Isometri

Dalam matematika, isometri (atau kekongruenan, atau tranformasi (yang) kongruen) adalah tranformasi yang mempertahankan jarak antar ruang metrik, dan umumnya diasumsikan bersifat bijektif.^[1]

Untuk sebuah ruang metrik (secara sederhana, sebuah himpunan dan aturan untuk menghitung jarak antar elemen di himpunan tersebut), isometri adalah transformasi yang memetakan setiap elemen ke ruang metrik yang sama (atau yang berbeda), sedemikian sehingga jarak antar elemen pada ruang metrik hasil pemetaan sama dengan jarak antar elemen pada ruang metrik asalnya. Pada ruang Euklides dimensi 2 atau dimensi 3, dua bangun dikatakan kongruen jika terdapat hubungan isometri diantara keduanya;^[3] isometri tersebut dapat berupa translasi, rotasi, refleksi, atau komposisi dari ketiganya.

Isometri umum digunakan untuk mengonstruksi sebuah ruang yang terletak di dalam ruang lainnya. Sebagai contoh, pelengkap dari ruang metrik $M$ membutuhkan isometri dari $M$ ke $M'$ , sebuah himpunan hasil bagi dari ruang barisan Cauchy pada $M$ . Ruang metrik asal $M$ tersebut secara isometris isomorfik terhadap sebuah subruang dari ruang metrik lengkap, dan umumnya dapat dikenali lewat subruang ini. Konstruksi-konstruksi lainnya menunjukkan bahwa setiap ruang metrik secara isometris isomorfik terhadap subset tertutup dari suatu ruang vektor bernorma; dan setiap ruang metrik lengkap secara isometris isomorfik terhadap subset tertutup dari suatu ruang Banach.

Operator linear surjektif yang isometrik pada ruang Hilbert disebut dengan operator uniter.

Definisi

Anggap $X$ dan $Y$ adalah ruang metrik dengan metrik $d_{X}$ dan $d_{Y}$ . Pemetaan $f:X\to Y$ dikatakan isometri atau mempertahankan jarak jika untuk setiap $a,b\in X$ berlaku

d_{Y}\!\left(f(a),f(b)\right)=d_{X}(a,b).

^[4]

Sebuah isometri pasti injektif;^[1] karena jika tidak, ada dua titik $a,b\in X$ berbeda yang dipetakan ke titik yang sama, sehingga melanggar aksioma metrik $d_{X}$ . Pembuktian ini serupa dengan bukti bahwa embedding terurut antara himpunan terurut sebagian bersifat injektif. Tentu, setiap isometri antar ruang metrik adalah embedding topologis.

Sebuah isometri global, isometri yang isomorfik, atau pemetaan kekongruenan, adalah isometri yang bijektif. Dan seperti bijeksi lainnya, isometri global memiliki fungsi invers. Invers dari isometri global juga merupakan isometri global.

Dua ruang metrik $X$ dan $Y$ dikatakan isometrik jika terdapat isometri yang bijektif dari $X$ ke $Y$ . Himpunan isometri bijektif (dan komposisinya) dari ruang metrik ke dirinya sendiri membentuk sebuah grup, yang disebut grup isometri.

Terdapat istilah isometri lintasan yang lebih lemah daripada isometri. Isometri lintasan adalah pemetaan yang mempertahankan panjang kurva; pemetaan tersebut belum tentu mempertahankan jarak seperti isometri, dan tidak perlu bersifat bijektif (atau bahkan injektif). Istilah ini terkadang disebut juga dengan isometri, sehingga diperlukan konteks tipe isometri yang sedak dirujuk. Sebagai contoh:

Setiap refleksi, translasi, dan rotasi adalah isometri global pada ruang Euklides.
Pemetaan $x\mapsto |x|$ di ${\mathbb {R} }$ adalah isometri lintasan yang bukan isometri.

Isometri antar ruang bernorma

Teorema berikut adalah hasil kerja dari Mazur dan Ulam.

Definisi:^[5] Titik tengah antara dua elemen

x

dan

y

di suatu ruang vektor adalah vektor

12 (x + y)

.

Theorem^[5]^[6] — Anggap $A : X \to Y$ sebagai isometri yang surjektif antar ruang vektor bernorma dan memetakan 0 to 0 (Stefan Banach menyebut pemetaan ini rotasi); tidak ada asumsi bahwa $A$ berupa isometri yang linear. Maka $A$ memetakan titik tengah ke titik tengah, dan bersifat linear sebagai sebuah pemetaan atas bilangan real $ℝ$ . Jika $X$ dan $Y$ adalah ruang vektor kompleks maka pemetaan $A$ mungkin tidak linear atas $ℂ$ .

Isometri linear

Untuk ruang vektor bernorma $V$ and $W$ , isometri linear adalah pemetaan linear $A:V\to W$ yang mempertahankan norma:

\|Av\|=\|v\|

untuk setiap $v\in V$ .^[7] Isometri linear mempertahankan jarak dalam konteks tersebut, dan termasuk isometri global jika dan hanya jika juga bersifat surjektif. Pada ruang hasil kali dalam, definisi di atas dapat disederhanakan menjadi

\langle Av,Av\rangle =\langle v,v\rangle

untuk setiap $v\in V$ , yang secara ekuivalen menyatakan bahwa $A^{\dagger }A=\operatorname {I} _{V}$ . Hal ini juga mengimplikasikan isometri mempertahankan hasil kali dalam, karena

\langle Au,Av\rangle =\langle u,A^{\dagger }Av\rangle =\langle u,v\rangle .

Isometri linear belum tentu termasuk operator uniter, karena masih diperlukan sifat tambahan $V=W$ dan $AA^{\dagger }=\operatorname {I} _{V}$ .

Berdasarkan teorema Mazur–Ulam, setiap isometri pada ruang vektor $\mathbb {R}$ bernorma bersifat affine. Sebagai contoh, pemetaan isometri linear dari $\mathbb {C} ^{n}$ ke dirinya sendiri dapat dinyatakan sebagai matriks uniter.^[8]^[9]^[10]^[11]

Lipatan

Isometri pada sebuah lipatan adalah pemetaan mulus dari lipatan tersebut ke dirinya sendiri, atau ke lipatan lain, yang mempertahankan konsep jarak antar titik. Definisi isometri memerlukan konsep metrik pada lipatan: lipatan dengan metrik definit positif adalah lipatan Rieman, dan dengan metrik indefinit adalah lipatan Riemann semu. Karena itu, isometri dibahas di geometri Riemann.

Generalisasi

Untuk bilangan real positif ε, sebuah ε-isometri atau hampir isometri (juga disebut dengan hampiran Hausdorff) adalah pemetaan $f:X\to Y$ antar ruang metrik dengan sifat:

untuk setiap $x_{a},x_{b}\in X$ berlaku $|d_{Y}\!\left(f(x_{a}),f(x_{b})\right)-d_{X}(x_{a},x_{b})|<\varepsilon$ , dan
untuk setiap $y\in Y$ terdapat $x\in X$ yang memenuhi $d_{Y}\!\left(y,f(x)\right)<\varepsilon$

Dalam bahasa lain, ε-isometri menoleransi perubahan jarak akibat pemetaan sebesar ε. Sebuah ε-isometri belum tentu bersifat kontinu.

Referensi

^ ^a ^b Coxeter 1969, hlm. 29 "Kami merasa nyaman untuk menggunakan kata transformasi dalam arti khusus sebagai korespondensi satu-satu $P\to P'$ untuk semua titik di bidang (atau di ruang), yaitu sebuah aturan untuk menghubungkan pasangan titik; dengan pemahaman bahwa setiap pasangan memiliki anggota pertama di $P$ dan anggota kedua di $P'$ , dan bahwa setiap titik di $P$ menjadi anggota pertama dari tepat satu pasangan saja dan setiap titik di $P'$ juga sebagai anggota kedua dari tepat satu pasangan saja ... Secara khusus, isometri (atau "transformasi yang kongruen," atau "kekongruenan") adalah transformasi yang mempertahankan panjang ..."
^ Coxeter 1969, hlm. 46 3.51 "Setiap isometri langsung adalah sebuah translasi atau sebuah rotasi. Setiap isometri tidak langsung adalah sebuah refleksi atau glide reflection."
^ Coxeter 1969, hlm. 39 3.11 Setiap dua segitiga yang kongruen memiliki sebuah isometri yang unik.
^ Beckman, F. S.; Quarles, D. A., Jr. (1953). "On isometries of Euclidean spaces" (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 4 (5): 810–815. doi:10.2307/2032415. JSTOR 2032415. MR 0058193.
Anggap $T$ sebagai transformasi (mungkin bernilai vektor) dari $E^{n}$ ( $2\leq n<\infty$ ) ke dirinya sendiri. Anggap $d(p,q)$ sebagai jarak antara titik $p$ dan $q$ di $E^{n}$ , dan $Tp$ , $Tq$ sebagai hasil pemetaan $p$ and $q$ , berturut-turut. Jika terdapat panjang $a$ > 0 sehingga $d(Tp,Tq)=a$ untuk setiap $d(p,q)=a$ , maka $T$ adalah transformasi Euklides dari $E^{n}$ ke dirinya sendiri.
^ ^a ^b Narici & Beckenstein 2011, hlm. 275-339.
^ Wilansky 2013, hlm. 21-26.
^ Thomsen, Jesper Funch (2017). Lineær algebra [Linear algebra] (dalam bahasa Dansk). Århus: Department of Mathematics, Aarhus University. hlm. 125.
^ Roweis, S. T.; Saul, L. K. (2000). "Nonlinear Dimensionality Reduction by Locally Linear Embedding". Science. 290 (5500): 2323–2326. CiteSeerX 10.1.1.111.3313  . doi:10.1126/science.290.5500.2323. PMID 11125150.
^ Saul, Lawrence K.; Roweis, Sam T. (2003). "Think globally, fit locally: Unsupervised learning of nonlinear manifolds". Journal of Machine Learning Research. 4 (June): 119–155. Quadratic optimisation of $\mathbf {M} =(I-W)^{\top }(I-W)$ (page 135) such that $\mathbf {M} \equiv YY^{\top }$
^ Zhang, Zhenyue; Zha, Hongyuan (2004). "Principal Manifolds and Nonlinear Dimension Reduction via Local Tangent Space Alignment". SIAM Journal on Scientific Computing. 26 (1): 313–338. CiteSeerX 10.1.1.211.9957  . doi:10.1137/s1064827502419154.
^ Zhang, Zhenyue; Wang, Jing (2006). "MLLE: Modified Locally Linear Embedding Using Multiple Weights". Advances in Neural Information Processing Systems. 19. It can retrieve the ideal embedding if MLLE is applied on data points sampled from an isometric manifold.

Daftar pustaka

Coxeter, H. S. M. (1969). Introduction to Geometry, Second edition. Wiley. ISBN 9780471504580.
Lee, Jeffrey M. (2009). Manifolds and Differential Geometry. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4815-9.
Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics (edisi ke-2). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (edisi ke-2). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM (edisi ke-2). New York, N.Y.: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
Trèves, François (2006). Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.

[CoxeterIsometryDef3-1] Coxeter 1969, hlm. 29 "Kami merasa nyaman untuk menggunakan kata transformasi dalam arti khusus sebagai korespondensi satu-satu $P\to P'$ untuk semua titik di bidang (atau di ruang), yaitu sebuah aturan untuk menghubungkan pasangan titik; dengan pemahaman bahwa setiap pasangan memiliki anggota pertama di $P$ dan anggota kedua di $P'$ , dan bahwa setiap titik di $P$ menjadi anggota pertama dari tepat satu pasangan saja dan setiap titik di $P'$ juga sebagai anggota kedua dari tepat satu pasangan saja ... Secara khusus, isometri (atau "transformasi yang kongruen," atau "kekongruenan") adalah transformasi yang mempertahankan panjang ..."

[2] Coxeter 1969, hlm. 46 3.51 "Setiap isometri langsung adalah sebuah translasi atau sebuah rotasi. Setiap isometri tidak langsung adalah sebuah refleksi atau glide reflection."

[3] Coxeter 1969, hlm. 39 3.11 Setiap dua segitiga yang kongruen memiliki sebuah isometri yang unik.

[4] Beckman, F. S.; Quarles, D. A., Jr. (1953). "On isometries of Euclidean spaces" (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 4 (5): 810–815. doi:10.2307/2032415. JSTOR 2032415. MR 0058193.
Anggap $T$ sebagai transformasi (mungkin bernilai vektor) dari $E^{n}$ ( $2\leq n<\infty$ ) ke dirinya sendiri. Anggap $d(p,q)$ sebagai jarak antara titik $p$ dan $q$ di $E^{n}$ , dan $Tp$ , $Tq$ sebagai hasil pemetaan $p$ and $q$ , berturut-turut. Jika terdapat panjang $a$ > 0 sehingga $d(Tp,Tq)=a$ untuk setiap $d(p,q)=a$ , maka $T$ adalah transformasi Euklides dari $E^{n}$ ke dirinya sendiri.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011275-339-5] Narici & Beckenstein 2011, hlm. 275-339.

[FOOTNOTEWilansky201321-26-6] Wilansky 2013, hlm. 21-26.

[Thomsen_2017_p1252-7] Thomsen, Jesper Funch (2017). Lineær algebra [Linear algebra] (dalam bahasa Dansk). Århus: Department of Mathematics, Aarhus University. hlm. 125.

[8] Roweis, S. T.; Saul, L. K. (2000). "Nonlinear Dimensionality Reduction by Locally Linear Embedding". Science. 290 (5500): 2323–2326. CiteSeerX 10.1.1.111.3313  . doi:10.1126/science.290.5500.2323. PMID 11125150.

[9] Saul, Lawrence K.; Roweis, Sam T. (2003). "Think globally, fit locally: Unsupervised learning of nonlinear manifolds". Journal of Machine Learning Research. 4 (June): 119–155. Quadratic optimisation of $\mathbf {M} =(I-W)^{\top }(I-W)$ (page 135) such that $\mathbf {M} \equiv YY^{\top }$

[10] Zhang, Zhenyue; Zha, Hongyuan (2004). "Principal Manifolds and Nonlinear Dimension Reduction via Local Tangent Space Alignment". SIAM Journal on Scientific Computing. 26 (1): 313–338. CiteSeerX 10.1.1.211.9957  . doi:10.1137/s1064827502419154.

[11] Zhang, Zhenyue; Wang, Jing (2006). "MLLE: Modified Locally Linear Embedding Using Multiple Weights". Advances in Neural Information Processing Systems. 19. It can retrieve the ideal embedding if MLLE is applied on data points sampled from an isometric manifold.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]