Fungsi kuintik

Dalam aljabar, Fungsi kuintik adalah fungsi dari bentuk

Grafik polinom dengan derajat 5, dengan 3 nol nyata (akar) dan 4 titik kritis.

$g(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f,\,$

di mana a, b, c, d, e dan f adalah anggota dari bidang, biasanya bilangan rasional, bilangan real atau bilangan kompleks s, dan a bukan nol. Dengan kata lain, fungsi kuintik ditentukan oleh lima polinomial dari derajat lima.

Karena mereka memiliki derajat ganjil, fungsi kuintik normal tampak serupa dengan fungsi kubik normal ketika digambarkan, kecuali mereka mungkin memiliki tambahan maksimum lokal dan minimum lokal masing-masing. Turunan dari fungsi kuintik adalah fungsi kuartik.

Pengaturan g(x) = 0 dan dengan asumsi a ≠ 0 menghasilkan persamaan kuintik dalam bentuk:

$ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0.\,$

Memecahkan persamaan kuintik dalam istilah akar adalah masalah utama dalam aljabar dari abad ke-16, ketika kubik dan persamaan kuartik diselesaikan, sampai paruh pertama abad ke-19, ketika ketidakmungkinan solusi umum seperti itu dibuktikan dengan Teorema Abel–Ruffini.

Menemukan akar dari persamaan kuintik

Menemukan akar dari polinomial tertentu telah menjadi masalah matematika yang menonjol.

Memecahkan linier, kuadrat, kubik dan persamaan kuartik s dengan faktorisasi menjadi ekspresi radikal selalu bisa dilakukan, tidak peduli apakah akarnya rasional atau irasional, nyata atau kompleks; ada rumus yang menghasilkan solusi yang dibutuhkan. Namun, tidak ada ekspresi aljabar (yaitu, dalam istilah akar) untuk solusi persamaan kuintik umum di atas rasio; Pernyataan ini dikenal sebagai Teorema Abel–Ruffini, yang pertama kali ditegaskan pada tahun 1799 dan dibuktikan sepenuhnya pada tahun 1824. Hasil ini juga berlaku untuk persamaan derajat yang lebih tinggi. Contoh kuintik yang akarnya tidak dapat diekspresikan dalam akar adalah x⁵ − x + 1 = 0. Kuintik ini dalam rumus kenormalan Bring–Jerrard.

Beberapa kuintik dapat diselesaikan dengan istilah radikal. Namun, solusi tersebut umumnya terlalu kompleks untuk digunakan dalam praktik. Sebaliknya, pendekatan numerik dihitung menggunakan algoritma pencarian akar untuk polinomial.

Kuintik yang dapat dipecahkan

Beberapa persamaan kuintik dapat diselesaikan dalam bentuk akar. Ini termasuk persamaan kuintik yang ditentukan oleh polinomial yang dapat direduksi, seperti x⁵ − x⁴ − x + 1 = (x² + 1)(x + 1)(x − 1)². Misalnya, sudah ditampilkan that

$x^{5}-x-r=0$

memiliki solusi dalam radikal jika dan hanya jika memiliki solusi integer atau r adalah salah satu dari ± 15, ± 22440, atau ± 2759640, dalam hal ini polinomnya dapat direduksi.

Karena penyelesaian persamaan kuintik yang dapat direduksi segera berkurang menjadi penyelesaian polinomial derajat yang lebih rendah, hanya persamaan kuintik tak tersederhanakan yang dipertimbangkan di sisa bagian ini, dan istilah "kuintik" hanya akan merujuk pada kuintik tak tersederhanakan. Dengan demikian, kuintik terpecahkan adalah polinomial kuintik tak tereduksi yang akarnya dapat diekspresikan dalam bentuk akar..

Untuk mengkarakterisasi kuintik terpecahkan, dan polinomial yang lebih umum pada derajat yang lebih tinggi, Évariste Galois mengembangkan teknik yang memunculkan teori grup dan teori Galois. Menerapkan teknik ini, Arthur Cayley menemukan kriteria umum untuk menentukan apakah setiap kuintik tertentu dapat dipecahkan. Kriteria ini adalah sebagai berikut.

Diberikan persamaan

$ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0,$

transformasi Tschirnhaus x = y − b5a, yang menekan kuintik (yaitu, menghilangkan suku derajat empat), memberikan persamaan

$y^{5}+py^{3}+qy^{2}+ry+s=0$,

dimana

${\begin{aligned}p&={\frac {5ac-2b^{2}}{5a^{2}}}\\q&={\frac {25a^{2}d-15abc+4b^{3}}{25a^{3}}}\\r&={\frac {125a^{3}e-50a^{2}bd+15ab^{2}c-3b^{4}}{125a^{4}}}\\s&={\frac {3125a^{4}f-625a^{3}be+125a^{2}b^{2}d-25ab^{3}c+4b^{5}}{3125a^{5}}}\end{aligned}}$

Kedua kuintik dapat diselesaikan dengan akar jika dan hanya jika keduanya dapat difaktorisasikan dalam persamaan derajat yang lebih rendah dengan koefisien rasional atau polinomial. P² − 1024zΔ, bernama resolvent Cayley , memiliki akar rasional di z, di mana

$P=z^{3}-z^{2}(20r+3p^{2})-z(8p^{2}r-16pq^{2}-240r^{2}+400sq-3p^{4})$

${}-p^{6}+28p^{4}r-16p^{3}q^{2}-176p^{2}r^{2}-80p^{2}sq+224prq^{2}-64q^{4}$

${}+4000ps^{2}+320r^{3}-1600rsq$

dan

$\Delta =-128p^{2}r^{4}+3125s^{4}-72p^{4}qrs+560p^{2}qr^{2}s+16p^{4}r^{3}+256r^{5}+108p^{5}s^{2}$

${}-1600qr^{3}s+144pq^{2}r^{3}-900p^{3}rs^{2}+2000pr^{2}s^{2}-3750pqs^{3}+825p^{2}q^{2}s^{2}$

${}+2250q^{2}rs^{2}+108q^{5}s-27q^{4}r^{2}-630pq^{3}rs+16p^{3}q^{3}s-4p^{3}q^{2}r^{2}.$

Hasil Cayley memungkinkan kita untuk menguji apakah kuintik dapat dipecahkan. Jika demikian, menemukan akarnya adalah masalah yang lebih sulit, yang terdiri dari mengungkapkan akar dalam istilah radikal yang melibatkan koefisien kuintik dan akar rasional dari resolvent Cayley.

Pada tahun 1888, George Paxton Young described how to solve a solvable quintic equation, without providing an explicit formula; Daniel Lazard wrote out a three-page formula (Lazard (2004)).

Di luar radikal

Sekitar tahun 1835, Jerrard mendemonstrasikan bahwa quintics dapat diselesaikan dengan menggunakan ultraradikal (juga dikenal sebagai Bring radikal s), akar asli unik dari t⁵ + t − a = 0 untuk bilangan riil a. Pada tahun 1858 Charles Hermite menunjukkan bahwa radikal Bring dapat dikarakterisasi dalam istilah fungsi theta Jacobi dan fungsi modular eliptik yang terkait, menggunakan pendekatan yang mirip dengan pendekatan yang lebih dikenal untuk menyelesaikan persamaan kubik melalui fungsi trigonometri. Di sekitar waktu yang sama, Leopold Kronecker, menggunakan teori grup, mengembangkan cara yang lebih sederhana untuk mendapatkan hasil Hermite, seperti yang telah Francesco Brioschi. Belakangan, Felix Klein menemukan metode yang menghubungkan kesimetrian ikosahedron, teori Galois, dan fungsi modular eliptik yang ditampilkan dalam solusi Hermite, memberikan penjelasan mengapa fungsi tersebut harus muncul, dan mengembangkan solusinya sendiri dalam istilah fungsi hipergeometrik umum. Fenomena serupa terjadi dalam derajat 7 (persamaan septik s) dan 11, seperti yang dipelajari oleh Klein dan dibahas di Simetri Icosahedral § Geometri terkait.

Aplikasi untuk mekanika angkasa

Memecahkan lokasi titik Lagrangian dari orbit astronomi di mana massa dari kedua objek tidak dapat diabaikan melibatkan penyelesaian kuintik.

Lebih tepatnya, lokasi L₂ dan L₁ adalah solusi untuk persamaan berikut, di mana gaya gravitasi dua massa pada sepertiga (misalnya, Matahari dan Bumi pada satelit seperti Gaia di L₂ dan SOHO pada L₁) memberikan gaya sentripetal satelit yang diperlukan untuk berada dalam orbit sinkron dengan Bumi di sekitar Matahari:

${\frac {GmM_{S}}{(R\pm r)^{2}}}\pm {\frac {GmM_{E}}{r^{2}}}=m\omega ^{2}(R\pm r)$

Tanda ± sama dengan L₂ and L₁, masing-masing; G adalah konstanta gravitasi, ω kecepatan sudut, r jarak satelit ke Bumi, R jarak Matahari ke Bumi (yaitu, sumbu semi-mayor orbit bumi), dan m, M_E, dan M_S adalah massa masing-masing satelit, Bumi, dan Matahari.

Menggunakan Hukum Ketiga Kepler $\omega ^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{P^{2}}}={\frac {G(M_{S}+M_{E})}{R^{3}}}$ dan mengatur ulang semua istilah menghasilkan kuintik

$ar^{5}+br^{4}+cr^{3}+dr^{2}+er+f=0$

dengan $a=\pm (M_{S}+M_{E})$ , $b=+(M_{S}+M_{E})3R$ , $c=\pm (M_{S}+M_{E})3R^{2}$ , $d=+(M_{E}\mp M_{E})R^{3}$ (thus d = 0 for L₂), $e=\pm M_{E}2R^{4}$ , $f=\mp M_{E}R^{5}$ .

Memecahkan dua hasil kuintik ini r = 1.501 x 10⁹ m for L₂ dan r = 1.491 x 10⁹ m untuk L₁. Titik Lagrangian Matahari–Bumi L₂ dan L₁ biasanya diberikan sejauh 1,5 juta km dari Bumi.

Lihat pula

• Persamaan sekstik
• Fungsi septik
• Teori persamaan

Referensi

• Charles Hermite, "Sur la résolution de l'équation du cinquème degré", Œuvres de Charles Hermite, t.2, pp. 5–21, Gauthier-Villars, 1908.
• Felix Klein, Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree, trans. George Gavin Morrice, Trübner & Co., 1888. ISBN 0-486-49528-0.
• Leopold Kronecker, "Sur la résolution de l'equation du cinquième degré, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, t. XLVI, 1858 (1), pp. 1150–1152.
• Blair Spearman and Kenneth S. Williams, "Characterization of solvable quintics x⁵ + ax + b, American Mathematical Monthly, Vol. 101 (1994), pp. 986–992.
• Ian Stewart, Galois Theory 2nd Edition, Chapman and Hall, 1989. ISBN 0-412-34550-1. Discusses Galois Theory in general including a proof of insolvability of the general quintic.
• Jörg Bewersdorff, Galois theory for beginners: A historical perspective, American Mathematical Society, 2006. ISBN 0-8218-3817-2. Chapter 8 (The solution of equations of the fifth degree di Wayback Machine (diarsipkan tanggal 31 March 2010)) gives a description of the solution of solvable quintics x⁵ + cx + d.
• Victor S. Adamchik and David J. Jeffrey, "Polynomial transformations of Tschirnhaus, Bring and Jerrard," ACM SIGSAM Bulletin, Vol. 37, No. 3, September 2003, pp. 90–94.
• Ehrenfried Walter von Tschirnhaus, "A method for removing all intermediate terms from a given equation," ACM SIGSAM Bulletin, Vol. 37, No. 1, March 2003, pp. 1–3.
• Daniel Lazard, "Solving quintics in radicals", in Olav Arnfinn Laudal, Ragni Piene, The Legacy of Niels Henrik Abel, pp. 207–225, Berlin, 2004, ISBN 3-540-43826-2, available at Diarsipkan January 6, 2005, di Wayback Machine.
• Tóth, Gábor (2002), Finite Möbius groups, minimal immersions of spheres, and moduli 

Pranala luar

• Mathworld - Quintic Equation – more details on methods for solving Quintics.
• Solving Solvable Quintics – a method for solving solvable quintics due to David S. Dummit.
• A method for removing all intermediate terms from a given equation - a recent English translation of Tschirnhaus' 1683 paper.