Fungtor

Halaman ini berisi artikel tentang konsep matematika. Untuk kegunaan lain, lihat Fungtor (disambiguasi).

"Functoriality" beralih ke halaman ini. Untuk konjektur funktorialiti Langland dalam teori bilangan, lihat Program Langland § Funktorialiti.

Dalam matematika, khususnya teori kategori, funktor atau sering disebut functor adalah peta antara kategori. Functor pertama kali dipertimbangkan dalam topologi aljabar, di mana objek aljabar (seperti grup fundamental) terkait dengan ruang topologi, dan peta antara objek aljabar ini dikaitkan dengan kontinu peta antar spasi. Saat ini, functor digunakan di seluruh matematika modern untuk menghubungkan berbagai kategori. Dengan demikian, para functor penting dalam semua bidang dalam matematika yang teori kategori diterapkan.

Kata kategori dan functor masing-masing dipinjam oleh matematikawan dari para filsuf Aristoteles dan Rudolf Carnap. Yang terakhir menggunakan functor dalam konteks linguistik; lihat kata fungsi.

Definisi

Misalkan C dan D menjadi kategori. A functor F dari C ke D adalah pemetaan

• mengaitkan ke setiap objek $X$ di C dengan objek $F(X)$ di D,
• terkait dengan setiap morfisme $f\colon X\to Y$ in C dengan morfisme $F(f)\colon F(X)\to F(Y)$ di D sehingga dua kondisi berikut berlaku:
  • $F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!$ untuk setiap objek $X$ pada C ,
  • $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$ untuk morfisme $f\colon X\to Y\,\!$ dan $g\colon Y\to Z$ pada C.

Artinya, functor harus mempertahankan morfisme identitas dan komposisi ​​morfisme.

Kovarian dan kontravarian

Lihat pula: Kovarian dan kontravarian (ilmu komputer)

Ada banyak konstruksi dalam matematika yang akan berfungsi tetapi karena fakta bahwa mereka "mengubah morfisme" dan "komposisi terbalik". Kami kemudian mendefinisikan 'contravariant functor' F dari C ke D sebagai pemetaan yang

• mengaitkan ke setiap objek $X$ in C wengan objek $F(X)$ di D ,
• terkait dengan setiap morfisme $f\colon X\to Y$ di C dengan morfisme $F(f)\colon F(Y)\to F(X)$ pada D sehingga dua kondisi berikut berlaku:
  • $F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!$ untuk setiap objek $X$ di C ,
  • $F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)$ untuk morfisme $f\colon X\to Y$ dan $g\colon Y\to Z$ pada C.

Perhatikan bahwa fungsi kontravarian membalikkan arah komposisi.

Fungsi biasa juga disebut fungsi kovarian untuk membedakannya dari fungsi kontravarian. Perhatikan bahwa seseorang juga dapat mendefinisikan fungsi kontravarian sebagai fungsi kovarian pada kategori berlawanan $C^{\mathrm {op} }$. Beberapa penulis lebih suka menulis semua ekspresi secara kovarian. Artinya, alih-alih mengatakan $F\colon C\to D$ adalah functor kontravarian, mereka hanya menulis $F\colon C^{\mathrm {op} }\to D$ (atau terkadang $F\colon C\to D^{\mathrm {op} }$) dan menyebutnya sebagai functor.

Fungsional kontravarian juga kadang-kadang disebut kofunktor .

Ada konvensi yang mengacu pada "vektor" yaitu, bidang vektor s, elemen ruang bagian $\Gamma (TM)$ dari paket tangen $TM$—sebagai "contravariant" dan untuk "covectors" yaitu, 1-bentuk, elemen ruang bagian $\Gamma (T^{*}M)$ dari bundel kotangen $T^{*}M$ sebagai "kovarian". Terminologi ini berasal dari fisika, dan alasannya berkaitan dengan posisi indeks ("atas" dan "lantai bawah") dalam ekspresi seperti $x'^{\,i}=\Lambda _{j}^{i}x^{j}$ for $\mathbf {x} '={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x}$ or $\omega '_{i}=\Lambda _{i}^{j}\omega _{j}$ untuk ${\boldsymbol {\omega }}'={\boldsymbol {\omega }}{\boldsymbol {\Lambda }}^{T}.$ Dalam formalisme ini diamati bahwa simbol transformasi koordinat $\Lambda _{i}^{j}$ (representing the matrix ${\boldsymbol {\Lambda }}^{T}$) bertindak atas dasar vektor "dengan cara yang sama" seperti pada "koordinat kovektor": $\mathbf {e} _{i}=\Lambda _{i}^{j}\mathbf {e} _{j}$—sedangkan ia bertindak "dengan cara yang berlawanan" pada "koordinat vektor" (tetapi "dengan cara yang sama" seperti pada covektor dasar: $\mathbf {e} ^{i}=\Lambda _{j}^{i}\mathbf {e} ^{j}$). Terminologi ini bertentangan dengan yang digunakan dalam teori kategori karena covectors-lah yang memiliki kemunduran secara umum dan dengan demikian menjadi kontravarian , sedangkan vektor pada umumnya adalah kovarian karena dapat didorong ke depan . Lihat pula Kovarian dan kontradiksi vektor.

Functor berlawanan

Setiap functor $F\colon C\to D$ menginduksi fungsi berlawanan $F^{\mathrm {op} }\colon C^{\mathrm {op} }\to D^{\mathrm {op} }$, dimana $C^{\mathrm {op} }$ dan $D^{\mathrm {op} }$ adalah kategori berlawanan ke $C$ dan $D$. Menurut definisi, $F^{\mathrm {op} }$ memetakan objek dan morfisme secara identik ke $F$. Karena $C^{\mathrm {op} }$ tidak sesuai dengan $C$ sebagai kategori, dan juga untuk $D$, $F^{\mathrm {op} }$ is dibedakan dari $F$. Misalnya saat menulis $F\colon C_{0}\to C_{1}$ with $G\colon C_{1}^{\mathrm {op} }\to C_{2}$, seseorang harus menggunakan keduanya $G\circ F^{\mathrm {op} }$ or $G^{\mathrm {op} }\circ F$. Perhatikan bahwa, mengikuti properti kategori berlawanan, $(F^{\mathrm {op} })^{\mathrm {op} }=F$.

Bifunctor dan multifunctor

bifunctor (juga dikenal sebagai functor biner) adalah functor yang domainnya adalah kategori produk. Misalnya, Hom functor adalah tipe C^op × C → Set. Ini dapat dilihat sebagai functor dalam argumen dua . Hom functor adalah contoh alami; itu bertentangan dalam satu argumen, kovarian di argumen lain.

multifunctor adalah generalisasi dari konsep functor ke variabel n . Jadi, misalnya, bifunctor adalah multifunctor dengan n = 2.

Contoh

Diagram: Untuk kategori C dan J , diagram tipe J dalam C adalah fungsi kovarian $D\colon J\to C$.

(Teori kategori) presheaf: Untuk kategori C dan J , a J -presheaf pada C adalah fungsi kontravarian $D\colon C\to J$.

Presheaves: Jika X adalah ruang topologi, maka set terbuka di X membentuk himpunan order sebagian Buka( X ) di bawah penyertaan. Seperti setiap himpunan yang diurutkan sebagian, Open( X ) membentuk kategori kecil dengan menambahkan satu panah U → V jika dan hanya jika $U\subseteq V$. Fungsional kontravarian pada Open ( X ) disebut presheave pada X . Misalnya, dengan menetapkan ke setiap set terbuka U aljabar asosiatif dari fungsi kontinu bernilai nyata pada U , seseorang memperoleh presheaf dari aljabar di X .

Functor konstan: Functor C → D yang memetakan setiap objek C ke objek tetap X di D dan setiap morfisme di C ke morfisme identitas di X . Functor seperti itu disebut functor konstan atau pilihan .

Endofunctor: Functor yang memetakan kategori ke kategori yang sama; misalnya, fungsi polinomial.

Functor identitas: dalam kategori C , tertulis 1_C atau id_C, memetakan objek ke dirinya sendiri dan morfisme ke dirinya sendiri. Functor identitas adalah endofunctor.

Functor diagonal: Functor diagonal didefinisikan sebagai functor dari D ke kategori functor D ^C yang mengirimkan setiap objek dalam D ke Functor konstan pada objek itu.

Limit fungsi: Untuk tetap kategori indeks J , jika semua functor J → C memiliki limit (misalnya jika C selesai), maka fungsi limit C^J → C menetapkan batasnya ke setiap functor. Keberadaan functor ini dapat dibuktikan dengan menyadari bahwa ini adalah adjoint kanan ke diagonal functor dan menjalankan Freyd menggabungkan teorema functor. Ini membutuhkan versi yang sesuai dari aksioma pilihan. Komentar serupa berlaku untuk colimit functor (yang menetapkan kolom ke setiap functor, dan merupakan kovarian).

Himpunan daya: Himpunan functor daya P : Set → Set memetakan setiap set ke himpunan daya dan setiap fungsinya $f\colon X\to Y$ ke peta order $U\in {\mathcal {P}}(X)$ to its image $f(U)\in {\mathcal {P}}(Y)$. Seseorang juga dapat mempertimbangkan functor himpunan daya kontravarian order $f\colon X\to Y$ to the map which sends $V\subseteq Y$ to its inverse image $f^{-1}(V)\subseteq X.$

Kaitannya dengan konsep kategoris lainnya

Misalkan C dan D menjadi kategori. Kumpulan semua fungsi dari C hingga D membentuk objek dari kategori: kategori functor. Morfisme dalam kategori ini adalah transformasi alami antara fungsi.

Functor sering didefinisikan oleh properti universal; contohnya adalah produk tensor, jumlah langsung dan produk langsung dari grup atau ruang vektor, konstruksi grup dan modul bebas, batas langsung dan invers. Konsep batas dan batas menggeneralisasi beberapa hal di atas.

Konstruksi universal sering kali memunculkan pasangan.

Implementasi komputer

Functor terkadang muncul di pemrograman fungsional. Misalnya, bahasa pemrograman Haskell memiliki kelas Functor where fmap adalah fungsi politik yang digunakan untuk memetakan fungsi ( morphisms on Hask , kategori tipe Haskell) between existing types to functions between some new types.

Lihat pula

• Kategori Functor
• Ekstensi Kan
• Pseudofunctor

Referensi

• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 2 (edisi ke-2nd), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7 .

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Functor", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• see functor di nLab and the variations discussed and linked to there.
• André Joyal, CatLab, a wiki project dedicated to the exposition of categorical mathematics
• Hillman, Chris. "A Categorical Primer". CiteSeerX 10.1.1.24.3264 :  formal introduction to category theory.
• J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, Abstract and Concrete Categories-The Joy of Cats
• Stanford Encyclopedia of Philosophy: "Category Theory" — by Jean-Pierre Marquis. Extensive bibliography.
• List of academic conferences on category theory
• Baez, John, 1996,"The Tale of n-categories." An informal introduction to higher order categories.
• WildCats is a category theory package for Mathematica. Manipulation and visualization of objects, morphisms, categories, functors, natural transformations, universal properties.
• The catsters, a YouTube channel about category theory.
• Category Theory, PlanetMath.org.
• Video archive of recorded talks relevant to categories, logic and the foundations of physics.
• Interactive Web page which generates examples of categorical constructions in the category of finite sets.