Infimum dan supremum

Dalam matematika, infimum (disingkat inf; jamak infima) pada sebuah himpunan bagian $S$ dari sebuah himpunan sebagian berurutan $T$ adalah anggota terbesar dalam $T$ yaitu lebih kecil dari atau sama dengan untuk semua anggota $S$, jika seperti sebuah anggota ada. Karena itu, istilah batas atas terbesar (dalam bahasa Inggrisː greatest lower bound, disingkat sebagai GLB) juga biasa digunakan.

Sebuah himpunan $T$ bilangan real (lingkaran berongga dan lingkaran berisi̠), sebuah himpunan bagian $S$ pada $T$ (lingkaran berisi) dan infimum pada $S$. Perhatikan bahwa untuk terhingga, total urutan himpunan yang infimum dan supremum adalah sama.

Sebuah himpunan $A$ bilangan real (lingkaran biru), sebuah himpunan batas atas dari $A$ (wajik merah dan lingkaran-lingkaran) dan paling terkecil batas atas seperti itu, yaitu, supremum dari $A$ (wajik merah).

Supremum (disingkat sup, jamak suprema) dari sebuah himpunan bagian $S$ dari sebuah himpunan sebagian berurutan $T$ adalah anggota terkecil dalam $T$ yaitu lebih kecil dari atau sama dengan untuk semua anggota $S$, jika seperti sebuah anggota ada. Karena itu, supremum juga disebut sebagai batas atas terkecil (dalam bahasa Inggrisː least upper bound atau LUB).

Infimum dalam arti yang tepat ganda ke konsep dari sebuah supremum. Infima dan suprema dari bilangan real adalah kasus khusus yang umum yang penting dalam analisis, dan termasuk dalam integrasi Lebesgue. Namun, definisi umum tetap sah dalam pengaturan teori order yang lebih abstrak

Komsep infimum dan supremum serupa dengan minimum dan maksimum, tetapi lebih berguna dalam analisis karena mereka memiliki himpunan-himpunan karaktersitik spesial yang berbeda yang tidak memiliki minimum atau maksimum. Sebagai contoh, bilangan real positif $\mathbb {R} ^{+}$ (tidak termasuk 0) tidak memiliki sebuah minimum, karena setiap diberikan anggota $\mathbb {R} ^{+}$bisa dengan mudah dibagi menjadi dua dalam sebuah bilangan lebih kecil daripada semua bilangan real positif dan lebih besar daripada setiap bilangan real lainnya yang bisa digunakan sebagai sebuah batas bawah.

Definisi formal

supremum = batas atas terkecil

Sebuah batas bawah dari sebuah himpunan $S$ bagian sebagian berurutan $(P,\leq )$ adalah sebuah anggota $a$ dari $P$ seperti

• $a\leq x$ untuk semua $x$ dalam $S$.

Sebuah batas bawah $a$ dari $S$ disebut sebuah infimum (atau bertemu) pada $S$ jika

• jika semua batas bawah $y$ pada $S$ dalam $P$, $y\leq a$ ($a$ lebih besar dari atau sama dengan setiap batas bawah lainnya).

Demikian pula, sebuah batas atas dari sebuah himpunan bagian $S$ dari sebuah himpunan sebagian berurutan $(P,\leq )$ adalah sebuah anggota $b$ pada $P$ seperti

• $b\geq x$ untuk semua $x$ dalam $S$.

Sebuah batas atas $b$ pada $S$ disebut sebuah supremum (atau batas atas terkecil, atau sambungan) pada $S$ jika

• untuk semua batas atas $z$ pada $S$ dalam $P$, $z\geq b$ ($b$ kurang dari setiap batas atas lainnya).

Keberadaan dan ketunggalan

Infima dan suprema tidak perlu ada. Keberadaan dari sebuah infimum dari sebuah himpunan bagian $S$ pada $P$ bisa gagal jika $S$ tidak memiliki batas bawah sama sekali, atau jika himpunan dari batas bawah tidak berisi sebuah anggota terbesar. Namun, jika sebuah infimum atau supremum ada, itu tunggal.

Karena itu, himpunan sebagian berurutan yang infima tertentu dikenal sangat menarik. Sebagai contoh, sebuah kekisi adalah sebuah himpunan sebagian berurutan yang semua himpunan tak kosong terhingga memiliki sebuah supremum dan sebuah infimum, dan sebuah kekisi sempurna adalah sebuah himpunan sebagian berurutan yang semua himpunan bagian memiliki sebuah supremum dan sebuah infimum. Informasi lebih lanjut pada beberapa kelas himpunan sebagian berurutan yang mnucul dari pertimbangan tersebut ditemukan dalam artikel pada sifat-sifat kelengkapan.

Jika supremum dari sebuah himpunan bagian $S$ ada, itu tunggal, Jika $S$ berisi sebuah anggota terbesar, maka anggota itu adalah supremum, jika tidak, supremum bukan milik $S$ (atau tidak ada). Begitu juga, jika infimum ada, itu tunggal. jika $S$ berisi sebuah anggota terkecil, maka anggota itu adalah infimum, jika tidak, infimum bukan miliki $S$ (atau tidak ada).

Hubungan anggota maksimum dan minimum

Infimum pada sebuah himpunan bagian $S$ dari sebuah himpunan sebagian berurutan $P$, tidak perlu milik $S$. Jika benar, itu adalah minimum atau anggota terkecil $S$. Demikian pula, jika supremum $S$ miliki $S$, itu adalah maksimum atau anggota terbesar $S$.

Sebagai contoh, tinjau himpunan bilangan real negatif (termasuk nol). Himpunan ini tidak memiliki anggota terbesar, karena untuk setiap anggota dari himpunan, masih ada lagi, anggota, lebih besar. Misalnya, untuk setiap bilangan real negatif $x$, masih ada bilangan real negatif ${\textstyle {\frac {x}{2}}}$, yang lebih besar. Di samping itu, setiap bilangan real lebih besar atau sama dengan nol pasti sebuah batas atas pada himpunan ini. Karenanya, 0 adalah batas atas terkecil dari bilangan real negatif, jadi supremumnya adalah 0. Himpunan ini memiliki sebuah supremum tetapi bukan anggota terbesar.

Namun, definisi anggota maksimal dan minimum lebih umum. Khususnya, sebuah himpunan bisa memiliki banyak anggota-anggota maksimal dan minimal, sedangkan infima dan suprema adalah tunggal.

Sedangkan maksima dan mimima harus menjadi anggota dari himpunan bagian yang sedang dipertimbangkan, infimum dan supremum dari sebuah himpunan bagian tidak perlu anggota dari himpunan bagian itu sendiri.

Batas atas minimal

Akhirnya, sebuah himpunan sebagian berurutan mungkin memiliki batas atas minimal tanpa memiliki sebuah batas atas terkecil. Batas atas minimal adalah batas atas itu untuk yang tidak ada anggota yang sangat kecil itu juga adalah sebuah batas atas. Ini tidak mengatakan bahwa setiap batas atas minimal lebih kecil daripada semua batas atas lainnya, itu hanya tidak lebih besar. Perbedaannya antara "minimal" dan "paling kecil" hanya mungkin ketika diberikan urutan total. Dalam sebuah himpunan benar-benar berurutan, seperti bilangan real, konsepnya sama.

Sebagai contoh, misalkan $S$ adalah himpunan dari semua himpunan bagian bilangna asli terhingga dan tinjau himpunan sebagian berurutan diamati dengan mengambil semua himpunan-himpunan dari $S$ bersama-sama dengan himpunan bilangan bulat $\mathbb {Z}$ dan himpunan bilangan real positif $\mathbb {R} ^{+}$, diurutkan dari penyertaan himpunan bagian seperti di atas. Maka jelaslah $\mathbb {Z}$ dan $\mathbb {R} ^{+}$ lebih besar daripada semua himpunan bilangan asli terhingga. Namun, baik $\mathbb {R} ^{+}$lebih kecil dari $\mathbb {Z}$ juga bukan sebaliknyaː kedua himpunan adalah batas atas minimal tetapi tidak ada yang supremum.

Sifat batas paling atas

Sifat batas paling atas adalah sebuah contoh dari sifat-sifat kelengkapan tersebut di atas yang khas untuk himpunan bilangan real. Sifat ini terkadang disebut kelengkapan Dedekind.

Jika sebuah himpunan berurutan $S$ memiliki sifatnya bahwa setiap himpunan bagian tak kosong $S$ memiliki sebuah batas atas juga memiliki sebuah batas paling atas, maka $S$ dikatakan memiliki sifat batas paling atas. Seperti disebutkan di atas, himpunan $\mathbb {R}$ dari semua bilangan real memiliki sifat batas paling atas. Demikian pula, himpunan $\mathbb {Z}$ dari bilangan bulat memiliki sifat batas paling atas, jika $S$ adalah sebuah himpunan bagan tak kosong $\mathbb {Z}$ dan ada beberapa bilangan $n$ sehingga setiap anggota $s$ pada $S$ kurang dari atau sama dengan $n$, maka terdapat sebuah batas paling atas $u$ untuk $S$, sebuah bilangan bulat bahwa sebuah batas atas untuk $S$ dan kurang dari atau sama dengan untuk setiap batas atas lainnya untuk $S$. Sebuah himpunan urutan rapi juga memiliki sifat batas paling atas, dan himpunan bagian tak kosong juga memiliki sebuah batas paling atasː minimum dari seluruh himpunan.

Sebuah contoh untuk sebuah himpunan dari sifat batas paling atas adalah $\mathbb {Q}$, himpunan bilangan rasional. Misalkan $S$ menjadi himpunan dari semua bilangan rasional $q$, sehingga $q^{2}<2$. Maka $S$ memiliki sebuah batas atas (1000, sebagai contoh, 6) tetapi tidak ada batas atas dalam $\mathbb {Q}$. Jika kita mengandaikan $p\in \mathbb {Q}$ adalah batas paling atas, sebuah kontradiksi segera disimpulkan karena antara dua bilangan real $x$ dan $y$ (termasuk ${\sqrt {2}}$ (lihat akar kuadrat dari 2) dan $p$) terdapat beberapa rasional $p'$, yang sendirinya akan memiliki menjadi batas paling atas (jika $p>{\sqrt {2}}$). Contoh lainnya adalah hiperreal, tidak ada batas paling atas dari himpunan infinitesimal positif.

Terdapat sebuah 'sifat batas bawah terbesar" yang sesuai; sebuah himpunan berurutan memiliki sifat batas bawah terbesar jika dan hanya jila itu juga memiliki sifat batas paling atas, batas paling atas dari himpunan batas bawah dari sebuah himpunan adalah batas bawah terbesar, dan batas bawah terbesar dari himpunan batas atas dari sebuah himpunan adalah batas paling atas dari himpunan.

Jika dalam sebuah himpunan sebagian berurutan $P$ setippa himpunan bagian berbatas memiliki sebuah supremum , ini juga berlaku, untuk setiap himpunan $X$, dalam ruang fungsi berisi semua fungsi dari $X$ ke $P$, dimana $f\leq g$ jika dan hanya jika $f(x)\leq g(x)$ untuk semua $x$ dalam $X$. Sebagai contoh, itu berlaku untuk fungsi real, dan, karena ini bisa dianggap kasus fungsi khusus, untuk bilangan real $n$-tupel dan barisan bilangan real.

Sifat batas paling atas adalah sebuah indikator dari suprema.

Infima dan suprema bilangan real

Dalam analisis, infima dan suprema dari himpunan bagian $S$ dari bilangan real sangat penting. Misalnya, bilangna real negatif tidak memiliki sebuah anggota terbesar, dan supremum mereka adalah 0 (yang bukan sebuah bilangan real negatif). Kelengkapan dari bilangan real menyiratkan (dan setara dengan) bahwa setiap himpuann bagian tak kosong berbatas $S$ dari bilangan real memiliki sebuah infimum dan sebuah supremum. Jika $S$ tidak berbatas bawah, salah satunya sering secara formal menulis $\inf(S)=-\infty$. Jika $S$ kosong, salah satunya menulis $\inf(S)=+\infty$.

Sifat-sifat

Rumus berikut bergantung pada sebuah notasi bahwa dengan mudah menggeneralisasi operasi-operasi aritmetika pada himpunan-himpunanː Misalkan himpunan $A,B\subseteq \mathbb {R}$, dan skalar $\lambda \in \mathbb {R}$. Mendefinisikan

• $\lambda \cdot A=\{\lambda \cdot a:a\in A\}$; produk skalar dari sebuah himpunan hanya skalar dikalikan oleh setiap anggota dalam himpunan.
• $A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}$; jumlah aritmetika dua himpunan adalah jumlah dari semua kemungkinan pasangan bilangan-bilangan, salah satu dari setiap himpunan.
• $A\cdot B=\{a\cdot b:a\in A,b\in B\}$, produk artimetik dua himpunan adalah semua produk pasangan-pasangan anggota-anggota, salah satu dari setiap himpunan.

Dalam kasus-kasusu itu dimana infima dan suprema dari himpunan-himpunan $A$ dan $B$ ada, identitas berikut berlakuː

• $p=\inf A$ jika dan hanya jika untuk setiap $\varepsilon >0$ terdapat sebuah $x\in A$ dengan $x<p+\varepsilon$, dan $x\geq p$ untuk setiap $x\in A$.
• $p=\sup A$, jika dan hanya jika setiap $\varepsilon >0$ terdapat sebuah $x\in A$ dengan $x>p-\varepsilon$ untuk setiap $x\in A$.
• Jika $A\subseteq B$, maka $\inf A\geq \inf B$ dan $\sup A\leq \sup B$.

• Jika $\lambda \geq 0$, maka $\inf(\lambda \cdot A)=\lambda \cdot (\inf A)$ dan $\sup(\lambda \cdot A)=\lambda \cdot (\sup A)$.
• Jika $\lambda \leq 0$, maka $\inf(\lambda \cdot A)=\lambda \cdot (\sup A)$ dan $\sup(\lambda \cdot A)=\lambda \cdot (\inf A)$.
• $\inf(A+B)=(\inf A)+(\inf B)$, dan $\sup(A+B)=(\sup A)+(\sup B)$.
• Jika $A$, $B$ himpunn tak kosong bilangan real positif maka $\inf(A\cdot B)=(\inf A)\cdot (\inf B)$, sama untuk suprema.

Dualitas

Jika salah satu dilambangkan oleh $P^{\operatorname {op} }$, himpunan sebagian berurutan $P$ dengan hubungan urutan berlawanan, yaitu

• $x\leq y$ dalam $P^{\operatorname {op} }$jika dan hanya jika $x\geq y$ dalam $P$.

maka infimum dari sebuah himpunan bagian $S$ dalam $P$ sama dengan $P^{\operatorname {op} }$ dan sebaliknya

Untuk himpunan bagian dari bilangna real, dualitas jenis lain belaku $\inf S=-\sup(-S)$, dimana $-S=\{-s|s\in S\}$.

Contoh-contoh

Infima

• Infimum dari himpunan bilangan $\{2,3,4\}$ adalah $2$. Bilangan $1$ adalah sebuah batas bawah, tetapi bukan batas bawah terbesar, dan karenanya bukan infimum.
• Lebih umum, jika sebuah himpunan memiliki anggota terkecil, maka anggota terkecil adalah infimum untuk himpunan. Dalam kasus ini, itu juga disebut minimum dari himpunan.
• $\inf\{1,2,3,\dots \}=1$.
• $\inf\{x\in \mathbb {R} \mid 0<x<1\}=0.$$\inf\{x\in \mathbb {R} \mid 0<x<1\}=0$
• $\inf \left\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{3}>2\right\}={\sqrt[{3}]{2}}$.
• $\inf \left\{(-1)^{n}+{\tfrac {1}{n}}\mid n=1,2,3,\ldots \right\}=-1$.
• Jika $x_{n}$ adalah barisan menurun dengna limit $x$, maka $\inf x_{n}=x$.

Suprema

• Supremum dari himpunan bilangan $\{1,2,3\}$ adalah $3$. Bilangan $4$ adalah sebuah batas atas, tetapi bukan batas paling atas, dan karenanya bukanlah supremum.
• $\sup\{x\in \mathbb {R} \mid 0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} \mid 0\leq x\leq 1\}=1$.
• $\sup \left\{(-1)^{n}-{\tfrac {1}{n}}\mid n=1,2,3,\ldots \right\}=1$.
• $\sup\{a+b\mid a\in A,b\in B\}=\sup A+\sup B$.
• $\sup\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\}={\sqrt {2}}$.

Di contoh terakhir, supremum dari sebuah himpunan rasional adalah irasional, yang berarti bahwa rasional tidak lengkap.

Salah satu sifat dasar dari supremum adalah

$\sup\{f(t)+g(t)\mid t\in A\}\leq \sup\{f(t)\mid t\in A\}+\sup\{g(t)\mid t\in A\}$

untuk setiap fungsional-fungsional $f$ dan $g$.

Supremum dari sebuah himpunan $S$ dari $(\mathbb {N} ,\mid )$, dimana $\mid$ melambangkan "pembagi" adalah kelipatan persekutuan terkecil dari anggota-anggota $S$.

Supremum dari sebuah himpunan $S$ dari $(P,\subseteq )$, dimana $P$ adalah himpunan pangkat dari beberapa himpunan, adalah supremum terhadap $\subseteq$ (himpunan bagian) dari sebuah himpunan bagian $S$ dari $P$ adalah gabungan dari anggota-anggota $S$.

Lihat pula

• Anggota maksimal dan minimal
• Anggota terbesar dan terkecil
• Batas atas dan bawah
• Superior limit dan inferior limit (limit infimum)
• Supremum esensial dan infimum esensial

Tautan eksternal

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Upper and lower bounds", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Infimum dan supremum". MathWorld.