Balok jajar genjang

Dalam geometri, paralelpipedum (parallelopiped atau parallelopipedon) adalah bentuk tiga dimensi yang dibentuk oleh enam jajaran genjang (dengan nama rhomboid kadang-kadang digunakan dengan arti tersebut). Dengan analogi, memiliki sisi berhubungan dengan jajaran genjang seperti halnya kubus berhubungan dengan persegi. Dalam geometri Euclidean, paralelepiped memiliki empat konsep dan seperti kubus dalam tiga dimensi, karena paralelepiped berbeda dengan kubus, paralelepiped hanya memiliki sisi yang berbentuk jajaran genjang dan persegi dalam dua dimensi, akan tetapi dalam konteks geometri afin yang lebih umum, di mana sudut tidak dibedakan, hanya jajaran genjang dan paralelepiped yang ada.

Parallelepiped dengan memiliki sisi yaitu jajar genjang dan persegi

Hingga saat ini, pengucapan paralelipiped adalah /ˌpærəlɛlɪˈpɪpɛd/, /ˌpærəlɛlɪˈpaɪpɛd/, or /-pɪd/; dalam tradisional /ˌpærəlɛlˈɛpɪpɛd/ Templat:Respell sesuai dengan etimologinya dalam bahasa yunani παραλληλ-επίπεδον atau benda yang memiliki bidang sejajar.

Parallelepipeds adalah subclass dari prismatoids.

Sifat

Salah satu dari tiga pasangan permukaan paralel dapat dipandang sebagai bidang alas prisma. Paralelepiped memiliki tiga set empat tepi paralel; tepi dalam setiap set memiliki panjang yang sama.

Parallelepiped memiliki hasil transformasi linear dari kubus.

Karena setiap permukaan memiliki simetri titik, paralelepiped adalah bentuk dari zonohedron. Ada pula seluruh paralelepiped memiliki titik simetri C_i (lihat pula triklinik). Setiap sisi dapat dilihat dari luar, salah satu bayangan cermin dari sisi yang berlawanan. Muka pada umumnya berbentuk kiral, tetapi parallelepiped nya tidak.

Sebuah tessellation ruang yang mengisi kemungkinan dengan kongruen salinan parallelepiped apapun.

Rumus paralelipiped pada luas permukaan

Luas permukaan pada paralelepiped adalah jumlah dari luas jajaran genjang pembatas:

$A=2\cdot \left(|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|+|{\vec {a}}\times {\vec {c}}|+|{\vec {b}}\times {\vec {c}}|\right)$

$=2(ab\sin \gamma +bc\sin \alpha +ca\sin \beta )\$.

Rumus paralelipiped pada volume

Parallelepiped, dengan menggunakan vektor

Sebuah paralelepiped dapat dianggap sebagai prisma miring dengan jajaran genjang sebagai alasnya. Karena itu volume pada $V$ dari sebuah parallelepiped adalah hasil kali dari luas alas $L$ dan tinggi $t$ (sebagai diagram). Yaitu

$L=|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|\cdot \sin \gamma =|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|~$ (darimana $\gamma$ adalah segitiga vektor ${\vec {a}}$ dan ${\vec {b}}$), dan

$h=|{\vec {c}}|\cdot |\cos \theta ~|~$ (darimana $\theta$ adalah segitiga vektor ${\vec {c}}$ dan normal) yaitu:

$V=L\cdot t=(|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\sin \gamma )\cdot |{\vec {c}}||\cos \theta ~|=|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|~|{\vec {c}}|~|\cos \theta ~|=|({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}|~.$

The mixed product of three vectors is called triple product. It can be described by a determinant. Hence for ${\vec {a}}=(a_{1},a_{2},a_{3})^{T},~{\vec {b}}=(b_{1},b_{2},b_{3})^{T},~{\vec {c}}=(c_{1},c_{2},c_{3})^{T},$ the volume is:

(V1) $\quad V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}\;\right|$ .

Produk campuran dari tiga vektor disebut perkalian tiga. Hal tersebut bisa dijelaskan oleh determinan. Karena:

(V2)$\quad V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )}}$ ,

Darimana $\ \alpha =\angle ({\vec {b}},{\vec {c}}),\;\beta =\angle ({\vec {a}},{\vec {c}}),\;\gamma =\angle ({\vec {a}},{\vec {b}}),\$ and $a,b,c$ adalah panjang tepi.

Proof of (V2)

The proof of (V2) uses properti pada determinant dan produk campuran pada geometri:

Let be $M$ the 3x3-matrix, whose columns are the vectors ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ (see above). Then the following is true:

$V^{2}=(\det M)^{2}=\det M\det M=\det M^{T}\det M=\det(M^{T}M)$

$=\det {\begin{bmatrix}{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}&{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}\\{\vec {b}}\cdot {\vec {a}}&{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\\{\vec {c}}\cdot {\vec {a}}&{\vec {c}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {c}}\cdot {\vec {c}}\end{bmatrix}}=\ a^{2}b^{2}c^{2}\;\left(1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\right).$

(The last step uses $\ {\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=a^{2},...,\;{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=ab\cos \gamma ,\;{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}=ac\cos \beta ,\;{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}=bc\cos \alpha ,...$)

Tetrahedron yang sesuai

Volume setiap tetrahedron yang berbagi tiga tepi konvergen dari parallelepiped sama dengan seperenam volume dari parallelepiped tersebut (lihat bukti).