Deret (matematika)

Deret (bahasa Inggris: series) adalah jumlah dari elemen-elemen (term; jamak: terms) dalam suatu urutan. Urutan dan deret finit (atau terhingga) mempunyai elemen pertama dan terakhir yang terdefinisi, sedangkan Urutan dan deret infinit (atau tak terhingga) berlangsung terus menerus tak terbatas.

Dalam matematika, jika ada suatu urutan bilangan infinite { a_n }, maka suatu deret secara informal adalah hasil dari penambahan semua elemen-elemen itu bersama-sama: a₁ + a₂ + a₃ + · · ·. Ini dapat ditulis lebih singkat menggunakan simbol notasi Sigma ∑. Contohnya adalah deret terkenal dari Paradoks Zeno dan representasi matematikanya:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots .$

Elemen-elemen dalam suatu deret sering diproduksi menurut kaidah tertentu, misalnya dengan suatu rumus, atau melalui suatu algoritma. Mengingat tidak terbatasnya jumlah elemen, hasilnya sering disebut deret tak terhingga (infinite series). Berbeda dengan finite summations, deret tak terhingga membutuhkan bantuan dari analisis matematika, dan secara khusus limit, untuk dapat dipahami dan dimanipulasi secara penuh. Selain jumlahnya yang banyak dalam matematika, deret tak terhingga juga sering digunakan dalam bidang-bidang kuantitatif lain seperti fisika, sains komputer, dan finansial.

Notasi

Simbol pada deret yaitu $\sum$ menunjukkan penjumlahan dan dapat diinterpretasikan dengan mengulang hasil keliling (biasanya ditentukan di bawah penjumlahan), karena kita membutuhkan (biasanya bilangan bulat) nilai dalam rentang yang ditentukan (dari nilai awal ke batas atas), kemudian menambahkan ekspresi yang dihasilkan. Misalkan:

$\sum _{k=1}^{200}f(k)=f(1)+f(2)+\dots +f(200).$

Keliling pada nilai k kita memiliki nilai awal 1. Hal tersebut diiterasi untuk semua nilai integer hingga dengan nilai 200 dari batas tersebut. Setelah itu iterasi tersebut akan dijumlahkan.

Konvergensi

Sebuah deret dikatakan konvergen ke suatu nilai jika batas jumlah parsial mendekati nilai tersebut; yaitu, diberikannya urutan tak terbatas $\{a_{k}\}$ adalah deret:

$\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}.$

Jika hasil nya limit tidak ada, deret tersebut dikatakan sebagai menyimpang.

Suatu deret dikatakan konvergen secara absolut jika deret yang terbentuk dari nilai absolut syarat pada konvergen; yaitu, diberi urutan tak terbatas $\{a_{k}\}$:

$\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|{\text{konvergensi}}$

Deret pangkat

Artikel utama: Deret pangkat

Deret pangkat (satu variabel) dalam matematika adalah deret tak terhingga dalam bentuk

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots$

dengan a_n melambangkan koefisien suku ke-n, c adalah konstanta dan x berubah-ubah di sekitar c (karena alasan ini kadang-kadang deret seperti ini dikatakan berpusat di c). Deret ini biasanya berupa deret Taylor dari suatu fungsi.

Pada banyak keadaan c sama dengan nol, contohnya pada deret Maclaurin. Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\ldots .$

Deret pangkat biasanya ditemukan dalam analisis matematika, tetapi juga dapat ditemukan pada kombinatorika (dengan nama fungsi pembangkit), dan pada teknik elektro (dengan nama transformasi Z).

Fungsi eksponensial (biru), dan jumlah n+1 elemen pertama dari deret pangkat Maclaurin (merah).

Deret Fourier

Informasi lebih lanjut: Deret Fourier

Sifat dasar

Definisi

Untuk setiap urutan $\{a_{n}\}$ bilangan rasional, bilangan real, bilangan kompleks, fungsi, dan lain-lain, deret yang bersangkutan didefinisikan sebagai jumlah formal tertata

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots$.

Urutan jumlah parsial $\{S_{k}\}$ bersangkutan dengan suatu deret $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ didefinisikan bagi setiap $k$ sebagai jumlah urutan $\{a_{n}\}$ dari $a_{0}$ sampai $a_{k}$

$S_{k}=\sum _{n=0}^{k}a_{n}=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{k}.$

Berdasarkan definisi, deret $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ converges menjadi suatu limit $L$ jika dan hanya jika urutan yang bersangkutan dengan jumlah parsial $\{S_{k}\}$ converges menjadi $L$. Definisi ini biasanya ditulis sebagai

$L=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\Leftrightarrow L=\lim _{k\rightarrow \infty }S_{k}.$

Deret fungsi

Artikel utama: Deret fungsi

Suatu deret fungsi-fungsi bernilai real atau kompleks

$\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)$

converges pointwise pada suatu himpunan E, jika deret itu converges untuk setiap x dalam E sebagai suatu deret ordinari bilangan real atau bilangan kompleks. Ekuivalen dengan itu, jumlah parsial

$s_{N}(x)=\sum _{n=0}^{N}f_{n}(x)$

converge menjadi ƒ(x) sebagai N → ∞ untuk setiap x ∈ E. .

Deret pangkat

Artikel utama: Deret pangkat

Deret pangkat adalah suatu deret dalam bentuk

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}.$

Deret Taylor pada suatu titik c pada suatu fungsi adalah suatu deret pangkat yang dalam banyak kasus berkonvergen menjadi suatu fungsi dalam lingkungan c. Misalnya, deret

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

adalah deret Taylor $e^{x}$ pada titik origin dan berkonvergen kepadanya untuk setiap x.

Daftar suku dan jumlah suku

Nama bilangan	Suku ke-n	Jumlah suku ke-n
Bilangan asli	$n$	${\frac {n\cdot (n+1)}{2}}$
Bilangan asli perkalian dua berurutan	$n\cdot (n+1)$	${\frac {n\cdot (n+1)\cdot (n+2)}{3}}$
Bilangan asli perkalian tiga berurutan	$n\cdot (n+1)\cdot (n+2)$	${\frac {n\cdot (n+1)\cdot (n+2)\cdot (n+3)}{4}}$
Bilangan asli perkalian k berurutan	$n\cdot (n+1)\cdot (n+2)\dots (n+k-1)$	${\frac {n\cdot (n+1)\cdot (n+2)\dots (n+k)}{k+1}}$
Bilangan asli penyebut perkalian dua berurutan	${\frac {1}{n}}-{\frac {1}{(n+1)}}={\frac {1}{n\cdot (n+1)}}$	${\frac {n}{n+1}}$
Bilangan ganjil	$2n-1$	$n^{2}$
Bilangan genap	$2n$	$n^{2}+n$
Bilangan Persegi/Kuadrat	$n^{2}$	${\frac {n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}}$
Bilangan Kubus/Kubik	$n^{3}$	${\frac {n^{2}\cdot (n+1)^{2}}{4}}$
Bilangan Segi tiga	${\frac {n\cdot (n+1)}{2}}$	${\frac {n\cdot (n+1)\cdot (n+2)}{6}}$
Bilangan Persegi panjang	$n\cdot (n+1)$	${\frac {n\cdot (n+1)\cdot (n+2)}{3}}$
Bilangan Balok	$n\cdot (n+1)\cdot (n+2)$	${\frac {n\cdot (n+1)\cdot (n+2)\cdot (n+3)}{4}}$

Contoh

Contoh 1

Contoh dari persamaan f (n) = n² Pada nilai produk f (n) dari nilai n antara 1 dan ∞ dapat dinyatakan sebagai:

$\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots .$

Jika kita hanya menginginkan jumlah persyaratan hingga n = 1 hal itu akan menjadi:

$S_{10}=\sum _{n=1}^{10}n^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +10^{2}=385.$

Contoh 2

Contoh dari produk $\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{2^{n}}}$ menyatu secara mutlak. Tetapi $\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}n=1$ menyatu secara kondisional. Jika kita tahu bahwa keduanya konvergen, kita dapat membuktikan bahwa keduanya konvergen secara absolut atau bersyarat dengan mengambil jumlah nilai absolut dari fungsi tersebut:

${\begin{aligned}\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|{\frac {(-1)^{n+1}}{2^{n}}}\right|&={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}\rightarrow {\text{konvergensi}}\\\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\right|&=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}\rightarrow {\text{tidak konvergensi}}.\end{aligned}}$

Contoh 3

Berapa nilai dari $(1-{\frac {1}{2}})\cdot (1-{\frac {1}{3}})\cdot (1-{\frac {1}{4}})\cdot (1-{\frac {1}{5}})$?

$(1-{\frac {1}{2}})\cdot (1-{\frac {1}{3}})\cdot (1-{\frac {1}{4}})\cdot (1-{\frac {1}{5}})={\frac {\mathbf {1} }{2}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {3}{4}}\cdot {\frac {4}{\mathbf {5} }}={\frac {1}{5}}$

Contoh 4

Berapa nilai dari ${\frac {1}{4\cdot 5}}+{\frac {1}{5\cdot 6}}+{\frac {1}{6}}$?

${\frac {1}{4\cdot 5}}+{\frac {1}{5\cdot 6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{20}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{6}}={\frac {3}{60}}+{\frac {2}{60}}+{\frac {10}{60}}={\frac {15}{60}}={\frac {1}{4}}$

jadi lebih singkatnya adalah ${\frac {\mathbf {1} }{\mathbf {4} \cdot 5}}+{\frac {1}{5\cdot 6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{4}}$

Contoh 5A

Berapa nilai dari $1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)$?

$1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)=1+3+6+10=20$

jadi lebih singkatnya adalah $1\times 4+2\times 3+3\times 2+4\times 1=2\cdot (1\times 4+2\times 3)=2\cdot (4+6)=20$

Contoh 5B

Berapa nilai dari $1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5)$?

$1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5)=1+3+6+10+15=35$

jadi lebih singkatnya adalah $1\times 5+2\times 4+3\times 3+4\times 2+5\times 1=2\cdot (1\times 5+2\times 4)+3\times 3=2\cdot (5+8)+9=35$

Lihat pula

• Pecahan berlanjut
• Tes konvergensi
• Deret konvergen
• Deret divergen
• Komposisi tak terbatas dari fungsi analisis
• Ekspresi tak terbatas
• Produk tak terbatas
• Operasi biner berulang
• Daftar deret matematika
• Penjumlahan prefiks
• Transformasi berurutan
• Ekspansi deret

Pustaka

• Bromwich, T.J. An Introduction to the Theory of Infinite Series MacMillan & Co. 1908, revised 1926, reprinted 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.
• Dvoretzky, Aryeh; Rogers, C. Ambrose (1950). "Absolute and unconditional convergence in normed linear spaces". Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 36 (3): 192–197. doi:10.1073/pnas.36.3.192.  MR0033975

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Series", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Infinite Series Tutorial