Usaha (fisika)

Kerja
Kerja
	Pemukul baseball melakukan kerja positif pada bola dengan memberikan gaya padanya.
Simbol umum	W
Satuan SI	joule (J)
Dalam satuan pokok SI	1 kg⋅m2/s2
Dimensi SI	M L2 T−2
Turunan dari; besaran lainnya	W = F ⋅ s ; W = τ θ

Usaha atau kerja (dilambangkan dengan W dari Bahasa Inggris Work) adalah energi yang disalurkan gaya ke sebuah benda sehingga benda tersebut bergerak.

Usaha didefinisikan sebagai integral garis (pembaca yang tidak akrab dengan kalkulus peubah banyak lihat "rumus mudah" di bawah):

W=\int _{C}{\vec {F}}\cdot {\vec {ds}}

di mana

C adalah lintasan yang dilalui oleh benda;

{\vec {F}}

adalah gaya;

{\vec {s}}

adalah posisi.

Usaha adalah besaran skalar, tetapi dia dapat positif atau negatif. Tidak semua gaya melakukan kerja. contohnya, gaya sentripetal dalam gerakan berputar seragam tidak menyalurkan energi; kecepatan objek yang bergerak tetap konstan. Kenyataan ini diyakinkan oleh formula: bila vektor dari gaya dan perpindahan tegak lurus, yakni perkalian titik mereka sama dengan nol.

Bentuk usaha tidak selalu mekanis, seperti usaha listrik, dapat dipandang sebagai kasus khusus dari prinsip ini; misalnya, di dalam kasus listrik, usaha dilakukan dalam partikel bermuatan yang bergerak melalui sebuah medium.

Konduksi panas dari badan yang lebih hangat ke yang lebih dingin biasanya bukan merupakan usaha mekanis, karena pada ukuran mikroskopik, tidak ada gaya yang dapat diukur. Pada ukuran atomik, ada gaya di mana atom berbenturan, tetapi dalam jumlahnya usaha hampir sama dengan nol.

Sejarah

Menurut Jammer, istilah kerja diperkenalkan pada tahun 1826 oleh ahli matematika Prancis Gaspar Gustave de Coriolis sebagai "berat yang diangkat melalui ketinggian", yang didasarkan pada penggunaan mesin uap awal untuk mengangkat ember air dari tambang bijih yang banjir. Menurut[1] René Dugas, insinyur dan sejarawan Prancis, kepada Solomon dari Caux "kita berhutang pada istilah kerja dalam arti yang digunakan dalam mekanika sekarang". Meskipun pekerjaan tidak digunakan secara resmi sampai tahun 1826, konsep serupa sudah ada sebelum itu. Pada tahun 1759, [2]John Smeaton menggambarkan suatu besaran yang disebutnya "kekuatan" "untuk menandakan pengerahan tenaga, gravitasi, impuls, atau tekanan, untuk menghasilkan gerakan." Smeaton melanjutkan bahwa kuantitas ini dapat dihitung jika "berat yang diangkat dikalikan dengan tinggi yang dapat dinaikkan dalam waktu tertentu," membuat definisi ini sangat mirip dengan Coriolis.

Satuan

Setara newton-meter (N⋅m) secara dimensi kadang-kadang digunakan sebagai satuan pengukuran untuk kerja, tetapi ini dapat dikacaukan dengan satuan pengukuran torsi. Penggunaan N⋅m tidak dianjurkan oleh otoritas SI, karena dapat menimbulkan kebingungan apakah besaran yang dinyatakan dalam newton meter adalah pengukuran torsi, atau pengukuran kerja.

Satuan kerja non-SI meliputi newton meter, erg, [3]foot pound, [[4]]foot poundal, [[5]]kilowatt hours,liter atmosfer, dan [[6]]horsepower-hour. Karena kerja memiliki dimensi fisik yang sama dengan panas, kadang-kadang satuan pengukuran biasanya dicadangkan untuk panas atau kandungan energi, Satuan kerja SI adalah joule (J), dinamai sesuai dengan fisikawan Inggris abad ke-19 James Prescott Joule, yang didefinisikan sebagai kerja yang diperlukan untuk mengerahkan gaya sebesar satu newton melalui perpindahan sejauh satu meter. seperti term, BTU dan kalori, digunakan sebagai satuan pengukuran.

Usaha dan Energi

Usaha W yang dilakukan oleh gaya konstan sebesar F pada titik yang memindahkan perpindahan dalam garis lurus ke arah gaya adalah produk

W=F.s

Misalnya, jika gaya 10 newton (F = 10 N) bekerja di sepanjang titik yang menempuh jarak 2 meter (s = 2 m), maka W = Fs = (10 N) (2 m) = 20 J. Ini kira-kira pekerjaan yang dilakukan mengangkat benda 1 kg dari permukaan tanah ke atas kepala seseorang melawan gaya gravitasi.

Pekerjaan digandakan baik dengan mengangkat dua kali berat pada jarak yang sama atau dengan mengangkat beban yang sama dua kali jarak.

Usaha erat kaitannya dengan energi. Prinsip kerja-energi menyatakan bahwa peningkatan energi kinetik benda tegar disebabkan oleh jumlah yang sama dari kerja positif yang dilakukan pada benda oleh gaya resultan yang bekerja pada benda tersebut. Sebaliknya, penurunan energi kinetik disebabkan oleh jumlah yang sama dari pekerjaan negatif yang dilakukan oleh gaya yang dihasilkan. Jadi, jika usaha bersihnya positif, maka energi kinetik partikel bertambah sebesar usaha. Jika kerja bersih yang dilakukan negatif, maka energi kinetik partikel berkurang dengan jumlah kerja.

Dari hukum kedua Newton, dapat ditunjukkan bahwa kerja pada benda bebas (tanpa medan), kaku (tanpa derajat kebebasan internal), sama dengan perubahan energi kinetik Ek yang sesuai dengan kecepatan linier dan kecepatan sudut benda itu,

W=∆Ek

Kerja gaya-gaya yang dihasilkan oleh fungsi potensial dikenal sebagai energi potensial dan gaya-gaya tersebut dikatakan konservatif. Oleh karena itu, kerja pada sebuah benda yang hanya dipindahkan dalam medan gaya konservatif, tanpa perubahan kecepatan atau rotasi, sama dengan dikurangi perubahan energi potensial Ep benda,

Rumus-rumus ini menunjukkan bahwa usaha adalah energi yang terkait dengan aksi suatu gaya, sehingga kerja selanjutnya memiliki dimensi fisik, dan satuan energi. Prinsip kerja/energi yang dibahas di sini identik dengan prinsip kerja/energi listrik.

Kekuatan Kendala

Gaya kendala menentukan perpindahan objek dalam sistem, membatasinya dalam suatu jangkauan. Sebagai contoh, dalam kasus kemiringan ditambah gravitasi, benda tersebut menempel pada kemiringan dan, ketika diikat pada tali yang kencang, benda itu tidak dapat bergerak ke arah luar untuk membuat tali menjadi mengencang. Ini menghilangkan semua perpindahan ke arah itu, yaitu, kecepatan dalam arah kendala terbatas pada 0, sehingga gaya kendala tidak melakukan kerja pada sistem.

Untuk sistem mekanis, gaya kendala menghilangkan gerakan dalam arah yang menjadi ciri kendala. Jadi kerja virtual yang dilakukan oleh gaya-gaya kendala adalah nol, hasil yang hanya benar jika gaya gesekan dikecualikan.

Gaya kendala tetap tanpa gesekan tidak melakukan kerja pada sistem, karena sudut antara gerak dan gaya kendala selalu 90°. Contoh kendala workless adalah: interkoneksi kaku antara partikel, gerakan geser pada permukaan tanpa gesekan, dan kontak bergulir tanpa slip.

Misalnya, dalam sistem katrol seperti mesin Atwood, gaya internal pada tali dan pada katrol pendukung tidak bekerja pada sistem. Oleh karena itu, usaha hanya perlu dihitung untuk gaya gravitasi yang bekerja pada benda. Contoh lain adalah gaya sentripetal yang diberikan ke dalam oleh tali pada bola yang bergerak melingkar beraturan ke samping membatasi bola pada gerakan melingkar yang membatasi gerakannya menjauh dari pusat lingkaran. Gaya ini tidak bekerja nol karena tegak lurus dengan kecepatan bola.

Gaya magnet pada partikel bermuatan adalah F = qv × B, di mana q adalah muatan, v adalah kecepatan partikel, dan B adalah medan magnet. Hasil perkalian silang selalu tegak lurus kedua vektor asal, jadi F v. Hasil kali titik dua vektor tegak lurus selalu nol, sehingga usaha W = F v = 0, dan gaya magnet tidak dilakukan kerja. Itu dapat mengubah arah gerak tetapi tidak pernah mengubah kecepatan.

Perhitungan matematis

Untuk benda bergerak, besarnya kerja/waktu (daya) bisa dihitung. Maka, besarnya kerja yang dilakukan gaya (diukur dalam joule/sekon atau watt) adalah perkalian skalar dari gaya (vektor) dengan kecepatan (vektor). Perkalian skalar dari gaya dan kecepatan ini adalah daya sesaat. Seperti kecepatan yang diintegrasikan terhadap waktu untuk mendapatkan jarak total, menurut teorema dasar kalkulus, total kerja sepanjang lintasan adalah integral waktu dari daya sesaat sepanjang lintasan yang dilewati.^[1]

Usaha adalah hasil gaya pada suatu titik yang mengikuti kurva X, dengan kecepatan v, setiap saat. Jumlah kecil pekerjaan W yang terjadi selama waktu dt dihitung sebagai

$\delta W=\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt$

di mana F. v adalah kekuatan selama dt instan. Jumlah dari sejumlah kecil pekerjaan di atas lintasan titik menghasilkan pekerjaan

$W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot {\tfrac {d\mathbf {s} }{dt}}dt=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} ,$

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24f9de9f3b829482f03e485fe3952a2afd47a3f0

di mana C adalah lintasan dari x(t1) ke x(t2). Integral ini dihitung sepanjang lintasan partikel, dan oleh karena itu dikatakan bergantung pada jalur.

Jika gaya selalu diarahkan sepanjang garis ini, dan besarnya gaya adalah F, maka integral ini disederhanakan menjadi

$W=\int _{C}F\,ds$

dimana s adalah perpindahan sepanjang garis. Jika F konstan, selain diarahkan sepanjang garis, maka integral disederhanakan lebih lanjut menjadi

$W=\int _{C}F\,ds=F\int _{C}ds=Fs$

di mana s adalah perpindahan titik sepanjang garis. Perhitungan ini dapat digeneralisasi untuk gaya konstan yang tidak diarahkan sepanjang garis, diikuti oleh partikel. Dalam hal ini hasil kali titik F ds = F cos ds, di mana adalah sudut antara vektor gaya dan arah gerakan, yaitu

$W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} =Fs\cos \theta .$

Ketika komponen gaya tegak lurus terhadap perpindahan objek (seperti ketika sebuah benda bergerak dalam lintasan melingkar di bawah gaya pusat), tidak ada usaha yang dilakukan, karena kosinus 90° adalah nol. Dengan demikian, tidak ada pekerjaan yang dapat dilakukan oleh gravitasi pada planet dengan orbit melingkar (ini ideal, karena semua orbit sedikit elips). Juga, tidak ada pekerjaan yang dilakukan pada benda yang bergerak melingkar dengan kecepatan konstan sementara dibatasi oleh gaya mekanik, seperti bergerak dengan kecepatan konstan dalam sentrifugal ideal tanpa gesekan.

Usaha yang Dilakukan Gaya variabel

Menghitung usaha sebagai "gaya kali ruas jalan lurus" hanya akan diterapkan dalam keadaan yang paling sederhana, seperti disebutkan di atas. Jika gaya berubah, atau jika benda bergerak sepanjang lintasan melengkung, mungkin berputar dan tidak harus kaku, maka hanya lintasan titik penerapan gaya yang relevan untuk kerja yang dilakukan, dan hanya komponen gaya yang sejajar dengan titik aplikasi kecepatan sedang melakukan kerja (usaha positif bila searah, dan negatif bila berlawanan arah kecepatan). Komponen gaya ini dapat dijelaskan dengan besaran skalar yang disebut komponen tangensial skalar (F cos(θ), di mana adalah sudut antara gaya dan kecepatan). Dan kemudian definisi kerja yang paling umum dapat dirumuskan sebagai berikut:

Kerja suatu gaya adalah integral garis dari komponen tangensial skalarnya sepanjang lintasan titik penerapannya. Jika gaya bervariasi (misalnya menekan pegas) kita perlu menggunakan kalkulus untuk menemukan pekerjaan yang dilakukan. Jika gaya diberikan oleh F(x) (fungsi x) maka usaha yang dilakukan oleh gaya sepanjang sumbu x dari a ke b adalah:

di mana s adalah titik sepanjang garis.

Perhitungan ini dapat digeneralisasi untuk gaya konstan yang tidak diarahkan sepanjang garis, diikuti oleh partikel. Dalam hal ini hasil kali titik F ds = F cos ds, di mana adalah sudut antara vektor gaya dan arah gerakan, yaitu

$W=\int _{a}^{b}\mathbf {F(s)} \cdot d\mathbf {s}$

Torsi dan rotasi

Kopling gaya dihasilkan dari gaya yang sama besar dan berlawanan arah, bekerja pada dua titik berbeda pada benda tegar. Jumlah (resultan) dari gaya-gaya ini dapat dibatalkan, tetapi efeknya pada benda adalah kopel atau torsi T. Kerja torsi dihitung sebagai

$dW=\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\,dt,$

di mana T⋅ ω adalah kekuatan atas instan t.δ Jumlah dari sejumlah kecil kerja di atas lintasan benda tegar menghasilkan kerja,

$W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\,dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {T} \cdot \mathbf {S} {\frac {d\phi }{dt}}dt=\int _{C}\mathbf {T} \cdot \mathbf {S} \,d\phi ,$

di mana C adalah lintasan dari φ(t1) ke φ(t2). Integral ini bergantung pada lintasan rotasi φ(t), dan karenanya bergantung pada lintasan.

Jika torsi T sejajar dengan vektor kecepatan sudut sehingga,

$\mathbf {T} =\tau \mathbf {S} ,$

dan torsi dan kecepatan sudutnya konstan, maka pekerjaan berbentuk,

Hasil ini dapat dipahami lebih sederhana dengan mempertimbangkan torsi yang timbul dari gaya yang besarnya konstan F, diterapkan secara tegak lurus ke lengan tuas pada jarak r, seperti yang ditunjukkan pada gambar. Gaya ini akan bekerja melalui jarak sepanjang busur lingkaran s = rφ, sehingga usaha yang dilakukan adalah

$W=Fs=Fr\phi .$

Perkenalkan torsi = Fr, untuk mendapatkan

$W=Fr\phi =\tau \phi ,$

seperti yang disajikan di atas. Perhatikan bahwa hanya komponen torsi dalam arah vektor kecepatan sudut yang berkontribusi pada kerja.

Usaha dan energi potensial

hasil kali skalar dari gaya F dan kecepatan v dari titik penerapannya menentukan input daya ke sistem pada saat tertentu. Integrasi daya ini pada lintasan titik aplikasi, C = x(t), mendefinisikan masukan kerja ke sistem oleh gaya.

Ketergantungan jalur

Hasil kali skalar dari gaya F dan kecepatan v dari titik penerapannya menentukan input daya ke sistem pada saat tertentu. Integrasi daya ini pada lintasan titik aplikasi, C = x(t), mendefinisikan masukan kerja ke sistem oleh gaya.

$W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt,$

di mana dx(t) mendefinisikan lintasan C dan v adalah kecepatan sepanjang lintasan ini. Secara umum integral ini memerlukan lintasan yang ditentukan kecepatannya, sehingga evaluasi kerja dikatakan bergantung lintasan. Turunan waktu dari integral untuk kerja menghasilkan daya sesaat,

${\frac {dW}{dt}}=P(t)=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} .$

Jalur kebebasan

Jika usaha untuk gaya yang diberikan tidak bergantung pada lintasan, maka usaha yang dilakukan oleh gaya tersebut, dengan teorema gradien, mendefinisikan fungsi potensial yang dievaluasi pada awal dan akhir lintasan titik aplikasi. Ini berarti bahwa terdapat fungsi potensial U(x), yang dapat dievaluasi pada dua titik x(t1) dan x(t2) untuk memperoleh kerja pada sembarang lintasan antara kedua titik tersebut. Merupakan tradisi untuk mendefinisikan fungsi ini dengan tanda negatif sehingga kerja positif adalah pengurangan potensi, yaitu

$W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{\mathbf {x} (t_{1})}^{\mathbf {x} (t_{2})}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =U(\mathbf {x} (t_{1}))-U(\mathbf {x} (t_{2})).$

Fungsi U(x) disebut energi potensial yang terkait dengan gaya yang diterapkan. Gaya yang diturunkan dari fungsi potensial seperti itu dikatakan konservatif. Contoh gaya yang memiliki energi potensial adalah gaya gravitasi dan gaya pegas.

Dalam hal ini, gradien kerja menghasilkan

$\nabla W=-\nabla U=-\left({\frac {\partial U}{\partial x}},{\frac {\partial U}{\partial y}},{\frac {\partial U}{\partial z}}\right)=\mathbf {F} ,$

dan gaya F dikatakan "diturunkan dari sebuah potensial."

Karena potensial U mendefinisikan gaya F di setiap titik x dalam ruang, himpunan gaya disebut medan gaya. Daya yang diterapkan pada benda oleh medan gaya diperoleh dari gradien kerja, atau potensial, dalam arah kecepatan V benda, yaitu

$P(t)=-\nabla U\cdot \mathbf {v} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} .$

Bekerja dengan gravitasi

Dengan tidak adanya gaya lain, gravitasi menghasilkan percepatan ke bawah yang konstan dari setiap benda yang bergerak bebas. Di dekat permukaan bumi, percepatan gravitasi adalah g = 9,8 m⋅s−2 dan gaya gravitasi pada benda bermassa m adalah Fg = mg. Lebih mudah untuk membayangkan gaya gravitasi ini terkonsentrasi di pusat massa objek.

Jika sebuah benda dengan berat mg dipindahkan ke atas atau ke bawah pada jarak vertikal y2 y1, usaha yang dilakukan W pada benda adalah:

$W=F_{g}(y_{2}-y_{1})=F_{g}\Delta y=mg\Delta y$

di mana Fg adalah berat (pon dalam satuan imperial, dan newton dalam satuan SI), dan y adalah perubahan tinggi y. Perhatikan bahwa usaha yang dilakukan oleh gravitasi hanya bergantung pada gerakan vertikal benda. Adanya gesekan tidak mempengaruhi kerja yang dilakukan pada benda berdasarkan beratnya.

Bekerja dengan gravitasi di luar angkasa

Gaya gravitasi yang diberikan oleh massa M pada massa lain m diberikan oleh:

$\mathbf {F} =-{\frac {GMm}{r^{3}}}\mathbf {r} ,$

di mana r adalah vektor posisi dari M ke m. Biarkan massa m bergerak dengan kecepatan v; maka kerja gravitasi pada massa ini saat bergerak dari posisi r(t1) ke r(t2) diberikan oleh

$W=-\int _{\mathbf {r} (t_{1})}^{\mathbf {r} (t_{2})}{\frac {GMm}{r^{3}}}\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} =-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GMm}{r^{3}}}\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} dt.$

Perhatikan bahwa posisi dan kecepatan massa m diberikan oleh

$\mathbf {r} =r\mathbf {e} _{r},\qquad \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+r{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{t},$

di mana er dan et adalah vektor satuan radial dan tangensial yang diarahkan relatif terhadap vektor dari M ke m, dan kita menggunakan fakta bahwa

Gunakan ini untuk menyederhanakan rumus kerja gravitasi menjadi,

$W=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GmM}{r^{3}}}(r\mathbf {e} _{r})\cdot ({\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+r{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{t})dt=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GmM}{r^{3}}}r{\dot {r}}dt={\frac {GMm}{r(t_{2})}}-{\frac {GMm}{r(t_{1})}}.$

Perhitungan ini menggunakan fakta bahwa

${\frac {d}{dt}}r^{-1}=-r^{-2}{\dot {r}}=-{\frac {\dot {r}}{r^{2}}}.$

fungsinya

$U=-{\frac {GMm}{r}},$

adalah fungsi potensial gravitasi, juga dikenal sebagai energi potensial gravitasi. Tanda negatif mengikuti konvensi bahwa usaha diperoleh dari hilangnya energi potensial.

Bekerja dengan pegas

Pertimbangkan sebuah pegas yang memberikan gaya horizontal F = (−kx, 0, 0) yang sebanding dengan defleksinya dalam arah x yang tidak bergantung pada bagaimana sebuah benda bergerak. Usaha pegas ini pada sebuah benda yang bergerak sepanjang ruang dengan kurva X(t) = (x(t), y(t), z(t)), dihitung dengan menggunakan kecepatannya, v = (vx, vy, vz), untuk mendapatkan

Bekerja dengan gas

Dimana P adalah tekanan, V adalah volume, dan a dan b adalah volume awal dan akhir

Prinsip kerja-energi

Prinsip kerja dan energi kinetik (juga dikenal sebagai prinsip kerja-energi) menyatakan bahwa kerja yang dilakukan oleh semua gaya yang bekerja pada partikel (usaha gaya resultan) sama dengan perubahan energi kinetik partikel.

$W=\int _{0}^{t}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=-\int _{0}^{t}kxv_{x}dt=-{\frac {1}{2}}kx^{2}.$

Artinya, usaha W yang dilakukan oleh gaya resultan pada sebuah partikel sama dengan perubahan energi kinetik partikel tersebut di mana {\displaystyle v_{1}}

dan

{\displaystyle v_{2}}

adalah kecepatan partikel sebelum dan setelah pekerjaan dilakukan, dan m adalah massanya.

Turunan dari prinsip kerja-energi dimulai dengan hukum kedua Newton tentang gerak dan gaya resultan pada sebuah partikel. Perhitungan produk skalar gaya dengan kecepatan partikel mengevaluasi daya sesaat yang ditambahkan ke sistem.

Kendala menentukan arah pergerakan partikel dengan memastikan tidak ada komponen kecepatan dalam arah gaya kendala. Ini juga berarti gaya kendala tidak menambah kekuatan sesaat. Integral waktu dari persamaan skalar ini menghasilkan kerja dari daya sesaat, dan energi kinetik dari produk skalar kecepatan dan percepatan. Fakta bahwa prinsip kerja-energi menghilangkan gaya kendala mendasari mekanika Lagrangian.

Bagian ini berfokus pada prinsip kerja-energi yang berlaku untuk dinamika partikel. Dalam sistem yang lebih umum, kerja dapat mengubah energi potensial dari perangkat mekanik, energi panas dalam sistem termal, atau energi listrik dalam perangkat listrik. Usaha memindahkan energi dari satu tempat ke tempat lain atau dari satu bentuk ke bentuk lainnya.

Derivasi untuk partikel yang bergerak sepanjang garis lurus

hasil kali skalar dari gaya F dan kecepatan v dari titik penerapannya menentukan input daya ke sistem pada saat tertentu. Integrasi daya ini pada lintasan titik aplikasi, C = x(t), mendefinisika

General derivation of the work–energy theorem for a particlen masukan kerja ke sistem oleh gaya.

$s={\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2a}}$

yang mengikuti dari $v_{2}^{2}=v_{1}^{2}+2as$ Kerja dari gaya total dihitung sebagai produk dari besarnya dan perpindahan partikel. Mengganti persamaan di atas, diperoleh:

Kerja dari gaya total dihitung sebagai produk dari besarnya dan perpindahan partikel. Mengganti persamaan di atas, diperoleh:

$W=Fs=mas=ma\left({\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2a}}\right)={\frac {mv_{2}^{2}}{2}}-{\frac {mv_{1}^{2}}{2}}=\Delta {E_{\mathrm {k} }}$

Derivasi lainnya:

$W=Fs=mas=m\left({\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2s}}\right)s={\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}=\Delta {E_{\mathrm {k} }}$

Dalam kasus umum gerak bujursangkar, ketika gaya total F tidak konstan besarnya, tetapi arahnya konstan, dan sejajar dengan kecepatan partikel, usaha harus diintegrasikan sepanjang lintasan partikel:

$W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F\,v\,dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}ma\,v\,dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}v\,{\frac {dv}{dt}}\,dt=m\int _{v_{1}}^{v_{2}}v\,dv={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}\right).$

Derivasi umum teorema usaha-energi untuk partikel

Untuk setiap gaya total yang bekerja pada partikel yang bergerak sepanjang lintasan lengkung, dapat ditunjukkan bahwa usahanya sama dengan perubahan energi kinetik partikel dengan turunan sederhana yang analog dengan persamaan di atas. Beberapa penulis menyebut hasil ini prinsip kerja-energi, tetapi lebih dikenal sebagai teorema usaha-energi:

$W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} dt={\frac {m}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {dv^{2}}{dt}}\,dt={\frac {m}{2}}\int _{v_{1}^{2}}^{v_{2}^{2}}dv^{2}={\frac {mv_{2}^{2}}{2}}-{\frac {mv_{1}^{2}}{2}}=\Delta {E_{k}}$

Identitas ${\textstyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}{\frac {dv^{2}}{dt}}}$ =algebra membutuhkan beberapa aljabar. Dari identitas ${\textstyle v^{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }$ dan definisi ${\textstyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}}$ itu mengikuti

${\frac {dv^{2}}{dt}}={\frac {d(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )}{dt}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=2{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot \mathbf {v} =2\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} .$

Bagian yang tersisa dari turunan di atas hanyalah kalkulus sederhana, sama seperti pada kasus bujursangkar sebelumnya.

Derivasi untuk partikel dalam gerakan terbatas

Dalam dinamika partikel, rumus yang menyamakan kerja yang diterapkan pada sistem dengan perubahan energi kinetiknya diperoleh sebagai integral pertama dari hukum kedua Newton tentang gerak. Hal ini berguna untuk memperhatikan bahwa gaya resultan yang digunakan dalam hukum Newton dapat dipisahkan menjadi gaya yang diterapkan pada partikel dan gaya yang dikenakan oleh kendala pada pergerakan partikel. Hebatnya, pekerjaan gaya kendala adalah nol, oleh karena itu hanya pekerjaan gaya yang diterapkan yang perlu dipertimbangkan dalam prinsip kerja-energi.

Untuk melihat ini, perhatikan sebuah partikel P yang mengikuti lintasan X(t) dengan gaya F yang bekerja padanya. Pisahkan partikel dari lingkungannya untuk mengekspos gaya kendala R, maka Hukum Newton mengambil bentuk

$\mathbf {F} +\mathbf {R} =m{\ddot {\mathbf {X} }},$

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c62f7a4f5084fa2fc19729d1067f80bf0bc2957

dimana m adalah massa partikel.

Formulasi vektor

Perhatikan bahwa n titik di atas vektor menunjukkan turunan waktu ke-n. Produk skalar dari setiap sisi hukum Newton dengan vektor kecepatan menghasilkan

$\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {X} }}=m{\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }},$

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28373471328c2dcf276b694462b4a7959a329c08

karena gaya kendala tegak lurus terhadap kecepatan partikel. Integrasikan persamaan ini sepanjang lintasannya dari titik X(t1) ke titik X(t2) untuk memperoleh

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89a8547be94819c5b9ee8d4a7bea1260cca0129e

Sisi kiri persamaan ini adalah kerja dari gaya yang bekerja pada partikel sepanjang lintasan dari waktu t1 ke waktu t2. Ini juga dapat ditulis sebagai $W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt=\int _{\mathbf {X} (t_{1})}^{\mathbf {X} (t_{2})}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} .$

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3907b3bc1acc361fd355c76e388ae36ea31dc08b $\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt.$

Integral ini dihitung sepanjang lintasan X(t) partikel dan karena itu bergantung pada lintasan.

Ruas kanan integral pertama persamaan Newton dapat disederhanakan menggunakan identitas berikut:

${\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}({\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }})={\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }},$

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33b9e72f9617e1c6fec1094924889c60dd514c28

(lihat aturan produk untuk derivasi). Sekarang terintegrasi secara eksplisit untuk mendapatkan perubahan energi kinetik,

$\Delta K=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt={\frac {m}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {d}{dt}}({\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }})dt={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}(t_{2})-{\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}(t_{1})={\frac {1}{2}}m\Delta \mathbf {v} ^{2},$

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e66808063c4a31017415a51f1ee8a6c8276e2973

di mana energi kinetik partikel ditentukan oleh besaran skalar, $K={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}={\frac {1}{2}}m{\mathbf {v} ^{2}}$

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d48e5c6ec2251d5f80fea040511daeb6fdcc265

Komponen tangensial dan normal

Hal ini berguna untuk menyelesaikan vektor kecepatan dan percepatan menjadi komponen tangensial dan normal sepanjang lintasan X(t), sehingga ${\dot {\mathbf {X} }}=v\mathbf {T} \quad {\mbox{and}}\quad {\ddot {\mathbf {X} }}={\dot {v}}\mathbf {T} +v^{2}\kappa \mathbf {N} ,$ dimana

$v=|{\dot {\mathbf {X} }}|={\sqrt {{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}}}.$

Kemudian, produk skalar kecepatan dengan percepatan dalam hukum kedua Newton mengambil bentuk

$\Delta K=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\dot {v}}v\,dt={\frac {m}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {d}{dt}}v^{2}\,dt={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}),$

di mana energi kinetik partikel ditentukan oleh besaran skalar,

$K={\frac {m}{2}}v^{2}={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}.$

Hasilnya adalah prinsip kerja-energi untuk dinamika partikel,

$W=\Delta K.$

Derivasi ini dapat digeneralisasikan ke sistem benda tegar yang berubah-ubah.

Bergerak dalam garis lurus (selip hingga berhenti)

Pertimbangkan kasus kendaraan yang bergerak sepanjang lintasan horizontal lurus di bawah aksi gaya penggerak dan gravitasi yang berjumlah F. Gaya kendala antara kendaraan dan jalan menentukan R, dan kita memiliki.Untuk memudahkan, biarkan lintasan sepanjang sumbu X, jadi X = (d, 0) dan kecepatannya adalah V = (v, 0), maka R V = 0, dan F V = Fxv, di mana Fx adalah komponen F sepanjang sumbu X, jadi

$\mathbf {F} +\mathbf {R} =m{\ddot {\mathbf {X} }}.$

Produk skalar dari persamaan ini dengan kecepatan, V = (vx, vy, vz), menghasilkan

$Wv_{z}=m{\dot {V}}V,$

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/913d4966a7b228ed3f0d6c83cc6bf8c97543f572

di mana V adalah besarnya V. Gaya kendala antara kendaraan dan jalan membatalkan persamaan ini karena R V = 0, yang berarti tidak ada usaha. Integralkan kedua ruas untuk mendapatkan

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}Wv_{z}dt={\frac {m}{2}}V^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}V^{2}(t_{1}).$

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0c097ed1b0e1b8375cbc4f49c292bbec2a7d91d

Gaya berat W konstan sepanjang lintasan dan integral dari kecepatan vertikal adalah jarak vertikal, oleh karena itu,

$W\Delta z={\frac {m}{2}}V^{2}.$

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/564ac47e1f80ccbff880054fe66b9c2a8a1639f9

Ingat bahwa V(t1)=0. Perhatikan bahwa hasil ini tidak tergantung pada bentuk jalan yang dilalui kendaraan.

Untuk menentukan jarak sepanjang jalan, asumsikan downgrade adalah 6%, yang merupakan jalan yang curam. Ini berarti ketinggian berkurang 6 kaki untuk setiap 100 kaki yang ditempuh—untuk sudut sekecil ini, fungsi sin dan tan kira-kira sama. Oleh karena itu, jarak s dalam kaki menuruni tingkat 6% untuk mencapai kecepatan V setidaknya

$s={\frac {\Delta z}{0.06}}=8.3{\frac {V^{2}}{g}},\quad {\mbox{or}}\quad s=8.3{\frac {88^{2}}{32.2}}\approx 2000{\mbox{ft}}.$

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef15d13d5d1554064afb40285f44f0a2b87d3028

Kerja Gaya yang Bekerja Pada Benda Tegak

Kerja gaya yang bekerja pada berbagai titik pada satu benda tegar dapat dihitung dari kerja resultan gaya dan torsi. Untuk melihat ini, biarkan gaya F1, F2 ... Fn bekerja pada titik X1, X2 ... Xn dalam benda tegar.

Lintasan Xi, i = 1, ..., n ditentukan oleh pergerakan benda tegar. Pergerakan ini diberikan oleh himpunan rotasi [A(t)] dan lintasan d(t) dari titik acuan dalam benda. Biarkan koordinat xi i = 1, ..., n mendefinisikan titik-titik ini dalam kerangka acuan M benda tegar yang bergerak, sehingga lintasan yang ditelusuri dalam kerangka tetap F diberikan oleh

$\mathbf {X} _{i}(t)=[A(t)]\mathbf {x} _{i}+\mathbf {d} (t)\quad i=1,\ldots ,n.$

Kecepatan titik-titik Xi sepanjang lintasannya adalah

$\mathbf {V} _{i}={\vec {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+{\dot {\mathbf {d} }},$

di mana adalah vektor kecepatan sudut yang diperoleh dari matriks simetris miring

$[\Omega ]={\dot {A}}A^{\mathrm {T} },$

dikenal sebagai matriks kecepatan sudut.

Besarnya usaha yang dilakukan oleh gaya-gaya pada perpindahan kecil ri dapat ditentukan dengan memperkirakan perpindahan dengan r = vδt sehingga

$\delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \mathbf {V} _{1}\delta t+\mathbf {F} _{2}\cdot \mathbf {V} _{2}\delta t+\ldots +\mathbf {F} _{n}\cdot \mathbf {V} _{n}\delta t$

atau

$\delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot ({\vec {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+{\dot {\mathbf {d} }})\delta t.$

Rumus ini dapat ditulis ulang untuk mendapatkan

$\delta W=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\dot {\mathbf {d} }}\delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} \right)\times \mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\vec {\omega }}\delta t=\left(\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {d} }}+\mathbf {T} \cdot {\vec {\omega }}\right)\delta t,$

Referensi

1 2 3 Hugh D. Young & Roger A. Freedman (2008). University Physics (12th ed.). Addison-Wesley. p. 329. ISBN 978-0-321-50130-1.
↑ Jammer, Max (1957). Concepts of Force. Dover Publications, Inc. p. 167; footnote 14. ISBN 0-486-40689-X.
↑ Coriolis, Gustave (1829). Du Calcul de l'effet des Machines, ou Considérations sur l'emploi des Moteurs et sur Leur Evaluation (Calculation of the Effect of Machines, or Considerations on the Use of Engines and their Evaluation). Paris: Carilian-Goeury, Libraire. (read online)
↑ Dugas, R. (1955). A History of Mechanics. Switzerland: Éditions du Griffon.
↑ Smeaton, John (1759). "Experimental Enquiry Concerning the Natural Powers of Water and Wind to Turn Mills and Other Machines Depending on a Circular Motion". Philosophical Transactions of the Royal Society. 51: 105.
↑ "Units with special names and symbols; units that incorporate special names and symbols". The International System of Units (SI) (8th ed.). International Bureau of Weights and Measures. 2006. Archived from the original on 2013-04-20. Retrieved 2012-10-27.
1 2 Walker, Jearl; Halliday, David; Resnick, Robert (2011). Fundamentals of physics (9th ed.). Hoboken, NJ: Wiley. p. 154. ISBN 9780470469118.
↑ Goldstein, Herbert (2002). Classical mechanics (3rd ed.). San Francisco: Addison Wesley. ISBN 978-0-201-65702-9. OCLC 47056311.
↑ Rogalski, Mircea S. (2018). Advanced University Physics (2nd ed.). Boca Raton: Chapman and Hall/CRC. ISBN 9781351991988.
1 2 "The Feynman Lectures on Physics Vol. I Ch. 14: Work and Potential Energy (conclusion)". www.feynmanlectures.caltech.edu.
↑ Greenwood, Donald T. (1997). Classical dynamics. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 9780486138794.
1 2 Resnick, Robert, Halliday, David (1966), Physics, Section 1–3 (Vol I and II, Combined edition), Wiley International Edition, Library of Congress Catalog Card No. 66-11527
↑ J. R. Taylor, Classical Mechanics, University Science Books, 2005.
↑ Andrew Pytel; Jaan Kiusalaas (2010). Engineering Mechanics: Dynamics – SI Version, Volume 2 (3rd ed.). Cengage Learning. p. 654. ISBN 9780495295631.
↑ Paul, Burton (1979). Kinematics and Dynamics of Planar Machinery. Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-516062-6.
↑ Whittaker, E. T. (1904). A treatise on the analytical dynamics of particles and rigid bodies. Cambridge University Press.
↑ "Work–energy principle". wwu.edu. Archived from the original on 2012-05-30. Retrieved 2012-08-06.

^ Resnick, Robert and Halliday, David (1966), Physics, Section 1–3 (Vol I and II, Combined edition), Wiley International Edition, Library of Congress Catalog Card No. 66-11527

Bacaan lebih lanjut

Terakhir menulis: Reinhard Sibarani

[Resnick-1] Resnick, Robert and Halliday, David (1966), Physics, Section 1–3 (Vol I and II, Combined edition), Wiley International Edition, Library of Congress Catalog Card No. 66-11527

[1]