Aksioma Peano

Dalam logika matematika, aksioma Peano, juga dikenal sebagai aksioma Dedekind–Peano atau postulat Peano, adalah aksioma-aksioma untuk bilangan asli yang disampaikan oleh matematikawan Italia abad ke-19 Giuseppe Peano. Aksioma-aksioma tersebut telah digunakan hampir tanpa diubah dalam beberapa penyelidikan metamatematika, termasuk penelitian mengenai pertanyaan fundamental mengenai apakah teori bilangan bersifat konsisten dan lengkap.

Keperluan untuk memformalkan aritmetika tidak terlalu dipikirkan hingga karya Hermann Grassmann, yang menunjukkan pada 1860-an bahwa banyak fakta dalam aritmetika yang bisa diperoleh dari fakta lebih mendasar mengenai operasi penerus dan induksi. Pada tahun 1881, Charles Sanders Peirce memberikan pengaksiomaan dari aritmetika bilangan asli. Pada tahun 1888, Richard Dedekind mengusulkan pengaksiomaan aritmetika bilangan asli lainnya, dan pada tahun 1889, Peano menerbitkan versi sederhana dari mereka sebagai kumpulan aksioma dalam bukunya, The principles of arithmetic presented by a new method (bahasa Latin: Arithmetices principia, nova methodo exposita).

Aksioma Peano berisi tiga jenis pernyataan. Aksioma pertama menegaskan keberadaan paling tidak satu anggota dari himpunan bilangan asli. Empat aksioma berikutnya adalah pernyataan umum mengenai kesamaan; dalam penafsiran modern aksioma-aksioma ini tidak dianggap sebagai bagian dari aksioma Peano, melainkan sebagai aksioma-aksioma dari "logika yang mendasarinya". Tiga aksioma berikutnya merupakan pernyataan tingkat pertama mengenai bilangan asli mengekspresikan sifat-sifat mendasar dari operasi penerus. Aksioma kesembilan, dan yang terakhir, adalah pernyataan tingkat kedua mengenai prinsip induksi matematika pada bilangan asli. Sebuah sistem tingkat pertama yang lebih lemah dan disebut aritmetika Peano diperoleh dengan secara eksplisit menambahkan simbol operasi penambahan dan perkalian serta menggantikan aksioma induksi tingkat kedua dengan sebuah skema aksioma tingkat pertama.

Perumusan

Ketika Peano merumuskan aksiomanya, bahasa logika matematika masih dalam masa pertumbuhannya. Sistem notasi logika yang dia buat untuk menyampaikan aksiomanya tidak menjadi populer, walaupun sistem tersebut merupakan asal mula dari notasi modern untuk keanggotaan himpunan (∈, yang berasal dari ε dari Peano) dan implikasi (⊃, yang berasal dari 'C' dari Peano yang dibalik.) Peano menjaga perbedaan antara simbol matematika dan logika, yang pada saat itu belum sering dijumpai dalam matematika; pemisahan seperti itu pertama kali diperkenalkan dalam Begriffsschrift oleh Gottlob Frege, diterbitkan pada tahun 1879. Peano tidak mengetahui tentang karya Frege dan secara terpisah membuat ulang peraltan logikanya berdasarkan karya Boole dan Schröder.

Aksioma Peano mendefinisikan sifat-sifat aritmetis dari bilangan asli, biasanya dilambangkan sebagai sebuah himpunan N atau $\mathbb {N} .$ Simbol non-logis untuk aksiomanya terdiri dari simbol konstanta 0 dan simbol fungsi uner S.

Aksioma pertama menyatakan bahwa konstanta 0 adalah bilangan asli:

1. 0 adalah sebuah bilangan asli.

Empat aksioma berikutnya menjelaskan relasi kesamaan. Karena mereka secara logika valid dalam logika predikat tingkat pertama dengan kesamaan, mereka tidak dianggap sebagai bagian dari "aksioma Peano" dalam penafsiran modern.

2. Untuk setiap bilangan asli x, x = x. Artinya, kesamaan bersifat refleksif.
3. Untuk semua bilangan asli x dan y, jika x = y, maka y = x. Artinya, kesamaan bersifat simetris.
4. Untuk semua bilangan asli x, y dan z, jika x = y dan y = z, maka x = z. Artinya, kesamaan bersifat transitif.
5. Untuk semua a dan b, jika b merupakan sebuah bilangan asli dan a = b, maka a juga merupakan bilangan asli. Artinya, bilangan-bilangan asli bersifat tertutup di bawah kesamaan.

Aksioma berikutnya mendefinisikan sifat-sifat aritmetis dari bilangan asli. Bilangan asli diasumsikan tertutup di bawah sebuah fungsi "penerus" dengan satu nilai, yang disebut S.

6. Untuk setiap bilangan asli n, S(n) adalah bilangan asli. Artinya, bilangan asli tertutup di bawah S.
7. Untuk semua bilangan asli m dan n, m = n jika dan hanya jika S(m) = S(n). Artinya, S bersifat injektif.
8. Untuk setiap bilangan asli n, S(n) = 0 bernilai salah. Artinya, tidak ada bilangan asli yang penerusnya adalah 0.

Perumusan Peano yang asli menggunakan 1 bukannya 0 sebagai bilangan asli "pertama". Pilihan ini dilakukan semaunya, karena aksioma 1 tidak memberikan konstanta 0 sifat tambahan apapun. Akan tetapi, karena 0 merupakan identitas penambahan dalam aritmetika, kebanyakan perumusan aksioma Peano modern memulai dari 0. Aksioma 1, 6, 7, 8 mendefinisikan sebuah representasi uner dari ide intuitif bilangan asli: bilangan 1 bisa didefinisikan sebagai S(0), 2 sebagai S(S(0)), dan seterusnya. Namun, mempertimbangkan ide bilangan asli sebagaimana didefinisikan oleh aksioma-aksioma tersebut, aksioma 1, 6, 7, 8 tidak mengimplikasikan bahwa fungsi penerus menghasilkan semua bilangan asli yang berbeda dari 0. Dengan kata lain, mereka tidak menjamin bahwa setiap bilangan asli selain nol harus meneruskan suatu bilangan asli lainnya.

Ide intuitif bahwa setiap bilangan asli bisa diperoleh dengan menerapkan penerus pada nol memerlukan aksioma tambahan, yang terkadang disebut aksioma induksi.

9. Jika K merupakan sebuah himpunan sehingga:
   • 0 merupakan anggota K, dan
   • untuk setiap bilangan asli n, n merupakan anggota K mengimplikasikan S(n) merupakan anggota K,
   maka K berisi setiap bilangan asli.

Aksioma induksi terkadang dinyatakan dalam bentuk berikut:

9. Jika φ adalah predikat uner sehingga:
   • φ(0) bernilai benar, dan
   • untuk setiap bilangan asli n, φ(n) bernilai benar mengimplikasikan φ(S(n)) bernilai benar,
   maka φ(n) bernilai benar untuk setiap bilangan asli n.

Dalam perumusan asli dari Peano, aksioma induksi merupakan sebuah aksioma tingkat kedua. Sekarang prinsip tingkat kedua ini kerap diganti dengan skema induksi tingkat pertama yang lebih lemah. Terdapat perbedaan-perbedaan penting antara perumusan tingkat kedua dan tingkat pertama, sebagimana didiskusikan di bagian § Model di bawah.

Lihat pula

• Aritmetika Presburger
• Aritmetika Robinson
• Aritmetika tingkat kedua
• Fondasi matematika
• Model non-standar aritmetika
• Neo-logisisme
• Teorema Frege
• Teorema Goodstein
• Teorema Paris–Harrington
• Typographical Number Theory

Referensi

Sumber

• Grassmann, Hermann (1861). "Lehrbuch der Arithmetik" [A tutorial in arithmetic] (PDF). Enslin. 
• Peirce, C. S. (1881). "On the Logic of Number". American Journal of Mathematics. 4: 85–95. doi:10.2307/2369151. JSTOR 2369151. MR 1507856. 
• Shields, Paul (1997). "3. Peirce's Axiomatization of Arithmetic". Dalam Houser, Nathan; Roberts, Don D.; Van Evra, James. Studies in the Logic of Charles Sanders Peirce. Indiana University Press. hlm. 43–52. ISBN 0-253-33020-3. 
• van Heijenoort, Jean (1967). From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931. Harvard University Press. ISBN 9780674324497. 
  • Berisi terjemahan dari dua makalah berikut, dilengkapi komentar:
    • Dedekind, Richard (1890). Letter to Keferstein. On p. 100, he restates and defends his axioms of 1888. hlm. 98–103. 
    • Peano, Giuseppe (1889). Arithmetices principia, nova methodo exposita [The principles of arithmetic, presented by a new method]. An excerpt of the treatise where Peano first presented his axioms, and recursively defined arithmetical operations. hlm. 83–97. 

Bacaan lanjutan

• Raymond M. Smullyan (19 September 2013). The Godelian Puzzle Book: Puzzles, Paradoxes and Proofs. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-49705-1. 

Pranala luar

• Podnieks, Karlis (2015-01-25). "3. First Order Arithmetic". What is Mathematics: Gödel's Theorem and Around. hlm. 93–121. 
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Peano's Axioms". MathWorld. 
• Burris, Stanley N. (2001). "What are numbers, and what is their meaning?: Dedekind".  Komentar mengenai karya Dedekind.