotasi dari tetrahedron terhubung
D5 [2,5]+       522 522 Dih5   10 12 6 rotasi di sekitar pusat wajah, dan s.p.m.t.(wajah)
D3 [2,3]+       322 322 Dih3=S3   6 20 10 rotasi di sekitar simpul, dan s.p.m.t.(titik)
D2 [2,2]+       222 222 Dih2=Z22   4 30 15 setengah berputar di sekitar titik tengah tepi, dan s.p.m.t.(tepi)
C5 [5]+     55 5 Z5   5 24 6 rotasi di sekitar pusat wajah
C3 [3]+     33 3 Z3=A3   3 40 10 rotasi di sekitar simpul
C2 [2]+     22 2 Z2   2 60 15 setengah putaran titik tengah tepi
C1 [ ]+   11 1 Z1   1 120 1 grup trivial

Stabilisator titik

sunting

Stabilisator dari pasangan simpul berlawanan diartikan sebagai stabilisator dari sumbu yang dihasilkan.

  • stabilisator titik di I memberikan grup siklik C3
  • stabilisator titik di Ih memberikan grup dihedral D3
  • stabilisator dari pasangan simpul berlawanan di I memberikan grup dihedral D3
  • stabilisator dari pasangan simpul berlawanan di Ih memberikan  

Stabilisator tepi

sunting

Stabilisator dari sepasang tepi berlawanan diartikan sebagai stabilisator persegi panjang yang dihasilkan.

  • stabilisator tepi di I memberikan grup siklik Z2
  • penstabil tepi di Ih memberikan Klein empat grup  
  • stabilisator dari sepasang sisi dalam I memberikan Klein empat grup  ; 5 diantaranya, diberikan oleh rotasi 180° dalam 3 sumbu tegak lurus.
  • stabilisator dari sepasang sisi dalam Ih memberikan  ; 5 diantaranya, yang diberikan oleh refleksi dalam 3 sumbu tegak lurus.

Stabilisator wajah

sunting

Stabilisator dari pasangan wajah berlawanan diartikan sebagai stabilisator anti-prisma yang dihasilkan.

  • stabilisator wajah di I memberikan grup siklik C5
  • stabilisator wajah di Ih memberikan grup dihedral D5
  • stabilisator dari pasangan wajah berlawanan di I memberikan grup dihedral D5
  • stabilisator dari pasangan wajah yang berlawanan di Ih memberikan  

Stabilisator polihedron

sunting

Untuk masing-masing, 5 salinan konjugasi, dan tindakan konjugasi memberikan peta,  .

  • stabilisator dari tetrahedra tertulis di I adalah salinan T
  • stabilisator dari tetrahedra tertulis di Ih adalah salinan T
  • stabilisator dari kubus tertulis (atau pasangan berlawanan dari tetrahedra, atau oktahedra) di I adalah salinan T
  • stabilisator dari kubus tertulis (atau pasangan berlawanan dari tetrahedra, atau oktahedra) di Ih adalah salinan dari Th

Generator grup Coxeter

sunting

Grup simetri ikosahedral penuh [5,3] (     ) urutan 120 memiliki generator diwakili oleh matriks refleksi R0, R1, R2, dengan relasi R02 = R12 = R22 = (R0×R1)5 = (R1×R2)3 = (R0×R2)2 = Identitas. Grup [5,3]+ (     ) urutan 60 dihasilkan oleh dua rotasi S0,1, S1,2, S0,2. Sebuah refleksi rotor urutan 10 dihasilkan oleh V0,1,2, produk dari ketiga refleksi. Di sini   menunjukkan rasio emas.

[5,3],      
Refleksi Rotasi Rotorefleksi
Nama R0 R1 R2 S0,1 S1,2 S0,2 V0,1,2
Grup                            
Urutan 2 2 2 5 3 2 10
Matrix              
(1,0,0)n  n (0,1,0)n  sumbu  sumbu  sumbu

Domain fundamental

sunting

Domain fundamental untuk grup rotasi ikosahedral dan grup ikosahedral penuh diberikan oleh:

 
Grup rotasi ikosahedral
I
 
Grup ikosahedral penuh
Ih
 
Wajah triacontahedron Disdyakis adalah domain fundamental

Dalam triacontahedron Disdyakis satu wajah penuh adalah domain fundamental; padatan lain dengan simetri yang sama diperoleh dengan menyesuaikan orientasi wajah, misalnya himpunan bagian wajah dipilih untuk menggabungkan setiap himpunan bagian menjadi satu wajah, atau mengganti setiap wajah dengan beberapa wajah, atau permukaan melengkung.

Polihedra dengan simetri ikosahedral

sunting

Kiral polihedra

sunting
Kelas Simbol Gambar
Archimedean sr{5,3}
     
 
Catalan V3.3.3.3.5
     
 

Simetri ikosahedral penuh

sunting
Padatan Platonis Polihedra Kepler–Poinsot Padatan Archimedean
 
{5,3}
     
 
{5/2,5}
     
 
{5/2,3}
     
 
t{5,3}
     
 
t{3,5}
     
 
r{3,5}
     
 
rr{3,5}
     
 
tr{3,5}
     
Padatan Platonik Polihedra Kepler–Poinsot Padatan Catalan
 
{3,5}
      =      
 
{5,5/2}
      =      
 
{3,5/2}
      =      
 
V3.10.10
     
 
V5.6.6
     
 
V3.5.3.5
     
 
V3.4.5.4
     
 
V4.6.10
     

Objek lain dengan simetri ikosahedral

sunting
Contoh simetri ikosahedral
Kapsid dari Adenovirus
Ion dodecaborate [B12H12]2−

Kristal cair dengan simetri ikosahedral

sunting

Untuk fase bahan antara yang disebut kristal cair keberadaan simetri ikosahedral diusulkan oleh H. Kleinert dan K. Maki[2] dan strukturnya pertama kali dianalisis secara rinci dalam makalah itu. Lihat artikel ulasan disini. Dalam aluminium, struktur ikosahedral ditemukan secara eksperimental tiga tahun setelah ini oleh Dan Shechtman, yang membuatnya mendapatkan Hadiah Nobel pada tahun 2011.

Geometri terkait

sunting

Simetri ikosahedral setara dengan grup linear khusus proyeksi PSL(2,5), dan adalah grup simetri dari kurva modular X(5), dan lebih umum PSL(2,p) adalah grup simetri dari kurva modular X(p). Kurva modular X(5) secara geometris merupakan dodecahedron dengan titik puncak di tengah setiap wajah poligonal, yang menunjukkan grup simetri.

Geometri ini, dan grup simetri terkait, dipelajari oleh Felix Klein sebagai kelompok monodromi permukaan Belyi – permukaan Riemann dengan peta holomorfik ke bola Riemann, bercabang hanya 0, 1, dan tak hingga (sebuah fungsi Belyi) – puncaknya adalah titik-titik yang terletak atas tak hingga, sedangkan simpul dan pusat setiap tepi terletak di atas 0 dan 1; tingkat penutup (jumlah lembar) sama dengan 5.

Ini muncul dari usahanya untuk memberikan pengaturan geometris mengapa simetri ikosahedral muncul dalam solusi persamaan kuintik, dengan teori yang diberikan dalam (Klein 1888) yang terkenal; eksposisi modern diberikan dalam (Tóth 2002, Bagian 1.6, Topik Tambahan: Teori Klein tentang Ikosahedron, p. 66).

Penyelidikan Klein dilanjutkan dengan penemuan simetri urutan 7 dan urutan 11 dalam (Klein 1878/79b) dan (Klein 1879) (dan penutup terkait derajat 7 dan 11) dan dessins d'enfants, yang pertama menghasilkan kuintik Klein, geometri yang terkait memiliki ubin dengan 24 segi enam (dengan titik puncak di tengah).

Geometri serupa dengan PSL(2,n) dan grup yang umum untuk kurva modular lainnya.

Lebih eksotis lagi, relasi khusus antara grup PSL(2,5) (urutan 60), PSL(2,7) (urutan 168) dan PSL(2,11) (urutan 660), yang juga menerima interpretasi geometris – PSL(2,5) adalah simetri ikosahedron (genus 0), PSL(2,7) dari Klein quartic (genus 3), dan PSL(2,11) permukaan bukminsterfulerena (genus 70). Kelompok-kelompok ini membentuk "trinitas" dalam arti Vladimir Arnold, yang memberikan kerangka kerja untuk berbagai hubungan; lihat trinitas untuk detailnya.

Ada hubungan dekat dengan padatan Platonis lainnya.

Lihat pula

sunting

Referensi

sunting
  1. ^ Sir William Rowan Hamilton (1856), "Memorandum respecting a new System of Roots of Unity" (PDF), Philosophical Magazine, 12: 446 
  2. ^ Kleinert, H.; Maki, K. (1981). "Lattice Textures in Cholesteric Liquid Crystals" (PDF). Fortschritte der Physik. 29 (5): 219–259. doi:10.1002/prop.19810290503. 

Pranala luar

sunting