Geometri hiperbolik

Dalam matematika, Geometri hiperbolik atau disebut juga Geometri Lobachevskian atau Geometri Bolyai-Lobachevskian) adalah geometri non-Euklides. Postulat paralel dari geometri Euklides diganti dengan:

Garis melalui titik P dan asimtotik ke garis R

Untuk setiap garis R dan titik P bukan pada R , di bidang yang mengandung kedua garis R dan titik P setidaknya ada dua garis yang berbeda melalui P yang tidak berpotongan R .

(bandingkan ini dengan aksioma Playfair, postulat paralel versi modern Euklides)

Bidang hiperbolik geometri juga merupakan geometri permukaan pelana dan permukaan semosfer, permukaan dengan konstanta negatif kelengkungan Gaussian.

Penggunaan modern dari geometri hiperbolik ada dalam teori relativitas khusus, khususnya ruangwaktu Minkowski dan ruang gyrovector.

Ketika geometer pertama kali menyadari bahwa mereka bekerja dengan sesuatu selain geometri Euclid standar, mereka mendeskripsikan geometri mereka dengan banyak nama berbeda.; Felix Klein akhirnya memberi subjek itu nama 'geometri hiperbolik' untuk memasukkannya ke dalam urutan geometri eliptik (geometri bola), geometri parabola (Euklides). Di bekas Uni Soviet, geometri ini biasa disebut geometri Lobachevskian, dinamai menurut salah satu penemunya, ahli ilmu ukur Rusia Nikolai Lobachevsky.

Halaman ini terutama membahas tentang geometri hiperbolik 2-dimensi (planar) dan perbedaan serta persamaan antara geometri Euclidean dan hiperbolik.

Geometri hiperbolik dapat diperluas menjadi tiga dimensi atau lebih; lihat ruang hiperbolik untuk lebih lanjut tentang kasus tiga dimensi dan lebih tinggi.

Hubungan dengan geometri Euklides

Geometri hiperbolik lebih dekat hubungannya dengan geometri Euclidean daripada yang terlihat: satu-satunya perbedaan aksioma statis adalah postulat paralel. Ketika postulat paralel dihilangkan dari geometri Euklides, geometri yang dihasilkan adalah geometri absolut. Ada dua macam geometri absolut, Euklides dan hiperbolik. Semua teorema geometri absolut, termasuk 28 proposisi pertama dari buku satu Elemen Euklides, berlaku dalam geometri Euclidean dan hiperbolik. Proposisi 27 dan 28 dari Buku Satu Elemen Euklides membuktikan keberadaan garis sejajar/tidak berpotongan.

Perbedaan ini juga memiliki banyak konsekuensi: konsep yang ekuivalen dalam geometri Euclidean tidak ekuivalen dalam geometri hiperbolik; konsep baru perlu diperkenalkan. Selanjutnya, karena sudut paralelisme, geometri hiperbolik memiliki skala absolut, hubungan antara pengukuran jarak dan sudut.

Garis

Garis tunggal dalam geometri hiperbolik memiliki sifat yang persis sama dengan garis lurus tunggal dalam geometri Euklides. Misalnya, dua titik secara unik mendefinisikan sebuah garis, dan segmen garis dapat diperpanjang tanpa batas.

Dua garis berpotongan memiliki sifat yang sama dengan dua garis berpotongan dalam geometri Euklides. Contohnya, dua garis berbeda dapat berpotongan tidak lebih dari satu titik, garis yang berpotongan membentuk sudut berlawanan yang sama, dan sudut yang berdekatan dari garis yang berpotongan adalah supplemental.

Ketika garis ketiga diperkenalkan, maka mungkin ada properti garis berpotongan yang berbeda dari garis berpotongan dalam geometri Euklides. Contohnya, dalam dua garis berpotongan, ada banyak garis tak terhingga yang tidak memotong salah satu garis yang diberikan.

Properti ini semua tidak bergantung pada model yang digunakan, meskipun garis mungkin terlihat sangat berbeda.

Garis tidak berpotongan / sejajar

Garis melalui titik tertentu P dan asimtotik ke garis R .

Garis tidak berpotongan dalam geometri hiperbolik juga memiliki sifat yang berbeda dari garis tidak berpotongan pada geometri Euklides:

Untuk setiap garis R dan setiap titik P yang tidak terletak pada R , di bidang yang mengandung garis R dan titik P setidaknya ada dua yang berbeda. garis melalui P yang tidak berpotongan dengan R .

Ini menyiratkan bahwa melalui P terdapat sejumlah garis coplanar yang tak terbatas yang tidak memotong R .

Garis tidak berpotongan ini dibagi menjadi dua kelas:

Dua garis ( x dan y dalam diagram) adalah membatasi paralel s (terkadang disebut paralel kritikal, horoparalel, atau hanya paralel): ada satu di arah masing-masing titik ideal di "ujung" dari R , mendekati R secara asimtotik, selalu mendekati R , tetapi tidak pernah bertemu Itu.
Semua garis tidak berpotongan lainnya memiliki titik dengan jarak minimum dan menyimpang dari kedua sisi titik itu, dan disebut ultraparalel , paralel divergen atau terkadang tidak berpotongan .

Beberapa geometer hanya menggunakan garis paralel daripada garis membatasi paralel , dengan garis ultraparalel hanya tidak berpotongan .

Membatasi paralel ini membuat sudut θ dengan PB ; sudut ini hanya bergantung pada kelengkungan Gaussian bidang dan jarak PB dan disebut sudut paralelisme.

Untuk garis ultraparalel, teorema ultraparalel menyatakan bahwa terdapat garis unik pada bidang hiperbolik yang tegak lurus terhadap setiap pasang garis ultraparalel.

Lingkaran dan disk

Dalam geometri hiperbolik, keliling lingkaran berjari-jari r lebih besar dari $2\pi r$ .

Maka $R={\frac {1}{\sqrt {-K}}}$ , dengan $K$ adalah kelengkungan Gaussian pada bidang. Dalam geometri hiperbolik, $K$ negatif, jadi akar kuadrat adalah bilangan positif.

Maka keliling lingkaran berjari-jari r sama dengan:

2\pi R\sinh {\frac {r}{R}}\,.

Dan luas dari disk yang tertutup adalah:

4\pi R^{2}\sinh ^{2}{\frac {r}{2R}}=2\pi R^{2}\left(\cosh {\frac {r}{R}}-1\right)\,.

Oleh karena itu, dalam geometri hiperbolik rasio keliling lingkaran terhadap jari-jarinya selalu lebih besar dari $2\pi$ , meski bisa dibuat tutup semaunya dengan memilih lingkaran yang cukup kecil.

Bila kelengkungan Gaussian dari bidang tersebut adalah −1 maka kelengkungan geodesik dari lingkaran jari-jari r is: ${\frac {1}{\tanh(r)}}$ ^[1]

Hiperputaran dan Horoputaran

Hiperputaran dan pseudogon dalam Model disk Poincare

Dalam geometri hiperbolik, tidak ada garis yang berjarak sama dari garis lain. Sebaliknya, titik-titik yang semuanya memiliki jarak ortogonal yang sama dari garis tertentu terletak pada kurva yang disebut hiperputaran

Kurva khusus lainnya adalah horocycle, sebuah kurva yang jari-jari normal jari-jari (tegak lurus]) semuanya membatasi paralel satu sama lain (semuanya berkumpul secara asimtotik menjadi satu.

Melalui setiap pasang poin ada dua horocycle. Pusat horosiklik adalah titik ideal dari garis berat tegak lurus dari ruas garis di antara mereka.

Diberikan tiga titik berbeda, semuanya terletak pada salah satu garis, hiperputaran, horocycle, atau lingkaran.

Panjang dari ruas garis adalah panjang terpendek antara dua titik. Panjang busur hypercycle yang menghubungkan dua titik lebih panjang dari pada segmen garis dan lebih pendek dari pada horocycle, menghubungkan dua titik yang sama. Panjang dari kedua horoputaran terhubung. Panjang busur lingkaran antara dua titik lebih besar dari panjang busur siklus horor yang menghubungkan dua titik.

Jika kelengkungan Gaussian dari bidang tersebut adalah−1 maka kelengkungan geodesik dari sebuah horoputaran adalah 1 dan dari sebuah hiperputaran adalah antara 0 dan 1.^[1]

Segitiga

Tidak seperti segitiga Euclidean, yang sudutnya selalu berjumlah π radian (180 °, dari sudut lurus), dalam geometri hiperbolik jumlah sudut segitiga hiperbolik selalu kurang dari π radian s (180 °, a sudut lurus). Perbedaan ini disebut sebagai cacat sudut

Luas segitiga hiperbolik diberikan oleh cacatnya dalam radian dikalikan dengan R². Akibatnya, semua segitiga hiperbolik memiliki luas kurang dari atau sama dengan R²π. Luas sebuah hiperbolik segitiga ideal yang ketiga sudutnya adalah 0° sama dengan maksimum ini.

Seperti pada sferis dan geometri elips, dalam geometri hiperbolik jika dua segitiga serupa, keduanya harus kongruen.

Apeirogon biasa

sebuah apeirogon dan berbatas horocycle di model disk Poincare

Poligon khusus dalam geometri hiperbolik adalah apeirogon beraturan, poligon seragam dengan jumlah sisi yang tak terhingga.

Dalam geometri Euklides, satu-satunya cara untuk membangun poligon tersebut adalah dengan membuat panjang sisinya cenderung nol dan apeirogon tidak dapat dibedakan dari lingkaran, or make the interior angles tend to 180 degrees and the apeirogon approaches a straight line.

Namun, dalam geometri hiperbolik, apeirogon beraturan memiliki panjang sisi berapa pun (yaitu, tetap berupa poligon).

Sisi dan sudut garis-garis, bergantung pada panjang sisi dan sudut antara sisi-sisinya, akan membatasi atau menyimpang sejajar (lihat garis di atas). Jika garis-garis membatasinya sejajar, apeirogon dapat dituliskan dan dibatasi oleh horoputaran konsentris.

Tessellasi

Ubin belah ketupat dari bidang hiperbolik, terlihat pada model cakram Poincaré

Seperti bidang Euclidean, dimungkinkan juga untuk tessellate bidang hiperbolik dengan poligon beraturan s sebagai wajah.

Ada jumlah kemiringan seragam yang tak terbatas berdasarkan segitiga Schwarz (p q r) where 1/p + 1/q + 1/r < 1, dimana p, q, r adalah setiap urutan simetri refleksi pada tiga titik segitiga domain fundamental, grup simetri adalah grup segitiga hiperbolik. Ada juga banyak kemiringan seragam tak terhingga yang tidak dapat dihasilkan dari segitiga Schwarz, beberapa misalnya memerlukan segiempat sebagai domain fundamental.^[2]

Model bidang hiperbolik

Ada permukaan pseudosfer berbeda yang memiliki kelengkungan Gaussian negatif konstan untuk area yang luas, pseudosfer adalah yang paling terkenal.

Tetapi lebih mudah melakukan geometri hiperbolik pada model lain.

Model cakram Poincaré dengan ubin triheptagonal terpotong

Garis melalui titik tertentu dan sejajar dengan garis tertentu, diilustrasikan dalam model disk Poincaré

Ada empat model yang biasa digunakan untuk geometri hiperbolik: Model Klein, Model disk Poincaré, Model setengah bidang Poincaré, dan Lorentz atau hyperboloid. Model ini mendefinisikan bidang hiperbolik yang memenuhi aksioma geometri hiperbolik. Terlepas dari nama mereka, tiga pertama yang disebutkan di atas diperkenalkan sebagai model ruang hiperbolik oleh Beltrami, bukan oleh Poincaré atau Klein. Semua model ini dapat diperpanjang ke lebih banyak dimensi.

Model setengah bidang Poincaré

Model setengah bidang Poincaré mengambil setengah bidang Euclidean, yang dibatasi oleh garis B dari bidang tersebut, untuk menjadi model bidang hiperbolik. Garis B tidak termasuk dalam model.

Bidang Euclidean dapat dianggap sebagai bidang dengan Sistem koordinat Kartesius dan sumbu x diambil sebagai garis B dan setengah bidang adalah bagian atas ( y ' '> 0) dari bidang ini.

Garis hiperbolik kemudian menjadi setengah lingkaran ortogonal terhadap B atau sinar tegak lurus dengan B .
Panjang interval pada sinar ditentukan oleh ukuran logaritmik jadi itu invarian dalam transformasi homothetic $(x,y)\mapsto (x,\lambda y),\quad \lambda >0.$
Seperti model cakram Poincaré, model ini mempertahankan sudut, dan dengan demikian konformal. Oleh karena itu, semua isometri dalam model ini adalah transformasi Möbius bidang.
Model setengah bidang adalah batas model cakram Poincaré yang batasnya bersinggungan dengan B pada titik yang sama sementara jari-jari model cakram tak terhingga.

Model belahan bumi

Model belahan bumi tidak sering digunakan sebagai model dengan sendirinya, tetapi berfungsi sebagai alat yang berguna untuk memvisualisasikan transformasi antara model lainnya.

Model belahan bumi menggunakan setengah bagian atas satuan bola: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,z>0$

Model belahan bumi adalah bagian dari bola Riemann, dan proyeksi yang berbeda memberikan model bidang hiperbolik yang berbeda:

Proyeksi stereografik dari $(0,0,-1)$ ke bidang $z=0$ memproyeksikan poin yang sesuai di model disk Poincaré
Proyeksi stereografik dari $(0,0,-1)$ ke permukaan $x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1,z>0$ memproyeksikan titik-titik yang sesuai di model hiperboloid
Proyeksi stereografik dari $(-1,0,0)$ ke bidang $x=1$ memproyeksikan titik-titik yang sesuai pada model setengah bidang Poincaré
Proyeksi ortografik ke bidang $z=C$ memproyeksikan poin yang sesuai pada model Beltrami-Klein.
Proyeksi pusat dari pusat bola ke bidang $z=1$ memproyeksikan poin yang sesuai di Gans Model.

Lihat lebih lanjut: Koneksi antar model (di bawah)

Struktur homogen

Ruang hiperbolik dari dimensi n adalah kasus khusus dari Riemannian ruang simetris tipe nonkompak, karena isomorfik terhadap hasil bagi

\mathrm {O} (1,n)/(\mathrm {O} (1)\times \mathrm {O} (n)).

Grup ortogonal O(1, n) tindakan dengan transformasi pelestarian norma di ruang Minkowski R^1,n, dan bertindak secara transitif pada hiperboloid dua lembar dari vektor norma 1. Garis-garis seperti waktu (yaitu, garis-garis dengan garis singgung norma-positif) melalui titik asal melewati titik-titik antipodal dalam hiperboloid, sehingga ruang dari garis-garis tersebut menghasilkan model ruang hiperbolik n .

Lihat pula

Catatan

^ ^a ^b "Curvature of curves on the hyperbolic plane". math stackexchange. Diakses tanggal 24 September 2017.
^ Hyde, S.T.; Ramsden, S. (2003). "Some novel three-dimensional Euclidean crystalline networks derived from two-dimensional hyperbolic tilings". The European Physical Journal B. 31 (2): 273–284. CiteSeerX 10.1.1.720.5527  . doi:10.1140/epjb/e2003-00032-8.

Referensi

A'Campo, Norbert and Papadopoulos, Athanase, (2012) Notes on hyperbolic geometry, in: Strasbourg Master class on Geometry, pp. 1–182, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, Vol. 18, Zürich: European Mathematical Society (EMS), 461 pages, SBN ISBN 978-3-03719-105-7, DOI 10.4171/105.
Coxeter, H. S. M., (1942) Non-Euclidean geometry, University of Toronto Press, Toronto.
Fenchel, Werner (1989). Elementary geometry in hyperbolic space. De Gruyter Studies in mathematics. 11. Berlin-New York: Walter de Gruyter & Co.
Fenchel, Werner; Nielsen, Jakob (2003). Asmus L. Schmidt, ed. Discontinuous groups of isometries in the hyperbolic plane. De Gruyter Studies in mathematics. 29. Berlin: Walter de Gruyter & Co.
Lobachevsky, Nikolai I., (2010) Pangeometry, Edited and translated by Athanase Papadopoulos, Heritage of European Mathematics, Vol. 4. Zürich: European Mathematical Society (EMS). xii, 310~p, ISBN 978-3-03719-087-6/hbk
Milnor, John W., (1982) Hyperbolic geometry: The first 150 years, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 6, Number 1, pp. 9–24.
Reynolds, William F., (1993) Hyperbolic Geometry on a Hyperboloid, American Mathematical Monthly 100:442–455.
Stillwell, John (1996). Sources of hyperbolic geometry. History of Mathematics. 10. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0529-9. MR 1402697.
Samuels, David, (March 2006) Knit Theory Discover Magazine, volume 27, Number 3.
James W. Anderson, Hyperbolic Geometry, Springer 2005, ISBN 1-85233-934-9.
James W. Cannon, William J. Floyd, Richard Kenyon, and Walter R. Parry (1997) Hyperbolic Geometry, MSRI Publications, volume 31.

Pranala luar

Javascript freeware for creating sketches in the Poincaré Disk Model of Hyperbolic Geometry University of New Mexico.
"The Hyperbolic Geometry Song" A short music video about the basics of Hyperbolic Geometry available at YouTube.
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Lobachevskii geometry", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 .
Weisstein, Eric W. "Gauss–Bolyai–Lobachevsky Space". MathWorld.
Weisstein, Eric W. "Hyperbolic Geometry". MathWorld.
More on hyperbolic geometry, including movies and equations for conversion between the different models University of Illinois at Urbana-Champaign.
Hyperbolic Voronoi diagrams made easy, Frank Nielsen
Stothers, Wilson (2000). "Hyperbolic geometry". University of Glasgow. , interactive instructional website.
Hyperbolic Planar Tesselations
Models of the Hyperbolic Plane

Templat:Geometry-footer

[auto-1] "Curvature of curves on the hyperbolic plane". math stackexchange. Diakses tanggal 24 September 2017.

[2] Hyde, S.T.; Ramsden, S. (2003). "Some novel three-dimensional Euclidean crystalline networks derived from two-dimensional hyperbolic tilings". The European Physical Journal B. 31 (2): 273–284. CiteSeerX 10.1.1.720.5527  . doi:10.1140/epjb/e2003-00032-8.

[1]

[2]